Álgebra lineal II Examen Parcial 3

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ESCUELA DE MATEMATICA Álgebra lineal II Examen Parcial II Semestre 04 Nick Gill Instrucciones: Puede usar cualesquiera de las proposiciones vistas en las lecciones incluidos los ejercicios. Escriba cuidadosamente y muy claramente las proposiciones que usa. () Sea A la matriz real siguiente: 4 4 ; 4 E la base canónica de R ; f : V V R una forma bilineal tal que [f] E = A. (a) Encontrar una matriz ortogonal P tal que P t AP = P AP sea diagonal. (b) Calcular A, usando esta forma diagonal D = P t AP. (c) Calcular la inercia de A y encontrar una base B tal que [f] B sea una matriz diagonal con todas las entradas en el conjunto {, 0, }. (a) El polinomio característico de A es P A (λ) = (λ + 4)(λ 5). Los espacios propios son: V 4 = (,, ) ; V 5 = (, 0, ), (,, 0). Aplicamos Gram-Schmidt a estas dos bases y obtenemos V 4 = (/, /, /) ; V 5 = λ(, 0, ), (,, ). Entonces podemos tomar P = 0 y obtenemos que P T AP = (b) Now we observe that A = P DP t where D is the diagonal matrix above and so A = P D P T = (c) La inercia de {n, n 0, n + } = {, 0, }. Se define S = y observamos que S T P T AP S = Entonces podemos tomar B, la base cuyos elementos son las columnas de P S..

2 () Sea F = Z/7Z, sea V = F y defina f : V V F, (x, y) y T x. 0 4 (a) Probar que f es bilineal, no-degenerada y reflexiva. (b) Sea W = (, 0, ) y calcular W. (c) Decimos que un subespacio de V es isotrópico con respecto a la forma f si, para todo u, u U, se tiene que f(u, u ) = 0. Probar que el polinomio g(x) = x + x + F[x] es irreducible y probar que, si U es un subespacio isotrópico de V con respecto a la f, entonces dim(u). (a) Sea A la matiz en la pregunta. Entonces f(x, y) = y T A X y la forma de la función implica directamente que f es bilineal. Además A es invertible, entonces f es nodegenerada. Al final, A es simétrica, entonces f es simétrica y entonces f es refléxiva. (b) W es igual al núcleo de la matriz [ ] = [ 4 ]. 0 4 Por lo tanto, W = (5,, 0), (, 0, ). (c) Se puede verificar que g(x) = x + x + no tiene raices en F, entonces g es irreducible. Supóngase que U es un subespacio isótropico de dimensón mayor que. En particular U intersecta el subespacio X = (0,, 0), (0, 0, ) no-trivialmente. Sea x X U\{0}. Entonces x = (0, x, x ) y f(x, x) = 0. Obtenemos que x + x x + x = 0. Si x 0, obtenemos que ( x x ) + x x + = 0 y tenemos una contradicción del hecho que f es irreducible. Entonces x = 0. Pero en este caso x = 0 también y x = 0, una contradicción. Entonces dim(u).

3 () Sea A M n (C) y sean λ,..., λ n los valores propios de A, repetidos según su multiplicidad. Demostrar la desigualdad: tr(a A) λ + + λ n, con igualdad si y solo si A es una matriz normal. Sea V = C n con el producto interno canónico y T : V V el operador tal que [T ] E = A. Por un teorema de lecciones, sabemos que hay una base ortonormal B tal que [T ] B es triangular superior. Equivalentamente, hay una matriz unitaria P tal que P AP es triangular. Ahora (P AP ) = P A P una matriz inferior. Pero observe que tr(a A) = tr(p A AP ) y P A AP = (P A P ) (P AP ), ahora calculación directa confirma que n n () tr(p A AP ) = B ij j= donde B ij is the (i, j)-iésima entrada de P AP. Pero, ya que P AP es triangular, sabemos que la lista de las entradas B, B,..., B nn es igual a lista de valores propios λ,..., λ n (podemos reordenar si necesario). La desigualdad sigue. Si A es normal, podemos escoger P tal que P AP es diagonal. Ahora cuando i j tenemos B ij = 0 y () nos da la igualdad que buscamos. Por fin, supóngase que tenemos igualdad. Entonces () es verdadero todavía y concluimos que cuando i j tenemos B ij = 0. Entonces P AP es diagonal y, por un teorema de lecciones, A es normal. i=

4 4 (4) Sea [ ] A =, una matriz real. Se define la curva cuadrática C f := {(x, y) R x + xy y + 6x + y + 8 = 0}. (a) Encontrar una matriz ortogonal P tal que P T AP sea diagonal. (b) Encontrar un movimiento rigido T de R (con respecto al producto interno canónico) tal que T (C f ) tenga la forma {(x, y) R ax + by + c = 0} para algunos números reales fijados a, b, c R. (c) Escribir T como una composición de una trasladación y una isometría y dibujar la curva C f. (a) Los valores propios de A son ± 5. Podemos calcular vectores propios unitarios correspondientes y obtenemos que (b) Escribe P = [ 0 ] f(x) = x T Ax + [ 6 ] x + 8 y define T : R R tal que T (x) = P x. Entonces define f (x) = (f T (x)) = 5 x 5 y + 0x + 8. Ahore define T : R R tal que T (x) = x + v con v = ( 0 5, 0). Entonces define f (x) = (f T (x)) = 5 x 5 y + 4 Ahora (T T )(C f ) = {x R f (x) = 0} como necesitamos. (c) Por construcción T = T T y T es una isometría, T una trasladación. Un dibujo:

5 5 (5) Sea F un cuerpo de característica diferente de ; V es un espacio vectorial sobre F de dimensión ; f : V [ V ] F es una forma alternante no-degenerada; 0 J = M(, F). 0 (a) Demostrar que hay una base {v, w} de V tal que f(v, v) = f(w, w) = 0, f(v, w) =, f(w, v) =. (b) Demostrar que el grupo de isometrías I f es isomorfo al grupo de matrices Sp (F) := {X GL(, F) X T J X = J }. (en donde la operación de grupo de Sp (F) es el producto de matrices). (c) Demostrar que Sp (F) = {X GL(, F) det(x) = }. (a) Ya que f es no-degenerada, hay vectores v y w tal que f(v, w) = a 0. Ahora sea v = a v y, por linealidad f(v, w) =. Ya que una forma alternante es anti-simétrica obtenemos que f(w, v) =. Al final f(v, v) = v(w, w) = 0 por la definición de alternante. (b) Sea B = {w, v} donde v, w son de parte (a). Observe que [f] B = J. Sea X = [T ] B donde T L(V ) y recuerde que T L(V ) es una isometría de f si y solo si f(v, w) = f(t v, T w) para todo v, w V. Entonces T es una isometría si y solo si x T J y = (Xx) T J (Xy) para todo x, y V. Obtenemos inmediatamente que T es una isometría si y solo si J = X T J X. Ahora recuerde que la función φ B : GL(V ) GL(, F), T [T ] B es un isomorfismo. Entonces concluimos que la pre-imagen de Sp (F) bajo φ B es el grupo de isometrías de f y, además, [ que ] este grupo es isomorfo a Sp (F) como necesitamos. a b (c) Sea X = GL(, F). Ahora c d [ X T J X = 0 bc ad ad bc 0 y observe que X T J X = J si y solo si ad bc =. ]

6 6 (6) Sea F un cuerpo de característica diferente de ; M n (F) el espacio vectorial de matrices n n sobre F; S = {X M n (F) X es simétrica}; A = {X M n (F) X es anti-simétrica}; (a) Probar que S y A son subespacios de M n (F) y que M n (F) = S A; (b) Sea V un espacio vectorial finitodimensional sobre F y f : V V F una forma bilineal. Probar que hay únicas formas f S, f A : V V F tal que f S es simétrica, f A es alternante y f(x, y) = f S (x, y) + f A (x, y) para todo x, y V. (a) Sea S, S dos matrices simétricas, c, c bf. Podemos ver facilmente que c S +c S es una matriz simétrica, entonces S es un subespacio de M n (F). Similarmente, A es un subespacio de M n (F). Además observe que dim(s) = n(n+) y dim(a) = n(n ). Entonces dim(s) + dim(a) = n = dim(m n (F) y, para probar que M n (F) = S A, es suficiente probar que S A = {0}. Pero si una matriz X es simétrica y anti-simétrica, es obvio que X = 0. Hemos terminado. (b) Ya que M n (F) = S A, toda matriz X es igual a X S + X A done X S es simétrica y X A as anti-simétrica. Además X S y X A son definido univocamente. Ahora fije una base B de V y sea X = [f] B. Definimos f S una forma tal que [f S ] B = X S y [f A ] = X A. Es claro que f S es simétrica, f A es alternante, y f(x, y) = f S (x, Y ) + f A (x, y) para todo x, y V.