1. Matrices no negativas

Transcripción

1 1. Matrices no negativas Cuando A posee al menos un coeficiente nulo y el resto no negativos, puede ocurrir que algunas de las propiedades probadas no se sigan cumpliendo. Ejemplo 1.1 Si A = ( el radio espectral es nulo, ρ(a = 0, y la multiplicidad algebraica y geométrica son distintas. Ejemplo 1. Si A = I n, n > 1, ρ(a = 1 cualquier vector de coordenadas positivas es autovector y la multiplicidad geométrica es mayor que 1. Ejemplo 1.3 Si A = ( se cumplen todas las propiedades salvo la sexta, ya que 1 y 1 tienen el mismo módulo. Veamos primero que propiedades subsisten: Proposición 1.4 Si A 0, ρ(a es autovalor (aunque puede ser 0 y posee al menos un autovector de coordenadas no negativas. También sigue valiendo: Teorema de Collatz-Wielandt: r = máx x N f(x, donde:,, (Ax i f(x = { mín }, y N = {x R n : x i 0 i, x 0}. 1 i n x i Dem 1.5 Consideremos la sucesión de matrices positivas B = A + 1E, donde E es la matriz con todos sus coeficientes iguales a 1. Como B > B +1, por el corolario del Teorema C-W, tenemos que r = ρ(b > ρ(b +1, es una sucesión decreciente acotada inferiormente por 0, luego converge a un número r 0. Por otra parte cada B posee un vector de Perron x, como sus coordenadas están acotadas, se puede conseguir una subsucesión x n que converge a un vector x 0, x 0. Como Ax = lím B n x n = lím r n x n = r x, 1

2 se tiene que x es autovector no negativo con autovalor r. Además si usamos que: ρ(a A 1 B m 1 al tomar límite para queda ρ(a r m, y tomando límite para m, vemos que r ρ(a, y como r es un autovalor debe ser r = ρ(a. Para probar C-W, observamos que sigue valiendo 0 f(xx Ax A x. Si multiplicamos a izquierda por el vector de Perron a izquierda q de A, obtenemos: f(xq T x q T Ax q T A x = r q T x = f(x r = f(x r, como f(z = r y z N, se sigue que máx x N f(x = r. Sobre las restantes propiedades de las matrices positivas, Frobenious observó que algunas se mantenían dependiendo de la posición en que se ubican los ceros de A. Esto lo llevó a definir lo siguiente: Definición 1.6 Una matriz A se dice reducible si existe una matriz de permutación P tal que ( X Y P T AP =. 0 Z En caso de no existir una tal P, A se dice irreducible. Una forma gráfica de observar la irreducibilidad es asociando a una matriz n n A = (a ij 0 un grafo dirigido G(A con n vértices. Donde el vértice i se conecta con el j por una arista dirigida de i a j, si a ij > 0. La matriz A será irreducible si y sólo si todo par de vértices de G(A puede conectarse entre si mediante un camino. Vemos que una matriz reducible permite separar a {1,,..., n 1, n} = I J, en dos conjuntos disjuntos I, J, tales que a ij = 0, i I, j J. En tal caso, el coeficiente a ( ij de A será nulo para todo > 0, ya que = i 1,i,...i 1 a ii1 a i1 i... a i 1j y todos los sumandos serán nulos, porque siempre aparece al menos un factor nulo en cada sumando. Recíprocamente, si A 0 es irreducible, el coeficiente i, j de alguna potencia A será positivo. El siguiente Lema conecta las matrices irreducibles y no negativas con las positivas. a ( ij Lema 1.7 Si A 0 es irreducible entonces (I + A n 1 > 0.

3 Dem 1.8 n 1 [(I + A n 1 ] ij = [ =0 ( n 1 A ] ij = n 1 ( n 1 =0 a ( ij > 0. Con este resultado podemos extender casi todas las propiedades del Teorema de Perron a matrices no negativas. Teorema de Perron-Frobenious Sea A una matriz n na 0 irreducible, con r = ρ(a, entonces son verdaderas las siguientes afirmaciones: 1 r > 0, r σ(a, r se llama raíz de Perron, 3 mult alg (ρ(a = 1, 4 Existe un vector x > 0 tal que Ax = rx, 5 El vector de Perron, es el único vector z que cumple: Az = rz, z > 0, z i = 1, y salvo por múltiplos de z, no hay otros autovectores de A con coordenadas positivas y cualquier autovalor. 6 Teorema de Collatz-Wielandt: r = máx x N f(x, donde: (Ax i f(x = mín, y N = {x R n : x i 0 i, x 0}. 1 i n x i Dem 1.9 y 6 ya fueron probados. Para el resto de las afirmaciones usaremos lo siguiente: si λ es autovalor de A entonces (1 + λ n 1 es autovalor de (I + A n 1, ya que si triangularizamos A mediante una matriz unitaria U: T = U T AU, la misma U nos permite triangularizar (I + A n 1 y los valores que obtenemos en la diagonal son los (1 + t ii n 1. Más aún, se sigue que la multiplicidad algebraica de λ en A es menor o igual que la multiplicidad algebraica de (1 + λ n 1 en (I + A n 1. Entonces si µ = ρ((i + A n 1, tenemos: µ = máx λ σ(a { (1 + λn 1 } = ( máx λ σ(a { (1 + λ }n 1 = (1 + r n 1 3 i

4 Ahora bien, si Ax = rx con x 0, (I + A n 1 x = (1 + r n 1 x lo cual implica al ser x autovector correspondiente a ρ((i +A n 1, que x > 0 y mult alg r = 1. Por lo tanto Ax > 0, por lo cual r > 0. Esto prueba 1, 3, 4 y 5. Frobenious estudió también en que casos vale que hay un sólo autovalor de módulo ρ(a. Definición 1.10 Si λ σ(a, λ = ρ(a = λ = ρ(a decimos que A es primitiva, en caso contrario se dice que A es imprimitiva y el número de autovalores con módulo ρ(a se llama índice de imprimitividad. Ejemplo 1.11 La matriz n n de permutación cíclica (a ij con a ii+1 = 1 = a n1, 1 i n 1. es un ejemplo donde los autovalores son todas las raíces n ésimas de la unidad. Por lo tanto, es un ejemplo de matriz imprimitiva de índice n. Si A es primitiva con ρ(a = r, A/r tendrá todos sus autovalores de módulo menor que 1 salvo el de Perron. Por lo tanto para todo vector x se tiene: lím ( A r x = α(xp donde α(x puede calcularse multiplicando por el vector de Perron a izquierda q: α(xq T p = q T Por lo tanto: lím ( A r x = lím q T ( A r x = lím q T x = α(x = qt x q T p. lím (A r = pqt q T p > 0. Un test muy útil para ver si A es primitiva es el siguiente: Proposición 1.1 A 0, es primitiva si y sólo si existe > 0 tal que A > 0. Dem 1.13 Si r = ρ(a entonces r = ρ(a y si λ es autovalor con λ = r entonces λ es autovalor de A con mult alg (λ A = mult alg (λ A y λ = r = λ = r por ser A > 0. Como la multiplicidad algebraica de r en A es uno, se tiene que sólo puede provenir de λ = r. Recíprocamente si A es primitiva como lím ( A r = 1 q T p pqt > 0 se tiene que alguna potencia de A será positiva. 4

5 Ejemplo 1.14 Cualquier matriz de permutación es reducible o imprimitiva ya que toda potencia de P es de permutación y no puede ser positiva. Ejemplo 1.15 Para ver si A = es primitiva no hace falta calcular potencias de A, sino de cualquier matriz que tenga los mismos coeficientes nulos y el resto positivos pero arbitrarios. Es decir podemos reducir a calcular cuadrados de matrices con ceros y unos. En nuestro caso calculamos = = y la siguiente potencia da positiva, por lo tanto A es primitiva Una cota para la potencia que hay que calcular es (n En el ejemplo anterior n = 3 y ( = 5, como A 4 no es positiva, se ve que la cota es efectiva. 5