Examen de Algebra Lineal Final. subespacio. Defina matriz diagonalizable b- Cuáles son las condiciones que debe cumplir A para ser diagonalizable?

Transcripción

1 1a- Deina: V espacio vectorial sobre un cuerpo K b- Demuestre: V espacio vectorial sobre K, v1, v,... v r V W = v1, v,..., vr subespacio Si v1 es combinación lineal de v, v,... v r entonces W = v, v,... v r a- V,W espacios vectoriales sobre K Deina: V,W espacios vectoriales isomoros b- Demuestre que dim( N ) + dim( I ) = dim( V) mxn a- A Deina matriz diagonalizable b- Cuáles son las condiciones que debe cumplir A para ser diagonalizable? - V = U = (1,1,,1);(1,,1,) W = (1,,0, 1);(,,,) a- Dar U+W b- Es la suma directa? Justiique c- Son subespacios Complementarios? Justiique 5- F( a bx cx ) ( a b c, b c c (1,1, ) F : P = + x x x base de a- Dar M ( ) ' F 1 = 1 b- Si [ p] dar [ = + + +, ) P ' = ((1,0,0);(1,1,0);(1,1,1)) base de F( p )] ' y F( p) V = W = (1,1,1,1);(1,1,1,0);(,,0,0) a- Encontrar una base ortogonal de W. b- Dar el complemento ortogonal de W.

2 1a- Deina subespacios Complementarios. b-demuestre: sea V espacio vectorial: U y W subespacios de V. La suma de U+W es directa si y solo si U W = {0}. mxn - Sea A a- Deina: λ valor propio de A b- Muestre que los valores propios de la matriz A son las raices de su ecuación característica. - Sea F: aplicación lineal; dimv=n; dimw=n; base de V; base de W. a- A que se llama matriz de la aplicación lineal F respecto de las bases y? b- Cómo se construye A= M ( ) ' F? - Sea V = U = (1,0,,0);(0,1,0, 1);(1,,, ) W = (1,,,0);(, 1,,1) a- Dar una base y la dimensión de U,W y U+W. b- Dar la dimensión de U W. 5- Sea el operador lineal F : = base canónica. 0 0 M ( T) = 1 0 matriz de F respecto de 1 Dar si es posible una base de vectores propios de F, la matriz del operador respecto a esa base y la matriz P de cambio de base. 6- Sea F : P / F( a+ bx+ cx ) = ( a b, a+ c,a b+ c) a- Dar el núcleo y la imagen de F. b- Es F biyectiva. Justiique.

3 1a- Deina subespacios complementarios. b- Demuestre: Sea V espacio vectorial U y W subespacios de V. La suma U y W es directa si y solo si U W = {0}. a- Deina núcleo e imagen de una aplicación lineal. b- Enuncie y demuestre el teorema de la suma de las dimensiones del núcleo y de la imagen de una aplicación lineal. a- Deina producto interno. b- Demuestre: Sea (V, /) espacio vectorialcon producto interno uv, V entonces: I- u/ v u. v II- u/ v = u. v sii u y v son L. d. - V = W= conjunto de soluciones del sistema X= a- Dar una base y dimensión de W. b- Completar una base de V. 5- Sea la aplicación lineal F : P a+ bx+ cx ( a+ b c, a b, a+ b) x x x = (1,1 +,1 + + ) base de, a- Dar la matriz M ( ) ' F b- Si [ ] 1 p = dar el vector P ' = ((1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)) base de p y [ F( p )] 6- Sea la ecuación qx ( ) = c 5x xy+ 8y = a- Dar una base positivamente orientada 1 que diagonalice q. b- Dar la ecuación qx ( ') = crespecto de dicha base, graique la cónica, ubicando los ejes deinidos 1 respecto al sistema original.

4 1a- Sea V; espacio vectorial, w, w subespacios de V. 1 b- Deina: subespacios suma w1+ w. c- Demuestre: Si w, w, subespacios de dimensión inita. Entonces 1 dim( w + w ) = dim( w ) + dim( w ) dim( w w ) a- Deina F: aplicación lineal inyectiva. b- Demuestre F: aplicación lineal. La imagen de todo subconjunto de vectores de V L.I. es un subconjunto de vectores de W L.I. si y solo si F es inyectiva. a- Sea V espacio vectorial con producto interno. u 0v ; v 0v Deina proy ( u ) ; ángulo(u, v) b- Demuestre: I- u proy ( u) v v v II- u+ v u + v y u+ v = u + v sii son L.I. - V = P W = (1 x+ x ); (5 x+ x ); ( x+ x ) a- Dar un sistema de ecuaciones lineales homogéneas que caracterice a W. b- Cuál es la dimensión de W? Justiique. 5- F : a b c d x ( a d; a b c; b c d) a- Caracterice el núcleo e imagen de F. b- Es F inyectiva? Por qué?. 6- Encontrar, si es posible, la matriz P que diagonalice la matriz 0 0 A = Examen de Algebra Lineal Final(solo teórico) 1a- Deina subespacio complementarios. c- Teorema de Suma Directa - Núcleo e Imagen (deinición) dim( v) = dim( N ) + dim( I ) - Producto Interno (deinición) - Cauchy-Schawarz

5 1a- Deina Producto Interno. b- Enuncie y demuestre el teorema de la desigualdad del triangulo. a- Deina núcleo e imagen de una aplicación lineal. b- Cómo estan relacionadas las dim del N y de la I de una A.L? Demuestrelo. n - Sea V = a- Deina bv : V orma bilineal. b- Si V = de la orma polinómica y matricial de la orma bilineal b. c- Si = ( e1, e, e) es la base canónica de. Qué representan los coeicientes de la matriz de la orma bilineal? x 1+ x + x =0 - Sea V = si U = (1, 1, 0); (1, 0, ) y W = { x x = 0 a- Dar U+W b- La suma es directa, son complementarios? x1 x + x+ x = 1 5- A = { P = (1, 1,,1) x1 x x x = Determine el punto mas próximo y d(p, A). x x F : F( A) = M. A con M = a- Caracterizar el núcleo e imagen y dar bases.