Bases ortogonales. Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz. Hernán Giraldo

Transcripción

1 Bases ortogonales Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz Iván Dario Gómez Hernán Giraldo 9

2 Definición Sea V un espacio vectorial y {v,..., v n} una base para V. decimos que {v,..., v n} es una base ortogonal si los vectores v,..., v n son ortogonales entre si, es decir si v i v j = para i j n. decimos que {v,..., v n} es una base ortonormal si es una base ortogonal y v i = para i =,..., n. Determine si los vectores v = base ortogonal de R 3., v = y v 3 = forman una

3 Definición Sea V un espacio vectorial y {v,..., v n} una base para V. decimos que {v,..., v n} es una base ortogonal si los vectores v,..., v n son ortogonales entre si, es decir si v i v j = para i j n. decimos que {v,..., v n} es una base ortonormal si es una base ortogonal y v i = para i =,..., n. Determine si los vectores v = base ortogonal de R 3., v = y v 3 = forman una Lema Si los vectores v,..., v k son ortogonales entre si, entonces son linealmente independientes.

4 Definición Sea V un espacio vectorial y {v,..., v n} una base para V. decimos que {v,..., v n} es una base ortogonal si los vectores v,..., v n son ortogonales entre si, es decir si v i v j = para i j n. decimos que {v,..., v n} es una base ortonormal si es una base ortogonal y v i = para i =,..., n. Determine si los vectores v = base ortogonal de R 3., v = y v 3 = forman una Lema Si los vectores v,..., v k son ortogonales entre si, entonces son linealmente independientes.

5 Definición Decimos que una matriz A = [ v v k ] es una matriz ortogonal si v i v j = para i j k y v i = para i =,..., k. La matriz A = es una matriz ortogonal.

6 Definición Decimos que una matriz A = [ v v k ] es una matriz ortogonal si v i v j = para i j k y v i = para i =,..., k. La matriz A = es una matriz ortogonal. Teorema (Propiedad de las matrices ortogonales) Sea A una matriz ortogonal, entonces A t A = I. Por tanto si A es una matriz cuadrada entonces A es invertible y A = A t, si A no es cuadrada entonces A tiene inversa a la izquierda la cual esta dada por A t.

7 Definición Decimos que una matriz A = [ v v k ] es una matriz ortogonal si v i v j = para i j k y v i = para i =,..., k. La matriz A = es una matriz ortogonal. Teorema (Propiedad de las matrices ortogonales) Sea A una matriz ortogonal, entonces A t A = I. Por tanto si A es una matriz cuadrada entonces A es invertible y A = A t, si A no es cuadrada entonces A tiene inversa a la izquierda la cual esta dada por A t.

8 Este teorema nos permite calcular la inversa de una matriz ortogonal de manera fácil, por el?? tenemos que la matriz A = es una matriz ortogonal El teorema también se puede usar para calcular la inversa a la izquierda de matrices ortogonales cuando no son cuadradas. Por ejemplo la matriz B = es una matriz ortogonal Teorema Sea {v..., v n} una base ortogonal para un espacio vectorial V y sea b V, entonces b = b v v + + b vn v n. v v v n v n Más aún, si {v..., v n} una base ortonormal, entonces b = (b v )v + + (b v n)v n.

9 Este teorema nos permite calcular la inversa de una matriz ortogonal de manera fácil, por el?? tenemos que la matriz A = es una matriz ortogonal El teorema también se puede usar para calcular la inversa a la izquierda de matrices ortogonales cuando no son cuadradas. Por ejemplo la matriz B = es una matriz ortogonal Teorema Sea {v..., v n} una base ortogonal para un espacio vectorial V y sea b V, entonces b = b v v + + b vn v n. v v v n v n Más aún, si {v..., v n} una base ortonormal, entonces b = (b v )v + + (b v n)v n.

10 Consideremos los vectores v =, v = y v 3 = forman una base ortogonal para R 3, puesto que A = [v v v 3] es una matriz ortogonal. Usando el teorema anterior podemos escribir el vector b = de la siguiente forma: b = b v v + b v v + b v3 v 3 = v v v v v 3 v 3 v + v + v3 = v + v3.

11 Consideremos los vectores w =, w = y w 3 = forman una base ortogonal para R 3, puesto que A = [v v v 3] es una matriz ortogonal. Usando el teorema anterior podemos escribir el vector b = de la siguiente forma: b = (b w )w + (b w )w + (b w 3)w 3 = w + w + w 3 = w + w 3.

12 Teorema Sea {v..., v k } una base ortonormal para un subespacio vectorial H de R n y sea b R n, entonces Observaciones proy Hb = (b v )v + + (b v k )v k. La segunda parte del Teorema 5 sale como corolario de este teorema, ya que si b H entonces por el Teorema?? tenemos que proy Hb = b y por tanto b = proy Hb = (b v )v + + (b v k )v k.

13 Teorema Sea {v..., v k } una base ortonormal para un subespacio vectorial H de R n y sea b R n, entonces Observaciones proy Hb = (b v )v + + (b v k )v k. La segunda parte del Teorema 5 sale como corolario de este teorema, ya que si b H entonces por el Teorema?? tenemos que proy Hb = b y por tanto b = proy Hb = (b v )v + + (b v k )v k. El plano xy (o z = ) tiene base ortogonal dada por v =, v = entonces usando el teorema anterior para calcular proy Hb donde H es el plano xy y b =

14 Teorema Sea {v..., v k } una base ortonormal para un subespacio vectorial H de R n y sea b R n, entonces Observaciones proy Hb = (b v )v + + (b v k )v k. La segunda parte del Teorema 5 sale como corolario de este teorema, ya que si b H entonces por el Teorema?? tenemos que proy Hb = b y por tanto b = proy Hb = (b v )v + + (b v k )v k. El plano xy (o z = ) tiene base ortogonal dada por v =, v = entonces usando el teorema anterior para calcular proy Hb donde H es el plano xy y b =