Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 01 Taller 1, E = 2 4

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Gabriel Plaza Hidalgo
hace 6 años
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1 (i) Sean A = [ ] 1 3, B = 1 4 posible calcule: Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 01 Taller , C = , D = [ ] 3, E = , F = (a) (A) T (b) (A B) T (c) (3B T A) T (d) (3A T 5B T ) T (e) (C + E + F T ) T [ ] 4 5 De ser 3 (ii) Halle las transpuestas de las siguientes matrices: [ ] 1 4 6, [ ] [ ] [ ] ,, (iii) Encuentre una matriz E tal que A + B 3C + E es la matriz cero de tamaño 3, donde A = 1 3 5, 1 B = y C = (iv) Encuentre k de tal manera que las matrices 3 4 y conmuten 5 k (v) Se dice que una matriz A es simétrica si A es cuadrada y A = A t Decimos además que una matriz A es antisimétrica si A es cuadrada y A = A t Para cada una de las siguientes matrices verifique si la matriz es simétrica, antisimétrica o no tiene alguna de esas propiedades: , , , I n, 0 n (la matriz cero de orden n) (vi) Demuestre que una matriz cuadrada A de orden n es simétrica si y sólo si a ij = a ji para todo 1 i, j n (vii) Demuestre que una matriz cuadrada A de orden n es antisimétrica si y sólo si a ij = a ji para todo 1 i, j n (viii) Para cada una de las siguientes matrices verifique que: (a) El resultado de sumar la matriz dada y su transpuesta es una matriz simétrica (b) El resultado de restar a la matriz dada su transpuesta es una matriz antisimétrica

2 (c) Demuestre que, para toma matriz cuadrada A, la matriz A+AT es simétrica, la matriz A At es antisimétrica y A+At + A At = A, con lo cual, toda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica (ix) Una matriz cuadrada A = [a ij ] se denomina triangular superior si a ij triangular inferior si a ij = 0 para i < j = 0 para i > j Se llama (i) Demuestre que la suma y diferencia de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior (ii) Demuestre que la suma y diferencia de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior (iii) Demuestre que si una matriz es al mismo tiempo triangular superior y triangular inferior, entonces es una matriz diagonal (x) Diga si la afirmación es verdadera o falsa y justifique plenamente su respuesta (si es verdadera demuestre, y si es falsa exhiba un contraejemplo) (a) Si A, B M n son tales que AB = 0 entonces A = 0 o B = 0 (b) Si A y B son matrices simétricas del mismo tamaño, entonces (AB) t = BA (c) Si A es una matriz de orden n, entonces A A t es antisimétrica (d) Si A, B M n son simétricas, entonces αa + βb es nuevamente una matriz simétrica, esto para todo α y β en R (e) Si A, B M n son matrices ortogonales 1, entonces AB es ortogonal (f) Si A, B M n son matrices idempotentes que conmutan, entonces AB es idempotente (g) Si A, B M n son matrices con entradas reales y si α R, entonces tr(αa + B) = αtr(a)+tr(b), donde tr denota la traza de una matriz cuadrada, es decir, la suma de los elementos de su diagonal (si A = (a ij ) n n, entonces tr(a) := n i=1 a ii) En los ejercicios (xi) y (xii), sean [ ] A =, B = 4, C = 1 4, [ ] 1 1 [ ] 1 D =, E = y F = (xi) De ser posible, calcule (a)(ab t ) (b)a t + B (c)a t B t (d)bb t (e)bf 1 Una matriz A cuadrada de orden n se dice ortogonal si A es invertible y además A 1 = A t Una matriz A cuadrada de orden n se dice idempotente si A = A

3 (xii) De ser posible, calcule (a)(3c E) t B (b)a t (D + F ) (c)b t C + A (d)ea t (e)(b t + A)C [ ] [ ] [ ] a b (xiii) Encuentre una matriz A = tal que A = c d [ ] [ ] [ ] (xiv) Si A =, B = y C = ; muestre que AB = AC Qué puede concluir de este hecho? (xv) Sea A una matriz simétrica; si A es invertible, es A 1 también simétrica? Explique (xvi) Sean A y B matrices invertibles Son A + B, A B y A también invertibles? Explique [ ] a b (xvii) Demuestre que la matriz A = es invertible (o no singular) si y sólo si ad bc 0 Si esta condición c d se cumple, demuestre que ] A 1 = [ d c b a [ ] cos θ sin θ (xviii) Demuestre que la matriz A = es no singular, y calcule su inversa sin θ cos θ (xix) Sea A = diag(a 11,, a nn ) una matriz diagonal, con a 11,, a nn todos distintos de cero Demuestre que A 1 es no singular y que A es una matriz diagonal con entradas en su diagonal a 11,, a nn ; ie, A 1 = diag( 1 1 a 11,, a nn ) (xx) Use la información dada y las propiedades de matrices para calcular, en cada caso, la matriz X (a) (X) 1 1 = (b) (5X t ) = t (c) (I + X) = (d) X = (xxi) Demuestre que si una matriz cuadrada A satisface A 3A + I = 0, entonces A 1 = 3I A (xxii) Sean A, B M n (R) Demuestre que si A y B son diagonales entonces AB = BA (xxiii) Sea A M m n (R) y r un escalar Demuestre que si ra = O entonces r = 0 o A = O, donde O simboliza la matriz cero de tamaño m n (xxiv) Exprese la matriz como una combinación lineal de las matrices,,,

4 (xxv) Determine todas las soluciones del sistema lineal dado en cada caso x + y + z = 1 x + y + 3z + w = 7 x + y + z + 3w = 13 x y + z = 5 x y + 4w = 8 x y + z + w = 8 3x + y + z = 3 3y + 6z = 8 3x + y + z w = 1 x + y 4z = 3 x + y + z w = 1 x + y + z = 0 x y + 3z = 1 3x y + z 6w = x + z = 0 x + 3y z = 5 x + y z w = 1 x + y z = 0 4x + 3y z = 7 6x + z 9w = x + 5y + 5z = 0 5x + y 6z = 7 5x y + z 8w = 3 (xxvi) Determine todos los valores de a para los cuales el sistema resultante (a) no tenga solución, (b) tenga una solución única, y (c) tenga una infinidad de soluciones x + y z = x + y + z = x + y + z = 3 x + 3y + z = 5 x + y + (a 5)z = a x + 3y + (a 1)z = a + 1 (xxvii) Determine una ecuación que relacione a, b y c de modo que el sistema lineal x + y 3z =a x + 3y + 3z =b 5x + 9y 6z =c sea consistente para cualesquiera valores de a, b y c que satisfagan esa ecuación Interpolación Polinomial Suponga que nos dan n puntos distintos sobre el plano real, digamos, (x 1, y 1 ),, (x n, y n ) Es posible determinar un polinomio de grado menor o igual a n 1 que pase por estos puntos? De acuerdo con lo anterior, el polinomio que buscamos tiene la forma y = a n 1 x n 1 + a n x n + + a 1 x + a 0 Los n puntos dados pueden utilizarse para obtener un sistema lineal de n n, cuyas incógnitas son a 0, a 1,, a n 1 Se puede demostrar que este sistema lineal tiene una una única solución y en consecuencia, existe un único polinomio de interpolación Consideremos en detalle el caso n = 3 En este caso los puntos dados son (x 1, y 1 ), (x, y ) y (x 3, y 3 ) con x 1 x, x 1 x 3 y x x 3, y buscamos el polinomio Al sustituir los puntos en (1), obtenemos el sistema lineal y = a x + a 1 x + a 0 (1) a x 1 + a 1 x 1 + a 0 =y 1 a x + a 1 x + a 0 =y a x 3 + a 1 x 3 + a 0 =y 3 que nos permite hallar los coeficientes del polinomio requerido 4

5 (xxviii) Determinar el polinomio cuadrático que interpola los puntos (1, 3), (, 4) y (3, 7) (xxix) Determinar el polinomio cúbico que interpola los puntos (, ), ( 1, ), (1, ) y (, 10) (xxx) Sea [ ] a b A = c d Demuestre que el sistema homogéneo Ax = 0 sólo tiene la solución trivial si y sólo si ad bc 0 (xxxi) Demuestre que si u y v son soluciones del sistema lineal Ax = b, entonces u v es una solución para el sistema lineal homogéneo asociado (xxxii) Plantee y resuelva los siguientes problemas (a) Un editor publica un posible éxito de librería en tres presentaciones distintas: libro de bolsillo, club de lectores y edición de lujo Cada libro de bolsillo necesita un minuto para el cosido y para el pegado Cada libro para el club de lectores necesita minutos para el cosido y 4 para el pegado Cada libro en edición de lujo necesita 3 minutos para el cosido y 5 para el pegado Si la planta de cosido está disponible 6 horas diarias y la planta de pegado 11 horas, cuántos libros de cada presentación se pueden producir por día de modo que las plantas aprovechen toda su capacidad? (b) Tres recipientes contienen agua Si se vierte 1 3 del contenido del primer recipiente en el segundo, y a continuación 1 4 del contenido del segundo en el tercero, y por último 1 10 del contenido del tercero en el primero, entonces cada recipiente queda con 9 litros de agua Qué cantidad de agua había originalmente en cada recipiente? (xxxiii) Determine si la matriz A = es invertible (o no singular) En caso de serlo, halle su inversa (xxxiv) Suponga que A = [ ] (a) Calcule A 1 (b) Determine (A t ) 1 Cómo se relacionan A y (A t ) 1? (xxxv) Determine todos los valores de a para los cuales la inversa de A = a existe (xxxvi) Muetre que la matriz [ ] a11 a 1 es su propia inversa si A = ±I a 1 a o si a 11 = a y a 1 a 1 = 1 a 11 5

6 sen(θ) cos(θ) 0 (xxxvii) Demuestre que para todo número real θ la matriz cos(θ) sen(θ) 0 es invertible y encuentre su inversa (xxxviii) Suponga que A M n m y B M m n, de modo que AB M n Demuestre que si n > m entonces AB no es invertible (xxxix) (a) Completar (1) Si A = 1, entonces (A 3 4 ) 1 = () Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces (A + B) = ax + by + cz = 5 (3) La solución del sistema (a + )x (b 1)y bz = es x = 1, y = 1 y z = si a =, (a )x cy + (b + )z = 6 b = y c = (4) 5 1 = (5) Usando (4) se tiene que = (b) Qué condiciones deben imponerse a a R para que exista una matrix X M (R) tal que ( ) ( ) t 1 a X + 1 a = X a a X t + I? 6

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