2.1 Proyección ortogonal sobre un subespacio. El teorema de la proyección ortogonal

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1 Tema 2- Proyecciones, simetrías y giros ÍNDICE 21 Proyección ortogonal sobre un subespacio El teorema de la proyección ortogonal 22 Simétría ortogonal respecto de un subespacio 23 Matrices de Householder 24 Giros 25 Matrices de rotación de Givens 26 Exponencial de una matriz 1

2 21 Proyección ortogonal sobre un subespacio El teorema de la proyección ortogonal Teorema 1 (teorema de la proyección ortogonal): Dados un espacio euclídeo E de dimensión n y un subespacio F del mismo, todo vector u E puede descomponerse de forma única en la suma de un vector v F y de un vector w F Dem: Como se vió en el tema 1, E = F F, y, por tanto, u E existen un único vector v F y un único vector w F tales que u = v + w Definición 1: Al vector v F se le denomina vector proyección ortogonal del vector u E sobre el subespacio F Teorema 2: Dados un espacio euclídeo E de dimensión n y un subespacio F del mismo, existe un único endomorfismo p de E tal que, para cada vector u de E, se cumple p(u) F, u p(u) F Dem: Basta definir una correspondencia de E en E que a cada vector u E le haga corresponder su proyección ortogonal sobre F Dicha correpondencia es aplicación y se denotará p : E E Se cumple, por tanto, que p(u) = v, de modo que u = v + w, v F y w F p es lineal, ya que λ,λ R, u,u E, p(λu+λ u ) = λv+λ v, ya que si u = v+w y u = v +w, v,v F y w,w F, se tiene λu + λ u = λ (v + w) + λ (v + w ) = λv + λ v + λw + λ w, donde λv + λ v F y λw + λ w F, de modo que p(λu + λ u ) = λv + λ v Como v = p(u) y v = p(u ), se deduce, finalmente, que p(λu + λ u ) = λp(u) + λ p(u ) Claramente, p(u) = v F y u p(u) = w F El endomorfismo p está univocamente determinado En efecto, supóngase que existiese otro endomorfismo q, tal que para cada vector u de E, se cumpliese q(u) F, u q(u) F En ese caso, se tiene u p(u) (u q(u)) F ; pero u p(u) (u q(u)) = q(u) p(u) F El único vector que pertenece simultaneamente a F y a F es el vector nulo Por tanto, u E, q(u) = p(u); es decir, q = p Definición 2: El endomorfismo anterior p se denomina proyección ortogonal sobre el subespacio F Sean R n con el producto escalar estandar, F subespacio vectorial de R n y (e 1,,e m ) base ortonormada de F La matriz P de la proyección ortogonal sobre F, respecto de la base canónica, viene dada por P = m e j e t j R n n j=1 Bajo las premisas anteriores, si (u 1,u 2,,u m ) es una base de M (no necesariamente ortonormada), P = A(A t A) 1 A t, donde A = (u 1 u 2 u m ) La matriz P es simétrica (P = P t ) y, además, P 2 = P Recíprocamente, toda matriz P R n n, que cumpla las dos propiedades anteriores, define la proyección ortogonal en R n (con el producto escalar estandar) sobre el subespacio columna de P (ImP), dada por R n R n u Pu 2

3 Supóngase P distinta de I n (si fuera I n sería la proyección ortogonal sobre R n, caso en que el valor propio de P = I n es sólo el 1) y distinta de O (si fuera O sería la proyección ortogonal sobre {0}, caso en que el valor propio de P = O es sólo el 0) En dicha situación, los valores propios de la matriz P son 1 y 0, con subespacios propios asociados ker(p I n ) (coincidente con ImP) y kerp (coincidente con (ImP) ), respectivamente Por tanto, la matriz P es diagonalizable El subespacio sobre el que se proyecta ortogonalmente es, pues, el subespacio propio asociado a 1 Teorema 3: Dados un espacio euclídeo E de dimensión n y un subespacio F del mismo, si u E y v F es la proyección ortogonal de u sobre F, se cumple u v = mín u z z F Dem: Como u v F y v z F, aplicando el teorema de Pitágoras se tiene u z 2 = u v + v z 2 = u v 2 + v z 2 Por tanto, z F, u v 2 u z 2 (la igualdad se da si y sólo si z = v) Se cumple, pues, que z F, u v u z, de modo que, al alcanzarse la cota inferior para z = v F, u v = mín u z z F u-v u u-z F z v v-z Figura 1 Proyección ortogonal sobre un subespacio Figura 1: Figura 1: Proyección ortogonal sobre un subespacio Corolario 1: Si u E y v F, entonces u v = mín u z u v F z F 3

4 22 Simétría ortogonal respecto de un subespacio Teorema 4: Dados el espacio euclídeo E de dimensión n y un subespacio F del mismo, existe un único endomorfismo s tal que, para todo vector u de c, se cumple donde p es la proyección ortogonal sobre F s(u) = 2p(u) u Dem: Bastaría definir la correspondencia de E en E, que a cada vector u E, le hiciese corresponder el vector 2p(u) u E Es fácil demostrar que se trata de una aplicación lineal, ya que p es endomorfismo Su unicidad viene determinada por la de la proyección ortogonal p Definición 3: El endormorfismo anterior s se denomina simetría ortogonal respecto del subespacio F Definición 4: s(u) es el simétrico del vector u E respecto del subespacio F Sean R n con el producto escalar estandar y F subespacio vectorial de R n La matriz S, respecto de la base canónica, de la simetría ortogonal respecto de F viene dada por S = 2P I n R n n donde P es la matriz, respecto de la base canónica, de la proyección ortogonal sobre F La matriz S es simétrica y ortogonal Recíprocamente, toda matriz S R n n, que cumpla las dos propiedades anteriores, define la simetría ortogonal en R n (con el producto escalar estandar) respecto del subespacio Im (S + I n ), dada por R n R n u Su Supóngase S distinta de I n (si fuera I n sería la simetría ortogonal respecto de R n, caso en que el valor propio de S = I n es sólo el 1) y distinta de I n (si fuera I n sería la simetría ortogonal respecto de {0}, caso en que el valor propio de S = I n es sólo el 1) En la situación anterior, los valores propios de la matriz S son 1 y 1 Se cumple (ker(s I n )) = ker(s + I n ) y, por tanto, la matriz S es diagonalizable El subespacio, respecto del cual se realiza la simetría ortogonal, es el subespacio propio asociado al valor propio 1 (coincidente con Im (S + I n )) 24 Matrices de Householder Definición 5: Una simetría de Householder es una simetría ortogonal en R n (con el producto escalar estandar) respecto del hiperplano ortogonal a un vector no nulo v R n Definición 6: La matriz, respecto de la base canónica de R n, de la simetría de Householder correspondiente a un vector no nulo v R n, se denomina matriz de Householder correspondiente a ese vector v y se denota H v Dicha matriz, respecto de la base canónica de R n, es H v = I n 2 v 2 vv t 4

5 Teorema 5: Sea e 1 = (1, 0,,0); a R n, que no dependa linealmente de e 1, existen solamente dos matrices de Householder H 1 y H 2 (H 1 H 2 ) tales que H 1 a = a e 1 y H 2 a = a e 1 Aunque no se incluye la demostración del teorema anterior, es importante indicar que H 1 viene definida por el vector a a e 1 y H 2 por el vector a + a e 1 Observación- Uno de los objetivos prácticos de las matrices de Householder, como se verá en el tema siguiente, es transformar un vector no nulo en un vector cuya primera componente sea a o a y el resto de sus componentes sean nulas En el caso excluido en el teorema anterior; es decir, si a = βe 1, β R, existe también la matriz de Householder H e1 tal que H e1 a = a e 1 si β < 0 o H e1 a = a e 1 si β > 0 25 Giros Definición 7: Se define un giro en R 3, de ángulo ϕ, alrededor del eje L[u] (u 0), como el único endomorfismo G del espacio euclídeo R 3, con el producto escalar estandar, tal que, si (e 1,e 2,e 3 ), donde e 1 = 1 u u, es una base ortonormada de R3, de modo que e 2 e 3 = e 1, que cumple G(e 1 ) = e 1, G(e 2 ) = cosϕ e 2 + senϕ e 3, G(e 3 ) = senϕ e 2 + cosϕ e 3 Como consecuencia, la matriz del giro respecto de la base (e 1,e 2,e 3 ) es la matriz ortogonal de determinante igual a 1: cos ϕ senϕ 0 senϕ cos ϕ La matriz del giro, respecto de la base canónica de R 3, es (e 1 e 2 e 3 ) 0 cos ϕ senϕ (e 1 e 2 e 3 ) t 0 senϕ cos ϕ donde (e 1 e 2 e 3 ) es la matriz de columnas e 1,e 2,e 3 El vector (x,y,z ) t, transformado por el giro de un vector (x,y,z) t R 3, viene dado por x x y = (e 1 e 2 e 3 ) 0 cos ϕ senϕ (e 1 e 2 e 3 ) t y z 0 senϕ cos ϕ z 5

6 26 Matrices de rotación de Givens Definición 8: Una matriz de Givens es una matriz de la forma i) 0 cos ϕ 0 senϕ j) 0 senϕ 0 cos ϕ i j donde i y j indican las filas o columnas correspondientes a los cosenos y senos Esta matriz se denotará G(i,j,ϕ) Las matrices de Givens son matrices ortogonales de determinante igual a 1 Definición 9: Una matriz de rotación de R n n es una matriz ortogonal cuyo determinante es igual a 1 Teorema 6: La matriz, respecto de una base ortonormal, de todo giro en R 3 es una matriz de rotación de R 3 3 Recíprocamente, toda rotación de R 3 3 define un giro, aunque éste no está unívocamente determinado 27 Exponencial de una matriz Definición 10: La exponencial de la matriz A C n n viene definida por e A = I n + 1 1! A + 1 2! A k! Ak + serie de potencias matricial convergente cualquiera que sea A Teorema 7: Sean A,B C n n, se cumplen: 1) e O = I n 2) deta = Ae ta = e ta A dt 3) t R, e ta = (e ta ) 1 4) Si AB = BA, e A+B = e A e B 5) Si u C n y Au = λu, entonces t R, e ta u = e tλ u El producto vectorial de dos vectores u = (u 1,u 2,u 3 ) t y v = (v 1,v 2,v 3 ) t de R 3 viene dado por: 0 u 3 u 2 v 1 u 3 0 u 1 v 2 u 2 u 1 0 v 3 que se escribirá como ũv, donde ũ denota la primera matriz 6

7 Teorema 8 (Fórmula de Rodrigues): Dada la matriz A = 0 u 3 u 2 u 3 0 u 1 u 2 u 1 0 R 3 3 donde el vector (u 1,u 2,u 3 ) t es unitario, se tiene, para todo ϕ real, e ϕa = I 3 + (sen ϕ)a + (1 cos ϕ)a 2 Teorema 9: La exponencial de una matriz real antisimétrica de orden tres es una rotación y, recíprocamente, toda matriz de rotación de R 3 3 puede expresarse como la exponencial de una matriz real antisimétrica de orden tres 7