Álgebra Lineal - Grado de Estadística. Examen final 27 de junio de 2014 APELLIDOS, NOMBRE:

Transcripción

1 Álgebra Lineal - Grado de Estadística Examen final 7 de junio de 4 APELLIDOS, NOMBRE: DNI: irma Primer parcial Ejercicio Consideremos matrices A m m, B, C n n, Pruebe que bajo la hipótesis de que las inversas usadas existen A + BCB t A A BC + B t A B B t A, Solución Sea A A + BCB t, que es una matriz cuadrada de orden m, y llamemos A A A BC + B t A B B t A, que también es una matriz cuadrada de orden n Basta probar que A A I n y detallamos los cálculos: A A A + BCB t A A BC + B t A B B t A AA AA BC + B t A B B t A + BCB t A BCB t A BC + B t A B B t A I {{ B C + B t A B B t {{ A + {{ B C B t {{ A {{ B CB t A BC + B t A B B t {{ A I + B[ C + B t A B +C CB t A B C + B t A B ]B t A {{{{ I + B[ I CB t A BC + B t A B + C]B t A I + B[ CC + B t A BC + B t A B + C]B t A I + B C + CB t A I Ejercicio Sea f : R R la aplicación lineal definida respecto de la base estándar por la matriz A, y sea b Calcule todas las soluciones del sistema Ax b Justifique si es posible encontrar para cualquier c R un vector u R tal que fu c Calcule una base de ColA y una ampliación a una base de R 4 Pruebe que el conjunto B {u, u, u es una base de R, donde u, u, u 5 Calcule las coordenadas del vector b respecto de la base B Solución Calculamos una forma escalonada de la matriz ampliada del sistema Ax b A b

2 El sistema está en forma escalonada y los pivotes se encuentran en la primera y segunda columna Las variables básicas son x y x y la variable x es libre Mediante sustitución hacia atrás obtenemos x + x y x x Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema es de la forma p + x h, con x R y p, h Si fuera posible, entonces para cualquier c R el sistema Ax c tendría solución, lo que es equivalente a que el rango de A fuera igual a Pero hemos visto que el rango es igual a, por lo que no existe solución para cualquier vector c Por ejemplo, el vector c e proporciona un sistema incompatible Una base de ColA está formada por las columnas básicas de A, por lo que, en este caso, una base es {A, A Para calcular una ampliación a una base de R, podemos usar el vector e, pues {A, A, e es un conjunto linealmente independiente 4 Para comprobar que B es una base, basta verificar que es un conjunto linealmente independiente Lo hacemos mediante el cálculo del rango de la matriz de coordenadas de los vectores u i, i,, u u u 6 6 Por tanto, el rango es igual a 5 El cálculo de las coordenadas del vector b respecto de la base B es equivalente a resolver el sistema α α α Los valores de α, α, α son las coordenadas buscadas En este caso, α 5/, α 4/, α Segundo parcial Ejercicio,5 Sea A no nula Pruebe que A + A Definición de radio espectral de una matriz Definición de vector de Perron de una matriz A no negativa e irreducible Solución Si calculamos la descomposición en valores singulares de A obtenemos una expresión Σr A U m m Vn n, donde U y V son matrices unitarias y Σ r es una matriz diagonal no singular Entonces A + Σ r V y A + A V V V Σ r Σ r Ir U U U Σr V n n Σr V V Como la norma es invariante por transformaciones unitarias a izquierda y derecha, tenemos que A + A Ir Esta matriz es simétrica, con el mayor autovalor igual a Por tanto, A + A n n

3 Notas de teoría Notas de teoría Ejercicio 4,5 Consideremos el sistema Ax b, donde A, b Pruebe que el sistema Ax b es incompatible y que el problema de mínimos cuadrados tiene solución única Calcule la solución mínimo cuadrática mediante la factorización QR de la matriz A QR Calcule el número de condición de la matriz R obtenida Solución 4 Calculamos una forma escalonada de la matriz ampliada del sistema: rref A b Aparece un pivote en la tercera columna, por lo que el sistema es incompatible Además, vemos que el rango de la matriz A es igual a, que coincide con el número de columnas Entonces sabemos que el sistema de ecuaciones normales tiene solución única y existe una única solución mínimo cuadrática de Ax b Calculamos en primer lugar una expresión A Q 4 R, donde Q es una matriz de columnas ortonormales y R es una matriz triangular superior no singular Aplicamos el procedimiento de Gram-Schmidt a las columnas de A, que denominamos v A, v A q v, q v λ q, λ v q q, q q Ahora normalizamos para obtener q q q, q q q Por tanto, Q q q Por otro lado, [ ] v q R v q v q Para obtener la solución mínimo cuadrática del sistema, debemos resolver el sistema Rx Q t b En este caso, { Q t / b x + x y el sistema es /, / x / Por tanto, x /, x

4 Calculamos el número de condición de la matriz R respecto a la norma En este caso, R, R, R, R /, de donde cond R R R 4 Ejercicio 5 Calcule una descomposición en valores singulares de la matriz A Solución 5 Comenzamos calculando los autovalores de la matriz B A t A Se tiene que B A t A, y detλi B λ 6λ λ 6λ Sean λ 6, λ ; tenemos entonces σ 6, σ y podemos escribir 6 Σ Obtenemos ahora una base ortonormal de autovectores de B Autovalor λ Como λ I B Sea v w w w rref, llegamos a V λ w Autovalor λ De λ I B rref tenemos V λ w, w Aplicamos el procedimiento de Gram-Schmidt al conjunto {w, w para obtener Entonces q w, q w µq, µ w q q q, q / / v q q, v q q / / y V v v v Procedemos ahora con el cálculo de las columnas de la matriz U En primer lugar, [ ] u Av σ 6

5 Necesitamos la otra columna, que es un vector del subespacio u Así, u : x x, de donde tomamos u Ahora normalizamos u u y tenemos U u u inalmente podemos escribir A UΣV t Ejercicio 6 Sean A, A / /4 / /4 Para cada una de estas matrices, determine de forma razonada su pertenencia o no a las siguientes categorías: simétrica definida positiva, diagonalizable, irreducible, primitiva Solución 6 La matriz A es simétrica, por lo que es diagonalizable Si aplicamos el método de Cholesky, vemos A + / / / / / / El último pivote no es positivo, por lo que A no es definida positiva Como A tiene elementos negativos, no procede determinar si es irreducible o primitiva La matriz A es simétrica, por lo que es diagonalizable Si aplicamos el método de Cholesky, observamos que la posición, es nula, por lo que no es definida positiva Es una matriz no negativa y su grafo asociado tiene las aristas,,, Es un grafo fuertemente conexo, por lo que A es irreducible Por otra parte, y B βa B B β que tiene una fila no nula Por tanto, A es irreducible,