Espacios Euclídeos. Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza

Transcripción

1 Espacios Euclídeos Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza A lo largo de todo el capítulo consideraremos que V un espacio vectorial real de dimensión finita. 1 Producto escalar Definición. Se dice que F : V V IR es un producto escalar sobre V si es una forma bilineal simétrica y definida positiva. Notación. F (u, v) = (u, v). Es inmediato observar que 1. (u, v) = (v, u), u, v V, 2. (u 1 + u 2, v) = (u 1, v) + (u 2, v), u 1, u 2, v V, 3. (λu, v) = λ(u, v), u, v V, λ IR, 4. (u, u) > 0, u V, u 0 V. Definición. Un espacio euclídeo es un espacio vectorial con un producto escalar, escribiremos, (V, F ) o bien (V, (, ) ). Definición. Dado el espacio euclídeo (V, (, ) ). Se define la norma asociada o inducida por el producto escalar (, ) a la aplicación : V IR + tal que Propiedades. 1. λ v = λ v, λ IR, v V. 2. v 0, v V. v = (v, v). 3. Desigualdad triangular: u + v u + v, u, v V. 4. Desigualdad Cauchy-Schwarz: (u, v) u v, u, v V. Definición. Una aplicación : V IR + verificando las propiedades (1), (2) y (3) anteriores se dice norma en V y (V, ) es un espacio normado. Observación. A partir de todo espacio euclídeo podemos construir un espacio normado. Sin embargo el recíproco no es cierto. Existen espacio normados que no vienen inducidos por ningún espacio euclídeo. 1

2 2 Bases ortonormales Definición. Los vectores u, v V se dicen ortogonales si (u, v) = 0. Lo denotaremos u v. Definición. Una familia de vectores de V, {v 1,..., v m }, se dice ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, esto es, (v i, v j ) = 0, i j. Definición. Un vector v V se dice unitario si v = 1. Definición. Una familia de vectores de V, {v 1,..., v m }, se dice ortonormal si es una familia de vectores ortogonales y unitarios. Así, (v i, v j ) = 0, i j y v i = 1, i. Proposición. Toda familia de vectores de V no nulos y ortogonales es una familia libre. 2.1 Método de Gram-Schmidt Proposición. Sean (V, (, ) ) espacio euclídeo y S subespacio de V de dimensión finita. Entonces, S posee una base ortonormal. Demostración. Método de Gram-Schmidt, este método permite a partir de una base de S dada, construir una base ortonormal de S. Método de Gram-Schmidt. Sea {v 1, v 2,..., v m } una base de S subespacio de V. El método de Gram-Schmidt consiste en construir una familia ortonormal equivalente, es decir, una familia {w 1, w 2,..., w m } tal que w i w j, i j, IR {v 1,..., v k } = IR {w 1,..., w k }, k = 1,..., m. Proceso. 1. Definimos w 1 = v 1 / v 1 (normalizamos, v 1 = ṽ 1 en general no es unitario). 2. Buscamos ṽ 2 tal que IR {v 1, v 2 } = IR {w 1, ṽ 2 }, por ello, elegimos ṽ 2 = v 2 + α w 1. Entonces, Además se ha de satisfacer (ṽ 2, w 1 ) = (v 2, w 1 ) + α (w 1, w 1 ). ṽ 2 w 1, esto es, (ṽ 2, w 1 ) = 0. Como w 1 es unitario se tiene que α = (v 2, w 1 ). Luego ṽ 2 = v 2 (v 2, w 1 ) w 1. Definimos w 2 = ṽ 2 / ṽ 2 (normalizamos, ṽ 2 en general no es unitario). 3. Buscamos ṽ 3 tal que 2

3 IR {v 1, v 2, v 3 } = IR {w 1, w 2, ṽ 3 }, por ello, elegimos ṽ 3 = v 3 + β 1 w 1 + β 2 w 2. Entonces, (ṽ 3, w 1 ) = (v 3, w 1 ) + β 1 (w 1, w 1 ) + β 2 (w 2, w 1 ), (ṽ 3, w 2 ) = (v 3, w 2 ) + β 1 (w 1, w 2 ) + β 2 (w 2, w 2 ). Además se ha de satisfacer ṽ 3 w 1, ṽ 3 w 2, esto es, (ṽ 3, w 1 ) = 0 y (ṽ 3, w 2 ) = 0. Como w 1, w 2 son unitarios se tiene que β 1 = (v 3, w 1 ) y β 2 = (v 3, w 2 ). Luego ṽ 3 = v 3 (v 3, w 1 ) w 1 (v 3, w 2 ) w 2. Definimos w 3 = ṽ 3 / ṽ 3 (normalizamos, ṽ 3 en general no es unitario). 4. Reiterando este proceso, para k = 4,..., m Definimos: ṽ k = v k (v k, w1) w 1 (v k, w k 1 ) w k 1, Normalizamos: w k = ṽ k / ṽ k. Observaciones. {ṽ 1,..., ṽ k } es una familia ortogonal k = 2,..., m. {w 1,..., w k } es una familia ortonormal k = 2,..., m. IR {v 1,..., v k } = IR {ṽ 1,..., ṽ k } = IR {w 1,..., w k }, k = 1,..., m. El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt permite construir bases ortonormales de V con el producto escalar (, ). Si {w i } n i=1 es una base de V ortonormal respecto de (, ), u = (w i ) t X y v = (w i ) t Y. La expresión coordenada respecto de esta base será donde I n es la identidad de orden n. (u, v) = X t I n Y 2.2 Cambio de coordenadas entre bases ortonormales Sean (V, F ) espacio euclideo y {a i } n i=1 y {b j } n j=1 dos bases ortonormales de V. Entonces, si u = (a i ) t X = (b i ) t X, v = (a i ) t Y = (b i ) t Ỹ, se tiene expresión coordenada respecto de {a i } n i=1 : (u, v) = X t I n Y, expresión coordenada respecto de {b i } n i=1 : (u, v) = X t I n Ỹ. 3

4 Sabemos que existe una matriz de cambio de base P (regular) tal que (b j ) t = (a i ) t P, luego X = P X e Y = P Ỹ. De donde se deduce que P t P = I n. Definición. Una matriz Q M m n (IR) de rango n se dice ortogonal si Observaciones. Q t Q = I n. Si Q M n (IR) ortogonal, se tiene que Q es regular y además Q 1 = Q t. La matriz de cambio entre bases ortonormales es ortogonal. 3 Clasificación de formas cuadráticas Definición. Dos matrices simétricas reales A, B M n (IR) se dicen congruentes ortogonales si existe P M n (IR) ortogonal tal que B = P t AP. Sea A M n (IR) simétrica entonces se verifica: Todos los valores propios de A son reales. A es diagonalizable, es decir, existe una base de IR n de vectores propios {v i } n i=1. IR n = V (λ 1 ) V (λ r ) con λ 1,..., λ r los distintos valores propios de A. Sean α y β dos valores propios de A (distintos), v α, v β vectores propios asociados a α y β, respectivamente. Entonces, {v α, v β } libre y además v α v β (respecto del producto escalar ordinario de IR n ). Luego los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales (respecto del producto escalar ordinario de IR n ). Propiedades. 1. Toda matriz simétrica y real es congruente ortogonal con una matriz diagonal. Existe una base de vectores propios {v i } n i=1. Partiendo de la base {v i } n i=1 aplicamos el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para obtener una base de vectores propios ortonomal (respecto del producto escalar ordinario de IR n ), {w i } n i=1. Base vect. propios Base ortonormal vect. propios {v i } n i=1 Gram-Schmidt {w i } n i=1 4

5 Entonces, como {e i } n i=1 es una base ortonormal (respecto del producto escalar ordinario de IR n ) y la matriz de cambio entre bases ortonormales es ortogonal se tiene que existe P M n (IR) ortogonal con (w i ) = (e i ) P. La matriz coordenada respecto de {w i } n i=1 es diagonal, D con D = P t AP con P t = P Toda forma cuadrática puede clasificarse (rango y signatura) a partir de los valores propios de su matriz coordenada A. Rango Q = número de valores propios no nulos de A. Signatura Q = número de valores propios positivos de A. 3. Una matriz simétrica A es: Definida positiva todos sus valores propios son positivos. Definida negativa todos sus valores propios son negativos. Semidefinida positiva todos sus valores propios son no negativos. Semidefinida negativa todos sus valores propios son no positivos. Indefinida existen algún valor propio positivo y algún valor propio negativo. 4 Factorización QR Toda matriz A M m n (IR) de rango n admite factorización QR, es decir, descomposición en producto de una matriz Q M m n (IR) ortogonal por una matriz R M n (IR) triangular superior con r ii > 0. Factorización QR Escribimos A = (A 1 A 2... A n ) con las columnas A i IR m. 1. Construcción de Q: Tomamos {A 1,..., A n }, sistema libre de vectores de IR m. Consideramos en IR m el producto escalar estándar y aplicamos el proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt para obtener una familia ortonormal {Q 1,..., Q n }. Entonces definimos Q = (Q 1 Q 2... Q n ). Observación. Cuando multiplicamos Q t Q tenemos que el elemento (i, j) será Q t i Q j. Como {Q 1,..., Q n } es sistema ortonormal en IR n respecto del producto escalar ordinario, se tiene { 0, si i j Q t i Q j = 1, si i = j. 5

6 2. Construcción de R: Al aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt hemos obtenido A 1 = Q 1 Q 1 A 2 = (A 2, Q 1 ) Q 1 + Q 2 Q 2. A m = (A m, Q 1 ) Q 1 + (A m, Q 2 ) Q Q m Q m siendo { Q i } la familia ortogonal que se va generando en el proceso de ortonormalización. Luego A = QR donde Q 1 (A 2, Q 1 )... (A m, Q 1 ) 0 Q 2... (A m, Q 2 ) R = Q m Observación. Como Q es ortogonal y A = QR se tiene que R = Q t A. 5 La mejor aproximación Definición. Sea S subespacio vectorial del espacio euclídeo (V, (, ) ). Se llama complemento ortogonal de S al conjunto S = {v V / v s, s S}. Proposición. Sea {s 1,..., s m } una base de S subespacio vectorial del espacio euclídeo (V, (, ) ). Entonces, dado v V v s, s S v s i, i = 1,..., m. Proposición. Dados S subespacio vectorial del espacio euclídeo (V, (, ) ) y v V entonces existe un único s S tal que (v s) S. Definición. Este vector s se dice proyección ortogonal de v en S. Observaciones. Problemas equivalentes Hallar s S tal que (v s) S. Hallar s S tal que v s v s, s S. Por ello, la proyección ortogonal de v en S, s, es la mejor aproximación o aproximación cuadrática de v por vectores de S. Obviamente, si v S su proyección ortogonal en S es él mismo. 6

7 6 Mínimos cuadrados Definición. Sean A M m n (IR), x IR n y b IR m. El sistema lineal Ax = b se dice sobredeterminado si posee más ecuaciones que incógnitas, es decir, m > n. Observación. En general los sistemas sobredeterminados suelen ser incompatibles, luego para todo x IR n, Ax b. Consideramos A 1,..., A n IR m las n columnas de A. El sistema Ax = b podemos verlo como x 1 A 1 + x 2 A x n A n = b. De modo que, la existencia de solución del sistema anterior equivale a que el vector b se pueda expresar como combinación lineal de los vectores A 1,..., A n. Por tanto, si b S = IR A 1,..., A n entonces el sistema Ax = b es compatible. En caso contrario, Ax = b no tiene solución. Sin embargo, buscaremos x 0 IR n tal que Ax 0 IR m sea la mejor aproximación de b en S = IR A 1,..., A n. Luego, (Ax 0 b) S, es decir, para todo z IR n se ha de satisfacer y por tanto Az (Ax 0 b) (Az) t (Ax 0 b) = 0 z t (A t Ax 0 A t b) = 0, z IR n. De donde se deduce el sistema de ecuaciones normales asociado a Ax = b: A t Ax 0 = A t b. Observación. Este sistema de ecuaciones normales siempre es compatible. El vector x 0 IR n se llama solución por mínimos cuadrados. Usamos la factorización QR: Supongamos que A M m n (IR) tiene rango n y que admite factorización A = QR. Entonces A t Ax 0 = A t b R t Q t QRx 0 = R t Q t b como Q t Q = I m (Q es ortogonal) se tiene que la solución por mínimos cuadrados x 0 será la solución del sistema triangular Rx 0 = Q t b. Observación. Este sistema es equivalente a A t Ax 0 = A t b. 7