Espacios eucĺıdeos. Tema Ejemplo introductorio.

Transcripción

1 Tema 3 Espacios eucĺıdeos El objetivo de este tema es la resolución de ciertos problemas de aproximación en espacios vectoriales. Para ello necesitaremos utilizar la idea de ortogonalidad entre vectores. 3.. Ejemplo introductorio. Volvemos al espacio vectorial R 2. Aquí, se puede decir que dos vectores son perpendiculares u ortogonales si forman ángulo recto. Podemos traducir esta condición en términos de coordenadas para una mejor manipulación en la práctica. Sean u = (u, u 2 T, v = (v, v 2 T dos vectores en R 2 ortogonales. Esto significa que si, por ejemplo, giramos v un ángulo de noventa grados, el resultado es un vector que debe estar en la misma recta que u, es decir, que debe ser proporcional a u. Recordemos del tema anterior que un giro de noventa grados transforma v = (v, v 2 T en el vector ( ( ( v v2 =. v 2 v Si este vector es proporcional a u = (u, u 2 T, entonces es de la forma ( v2 v para cierta constante λ R. Si u, u 2, esto significa que Entonces ( u = λ, (3. u 2 v 2 u = v u 2 = λ. u v + u 2 v 2 =. Si u =, entonces de (3. también es v 2 = y se verifica u v + u 2 v 2 =. Análogamente, si es u 2 =, entonces de (3. también es v = y también se verifica u v + u 2 v 2 =. Luego la condición de ortogonalidad entre los vectores en términos de coordenadas es ( u T v v = (u, u 2 = u v v + u 2 v 2 =. 2

2 La operación ( u, v = u T v v = (u, u 2 = u v v + u 2 v 2, 2 se llama producto escalar euclídeo en R 2. La importancia de la ortogonalidad entre vectores del plano aparece en muchos problemas, sobre todo geométricos. Algunos de ellos están relacionados con la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio. Por ejemplo, en la figura v v P v P v se muestra el vector P v que es proyección ortogonal de un vector v sobre una recta que pasa por el origen. Tal proyección se determina obligando a que la diferencia entre los dos vectores v P v sea perpendicular a la recta. Esta construcción proporciona además la distancia entre el punto v = (x, y del plano y la recta, como el módulo del vector diferencia entre v y su proyección ortogonal. Fijémonos en que esta distancia es la mínima posible entre (x, y y los puntos de la recta, y se determina a través de la proyección ortogonal. No parece difícil extender esta idea al espacio tridimensional, donde la ortogonalidad es también visualizable. El problema ahora es buscar la manera de hablar de ortogonalidad y proyección ortogonal en un espacio vectorial cualquiera. Necesitamos en principio definir algo que generalice el producto escalar euclídeo de R Producto escalar Sea V un espacio vectorial sobre K = R ó C. Un producto interno o producto escalar en V es toda aplicación que debe verificar las siguientes propiedades: ( u + u 2, v = u, v + u 2, v. (2 λ u, v = λ u, v. (3 u, v = v, u., : V V K, (4 u, u y si u, u = necesariamente u =. Combinando estas propiedades se tienen otras dos u, v + v 2 = u, v + u, v 2.

3 u, λ v = λ u, v. Un espacio vectorial euclídeo no es más que un espacio vectorial dotado de un producto interno. Asociado a un producto interno se encuentra la norma o longitud de un vector v V que se define como v = v, v. Se verifica siempre que λ v = λ v, λ K, v V. Ejemplos. [] V = R n, n =, 2, 3,.... Como hemos mencionado, el producto interno más célebre es el euclídeo: si v = (v,..., v n T, u = (u,..., u n T se define u, v = u v + + u n v n. La norma asociada es la llamada norma eucídea: v = v v2 n, que determina geométricamente la longitud de un vector de R n. [2] V = C n, n =, 2, 3,.... En este caso se puede definir el producto interno u, v = u v + + u n v n, y la norma es la del ejemplo anterior, v = v v2 n. [3] V = {f : [, 2π] R, f continua}. Se puede definir, f, g = f(xg(xdx, que es un producto interno sobre V (esto es, verifica las propiedades (-(4 de la definición. La correspondiente norma es f 2 = ( f(x 2 dx /2. En principio, en un mismo espacio vectorial pueden definirse productos internos diferentes. Por otro lado, hay varias desigualdades importantes asociadas a un producto interno. Teorema. Sea (V,, un espacio vectorial euclídeo. Entonces, se verifican La desigualdad de Cauchy-Schwarz: si u, v V u, v u v. La igualdad se produce si y sólo si u y v son linealmente dependientes.

4 La desigualdad de Minkowsky: si u, v V u + v u + v. La igualdad se cumple si y sólo si los vectores u y v son proporcionales con coeficiente de proporcionalidad positivo. Ya hemos visto en R 2 que la importancia desde un punto de vista geométrico de un producto interno viene dada por su relación con el ángulo formado por dos vectores. Esto puede generalizarse a cualquier producto interno en cualquier espacio vectorial. Vamos a buscar una fórmula que relacione el producto escalar con el ángulo entre vectores. Pensemos por ejemplo en el plano V = R 2 y el producto euclídeo u, v = u v + u 2 v 2. v u Los elementos u, v V pueden representarse como vectores en el plano que parten del origen. Sean α y β respectivamente los ángulos formados por los vectores u y v con el eje horizontal. Se tiene, sin α = u 2 / u, sin β = v 2 / v, cos α = u / u, cos β = v / v. Ahora, el ángulo θ formado por los vectores u y v es θ = α β, de modo que cos θ = cos(α β = cos α cos β + sin α sin β = u v + u 2 v 2 u v = u, v u v, y se tiene la fórmula para determinar el ángulo entre los dos vectores en función del producto interno y la norma: u, v = u v cos θ. (3.2 Esta fórmula es general: si (V,, es un espacio vectorial euclídeo, u, v V, entonces el ángulo θ entre u y v viene dado por Re( u, v = u v cos θ. (En el lado izquierdo se toma la parte real pues la fórmula es válida para cualquier producto interno, sea real o complejo Sistemas y bases ortogonales y ortonormales Esta idea de ortogonalidad es entonces la generalización a un espacio euclídeo del concepto geométrico de vectores perpendiculares. Volviendo al ejemplo anterior de R 2, los vectores u y v serán perpendiculares

5 si forman un ángulo recto. Según (3.2, esto significa que u, v = (recuérdese la introducción. Ello motiva la siguiente Definición. Sea (V,, un espacio vectorial euclídeo. Se dice que dos vectores u y v son ortogonales cuando u, v =. Ejemplo. En R n con el producto euclídeo, la ortogonalidad significa que o, en términos matriciales, u v + + u n v n =, u T v =. por ejemplo, u = (,,, T y v = (,,, T son ortogonales para este producto interno. Ejemplo 2. Sea V = {f : [, 2π] C, f continua}. Se puede definir, f, g = f(xg(xdx, que es un producto interno sobre V. Las funciones f(x = e 3ix, g(x = e ix verifican f, g = e 3ix e ix dx = e 2ix dx = e2ix 2i Luego las funciones f y g son ortogonales para este producto interno. Se dice que un sistema de vectores no nulos { e, e 2,..., e n } en V es Ortogonal si e k, e l = para k l. 2π =. Ortonormal si es ortogonal y además todos los vectores tienen norma uno, es decir e k, e l =, k l, e k, e k =, k =,..., n. Así, por ejemplo, los vectores e = (, T, e 2 = (, T forman un sistema ortogonal para el producto interno euclídeo en R 2 y los vectores e = (, T, e 2 = (, T forman un sistema ortonormal. La diferencia está en que los vectores ortonormales, además de ser ortogonales, han de tener norma uno. Así, un sistema ortonormal es siempre ortogonal. Por otro lado, si uno tiene un sistema { e, e 2,..., e n } ortogonal de vectores no nulos, basta considerar el conjunto de vectores { e e, e 2 e 2,..., e n e n } para obtener un sistema ortonormal. Por ejemplo, el sistema ortogonal anterior { e = (, T, e 2 = (, T } genera el sistema ortonormal { e e = ( 2, 2 T e, 2 e 2 = ( 2, 2 T }. Por último, un sistema ortogonal de vectores no nulos es siempre un conjunto linealmente independiente de vectores. En efecto, consideremos un sistema ortogonal { e, e 2,..., e n } y una combinación nula cualquiera α e + α 2 e α n e n =. Para comprobar que los vectores son independientes tenemos que llegar a que los coeficientes de la combinación son todos nulos. Si hacemos el producto interno de la combinación lineal con e, tenemos =, e = α e + α 2 e α n e n, e = α e, e + α 2 e 2, e + + α n e n, e = α e, e = α e 2,

6 donde hemos utilizado la ortogonalidad de los vectores e, e 2,..., e n. De aquí, necesariamente α =. Este razonamiento puede repetirse con los vectores e 2, e 3 hasta e n, concluyendo que α 2 = α 3 = = α n = y, por tanto, los vectores son independientes. Las bases que son ortogonales u ortonormales son muy útiles, entre otras cosas porque permiten obtener de forma sencilla las coordenadas de un vector en ellas. Esto es lo que afirma el siguiente resultado. Teorema 2. Sea (V,, un espacio vectorial euclídeo y { e, e 2,..., e m } un sistema ortogonal con espacio generado W. Si u W, entonces u = u, e e 2 e + u, e 2 e 2 2 e u, e m e m 2 e m. En particular, si { e, e 2,..., e m } es ortonormal, entonces u = u, e e + u, e 2 e u, e m e m. Por ejemplo, el sistema B = { e, e 2, e 3 } con e = (,, T, e 2 = (,, T, e 3 = (,, 2 T, es un sistema ortogonal, y por tanto forma una base ortogonal, de R 3 para el producto escalar euclídeo. Si u = (3, 2, 4 T, podemos calcular las coordenadas de u con respecto a la base B de dos maneras: la primera, utilizando las fórmulas de cambio de base analizadas en el tema 2, es decir, si u = α e + α 2 e 2 + α 3 e 3, entonces las coordenadas α, α 2, α 3 resuelven el sistema lineal 2 α α 2 α 3 = de donde α =, α 2 = 5/2, α 3 = 3/2. La segunda forma utiliza el teorema 2. Como la base es ortogonal, entonces 3 2 4, u = α e + α 2 e 2 + α 3 e 3 = u, e e 2 e + u, e 2 e 2 2 e 2 + u, e 3 e 3 2 e 3. Calculando los productos internos, se tiene u, e e 2 =, u, e 2 e 2 2 = 5 2, u, e 3 e 3 2 = 9 6, obteniéndose las mismas coordenadas que con la primera forma. La obtención de bases ortogonales y ortonormales será importante al tratar los problemas de aproximación en este tema. Por eso presentamos ahora un procedimiento para que, a partir de una base cualquiera, se pueda obtener una base ortogonal Método de ortogonalización de Gram-Schmidt Teorema 3 (Método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Sea { v, v 2,..., v m } un sistema libre de vectores en un espacio vectorial euclídeo (V,,. Entonces, (a Existe un nuevo sistema ortogonal y libre { e, e 2,..., e m } tal que e = v y para k = 2,..., m el vector e k está determinado de forma única por la relación y las relaciones de ortogonalidad, e k = v k α k e α k,k e k, e k, e l =, l =,..., k.

7 (b El nuevo sistema genera el mismo espacio que el de partida. En particular, toda base de V se puede ortogonalizar. El procedimiento enunciado en el teorema es como sigue. Dados { v, v 2,..., v m } linealmente independientes, el primer vector no cambia: e = v. para obtener e 2, escribimos e 2 = v 2 α 2 e e imponemos la ortogonalidad entre e y e 2, Queda así determinado e 2, e = v 2, e α 2 e, e = α 2 = v 2, e e 2. e 2 = v 2 v 2, e e 2 e, que, por construcción, es ortogonal a e. Ahora, para obtener e 3, se escribe e 3 = v 3 α 3 e α 23 e 2 y se impone la ortogonalidad con e y e 2, De este modo, e 3, e = v 3, e α 3 e, e = α 3 = v 3, e e 2, e 3, e 2 = v 3, e 2 α 23 e 2, e 2 = α 23 = v 3, e 2 e 2 2. e 3 = v 3 v 3, e e 2 e v 3, e 2 e 2 2 e. El procedimiento permite un paso general. Supongamos que hemos obtenido e,..., e k ortogonales y queremos obtener e k. Entonces escribimos e k = v k α k e α 2k e 2 α k,k e k e imponemos las condiciones de ortogonalidad e k, e = α k = v k, e e 2, e k, e k = α k,k = v k, e k e k 2, con lo que e k queda determinado. Continuamos el proceso hasta obtener tantos vectores como al principio. Ejemplo. Supongamos que los vectores dados son v =, v 2 = Entonces e = v. El vector e 2 se obtiene de las condiciones, v 3 = e 2 = v 2 α,2 e e 2, e =,. de donde e 2 = v 2 v 2, e e, e e = v 2 2 e,

8 y, operando, es e 2 = (/2, /2, T. El tercer vector viene de las condiciones por lo que y por tanto e 3 = ( 2/3, 2/3, 2/3 T. e 3 = v 3 α,3 e α 2,3 e 2 e 3, e = e 3, e 2 =, e 3 = v 3 v 3, e e, e e v 3, e 2 e 2, e 2 e 2 = v 3 2 e 3 e 2, Para obtener una base ortonormal, podemos primero calcular una base ortogonal { e, e 2,..., e m } a partir del método de Gram-Schmidt y luego dividir cada vector por su norma { e e, e 2 e 2,..., e n e n }. Así, en el ejemplo anterior, los vectores ortonormales finales son entonces q = e e = 2, q 2 = e 2 e 2 = 2 3 /2 /2, q 3 = e 3 e 3 = 3 4 2/3 2/3 2/3. Pueden darse otras alternativas para calcular una base ortonormal, basadas en modificaciones del método de Gram-Schmidt Subespacio ortogonal a uno dado y proyección ortogonal sobre un susbespacio Al principio del tema mencionamos la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio al hablar de la distancia de un punto del plano a una recta. Puesto que hemos extendido la ortogonalidad a un espacio vectorial cualquiera a través del producto interno, intentamos ahora hacer lo mismo con la proyección ortogonal. Del ejemplo en R 2 debemos retener lo siguiente: la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio es un vector del mismo subespacio cuya diferencia con el original genera un vector que es ortogonal a todos los del subespacio sobre el que proyectamos. Además, la proyección ortogonal es la mejor aproximación del vector por elementos del subespacio, en el sentido de proporcionar la mínima distancia del vector al subespacio. Dado un subconjunto U de un espacio vectorial euclídeo (V,, se define su ortogonal como U = { v V/ u, v =, u U}. Es decir, U está formado por aquellos vectores que son ortogonales a todos los vectores de U. Hay que destacar que aunque U no sea un subespacio vectorial, el ortogonal U siempre lo es. Si, en particular, U es un subespacio vectorial, entonces U U = { }. El siguiente resultado proporciona la forma de manipular ortogonales en la práctica. Teorema 4. Sea (V,, un espacio vectorial euclídeo y W un subespacio de dimensión finita. Entonces, (i Un vector v está en W si y sólo si v es ortogonal a un sistema de generadores (en particular a una base cualquiera de W. (ii El subespacio ortogonal W es suplementario de W, es decir, V = W W. (iii Cada vector v V se escribe de forma única como una suma de dos vectores v = w + u, con w W, u W.

9 (iv Si V tiene dimensión finita, entonces dimw = dimv dimw. Vamos a ilustrar estos resultados. Ejemplo. En R 3 con el producto usual, x, y = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3, consideramos el subespacio W generado por el vector e = (,, T. Según el apartado (i del teorema 4, un vector v = (x, y, z T está en W si es ortogonal a un sistema generador cualquiera de W ; como W está generado sólo por e = (,, T entonces v W v, e = (x, y, z Esto nos proporciona las ecuaciones del ortogonal de W, = x =. W = { v = (x, y, z T R 3 /x = }. Una base de W T es, por ejemplo { e 2 = (,, T, e 3 = (,, T }. Entonces, tenemos que { e, e 2, e 3 } es una base de R 3. Esto es lo que significa el apartado (ii del teorema 4; en este caso R 3 = W W. Por otro lado, todo vector v = (x, y, z T R 3 se escribe como v = x e + y e 2 + z e 3 = w + u, donde w = x e = (x,, T W y u = y e 2 + z e 3 = (, y, z T W. Esta es la descomposición deducida en (iii para este caso. Por último, como dimw =, entonces dimw = dimr 3 dimw = 2, como ya habíamos obtenido al deducir las ecuaciones del subespacio W. Ejemplo 2. Sea A M m,n (K. Entonces (Ker(A = fil(a (Ker(A T = col(a En efecto, vamos a comprobar la primera igualdad. La segunda queda como ejercicio y es trivial a partir de la primera. Fijémonos en que si x es tal que A x =, este sistema de ecuaciones afirma que cada fila de A es ortogonal a cualquier vector x Ker(A. Luego fil(a (Ker(A. Como, por otra parte, ambos subespacios tienen la misma dimensión, ha de ser (Ker(A = fil(a. Volvamos a la situación del teorema 4. El sumando w W de la descomposición v = w + u se llama proyección ortogonal de v sobre W y se denota por P W ( v. Teorema 5. En las condiciones del teorema 4, se tiene: ( La proyección ortogonal P W ( v W de v sobre W queda caracterizada por la condición v P W ( v es ortogonal a todo vector de W. (2 La proyección ortogonal P W ( v de v sobre W es la mejor aproximación de v por elementos de W, en el sentido de que es el más próximo a v de entre todos los vectores de W, es decir: v P W ( v = mín{ v w : w W }. La relación del apartado ( del teorema da un medio práctico para calcular P W ( v. Tomemos una base cualquiera { w, w 2,..., w m } de W. Encontrar P W ( v es encontrar escalares λ,..., λ m tales que P W ( v = λ w + + λ m w m, puesto que la proyección ha de estar en W. Por otro lado, para que se

10 verifique la condición de ( se necesita y basta que v P W ( v sea ortogonal a cada w i. Por tanto, los λ i quedan caracterizados por las m condiciones es decir, v (λ w + + λ m w m, w = v (λ w + + λ m w m, w 2 =. =.. v (λ w + + λ m w m, w m =, λ w, w + + λ m w m, w = v, w λ w, w λ m w m, w 2 = v, w 2 (3.3.. =.. λ w, w m + + λ m w m, w m = v, w m Las ecuaciones (3.3 se llaman ecuaciones normales del problema. Un caso particularmente sencillo es aquél en el que la base { w, w 2,..., w m } es ortogonal. Entonces, el sistema (3.3 tiene la forma con lo que se obtiene la fórmula cerrada λ w 2 = v, w. =.. λ m w m 2 = v, w m P W ( v = v, w w 2 w + + v, w m w m 2 w m. Hay que insistir en que esta fórmula sólo es válida cuando la base elegida en W, { w, w 2,..., w m } es ortogonal. En caso contrario, hay que utilizar las ecuaciones normales para determinar la proyección ortogonal. Ejemplos. ( Sea W = {(x, y, z, t T /x + y z =, x t = }. Buscamos la proyección ortogonal de v = (,,, T sobre W. Primero obtenemos una base de W, que puede ser, por ejemplo, w = (,,, T, w 2 = (,,, T. Ahora, la proyección ha de ser de la forma P W ( v = λ w + λ 2 w 2. Para determinar las coordenadas λ, λ 2, debemos obligar a que el vector diferencia v P W ( v sea ortogonal al sistema generador de W. El planteamiento de las condiciones de ortogonalidad da lugar al sistema de ecuaciones normales de donde λ = 2/5, λ 2 = 4/5. Entonces 3λ + λ 2 = 2 λ + 2λ 2 = 2, P W ( v = 2 5 w w 2 = (2/5, 4/5, 6/5, 2/5 T. (2 Consideremos ahora el espacio V de funciones reales y acotadas, definidas en el intervalo [, ] y dotado con el producto interno La función f : [, ] R dada por f, g V, f, g = f(x = f(xg(xdx. { si x [, ] si x (, ]

11 está en V, así como los polinomios, x, x 2. Vamos a buscar la proyección ortogonal de f sobre el subespacio de polinomios de grado menor o igual que dos y coeficientes reales W, generado por tanto por los polinomios, x, x 2. Al tener que ser un elemento de W, la proyección tendrá la forma P W (f(x = α + α x + α 2 x 2. Para determinar los coeficientes de este polinomio, debemos obligar a que la función diferencia f P W (f sea ortogonal al sistema generador de W. Esto nos lleva al sistema de ecuaciones normales f P W (f α, + α x, + α 2 x 2, = f, f P W (f x α, x + α x, x + α 2 x 2, x = f, x f P W (f x 2 α, x 2 + α x, x 2 + α 2 x 2, x 2 = f, x 2, que, utilizando la definición del producto interno, tiene la forma ( ( ( α dx + α xdx + α 2 x 2 dx = ( ( ( α xdx + α x 2 dx + α 2 x 3 dx = ( ( ( α x 2 dx + α x 3 dx + α 2 x 4 dx = Calculando las integrales, tenemos el sistema 2α α 2 =, 2 3 α =, 2 3 α α 2 =, ( f(xdx, ( xf(xdx, ( x 2 f(xdx. de donde α = α 2 =, α = 3 2 y, por tanto, la proyección ortogonal buscada es el polinomio P W (f(x = 3 2 x. (3 Sea V = {f : [, 2π] R, f continua} con el producto interno f, g = f(xg(xdx. Vamos a buscar la proyección ortogonal de f(x = x sobre el subespacio W generado por las funciones, sin x, cos x. La proyección tendrá la forma P W (f = λ + λ 2 sin x + λ 3 cos x. Fijémonos en que, sin x =, cos x = sin x, cos x = sin xdx = cos x 2π =, cos xdx = sin x 2π =, sin x cos xdx = 4 cos 2x 2π =. Esto significa que la base elegida en W es ortogonal. Entonces, la proyección ortogonal puede calcularse como f, f, sin x f, cos x P W (f = + sin x + =, xdx dx + sin x, sin x x sin xdx sin 2 xdx sin x + cos x, cos x cos x x cos xdx cos x. cos 2 xdx Calculando las integrales, tenemos que P W (f(x = π 2 sin x. En este caso podemos usar la fórmula cerrada para hallar la proyección, pues la base del subespacio sobre el que se proyecta es ortogonal. Esto no podía hacerse en los anteriores ejemplos.

12 3.6. Problemas de ajuste Hay muchos problemas (en Física, Economía, Comunicación, etc cuyo planteamiento matemático de fondo consiste en aproximar un cierto elemento de un espacio vectorial por elementos de un subespacio de la mejor manera posible, en el sentido de que la distancia del elemento aproximado a la aproximación sea mínima. De este modo, tales problemas involucran el cálculo de una proyección ortogonal. En esta sección intentaremos presentar varios ejemplos clásicos Ejemplo. Sistemas sobredeterminados Muchos problemas de aproximación o de ajuste desembocan en la resolución de un sistema lineal A x = b, A M m,n (R, b R m, x R n, sobredeterminado (m > n, muchas más ecuaciones que incógnitas, con las columnas de A independientes (rango (A = n e incompatible, es decir, b / W = col(a. Por ejemplo, 5 2 ( 3 x 5 = 4 x , ( es de este tipo. Si el sistema A x = b no tiene solución, entonces b no puede ser combinación de las columnas de A, es decir, b / W = col(a. Han de buscarse entonces valores de x de modo que, puesto que A x no puede ser b, esté lo más cerca posible de b, en el sentido de que la norma euclídea A x b sea la menor posible. Tales x juegan el papel de soluciones en un sentido generalizado. Su determinación comprende dos etapas: (i Hallar la mejor aproximación b a b por elementos de W (proyección ortogonal. (ii Resolver el sistema A x = b en sentido convencional. La solución x LS de este sistema se llama solución en el sentido mínimos cuadrados, pues por la caracterización de la proyección ortogonal, hace mínima las distancias A x b cuando x recorre R n. En la práctica, estas dos etapas se suelen reunir de la siguiente forma. Denotemos por A i la i ésima columna de A. Puesto que b es la proyección ortogonal de b sobre W = col(a y b = A x LS, entonces la condición de proyección ortogonal nos lleva a que b b = b A x LS debe ser ortogonal a cada columna de A: o, equivalentemente b A x LS, A j =, j =, 2,..., n, A x LS, A j = A j, b, de modo que las ecuaciones normales en este caso nos llevan a A T A x LS = A T b. (3.5 Si las columnas de A son linealmente independientes, el sistema de ecuaciones normales (3.5 tiene solución única, y como hemos visto, es la solución de A x = b en el sentido mínimos cuadrados. De manera que para calcular la solución mínimos cuadrados de un sistema A x = b, en la práctica no se siguen las etapas (i y (ii, sino que se plantea y resuelve directamente el sistema (3.5. Por ejemplo, para el sistema (3.4 tenemos A T A = ( , A T b = ( y la solución del sistema (3.5 en este caso es x LS = ( 2,9, 8,7 T.,

13 Ejemplo 2. Aproximación funcional Otra situación en la que aparece la proyección ortogonal tiene que ver con la aproximación entre funciones. Puede ilustrarse con el siguiente ejemplo. Vamos a tomar la función f : [, ] R dada por { si x [, ] f(x = si x [, ] (Dibuja f. Una de las propiedades que tiene esta función es su discontinuidad. Quizá, en el contexto del problema que estemos tratando de resolver, necesitemos que lo que representa la función f(x quede mejor descrito por otra. Los criterios para construir esta nueva función deberían incluir aspectos como el siguiente: si bien la nueva función sólo puede aproximar a f, sí puede proporcionar más información y tener propiedades matemáticas más beneficiosas, como por ejemplo la derivabilidad, de modo que fuera una función sencilla de manejar. Esto llevaría a tratar de aproximar f mediante funciones elementales. Dos formas habituales de representación vienen dadas por los polinomios y por las funciones trigonométricas. Vamos a analizar cada una de ellas. Para introducir la idea de aproximación, definimos el producto interno g, g 2 = g (xg 2 (xdx, dentro de un espacio vectorial de funciones en el que se encuentre f. Por ejemplo, el espacio V de funciones reales y acotadas, definidas en el intervalo [, ]. Una primera aproximación a f puede venir dada de la siguiente forma: vamos a considerar el subespacio W de V generado por las funciones p (x = p 2 (x = { 4x(x + si x [, ] si x [, ] { si x [, ] 4x(x si x [, ] (Dibuja p y p 2. Vamos a buscar la mejor aproximación a f por elementos de W para el producto interno antes definido. Esto equivale a buscar la proyección ortogonal de f sobre el subespacio W. Entonces Las ecuaciones normales en este caso son P W (f(x = λ p (x + λ 2 p 2 (x. λ p 2 (xdx + λ 2 p (xp 2 (xdx = λ p (xp 2 (xdx + λ 2 p 2 2(xdx = Primero hay que observar que, de la forma de p y p 2, se tiene f(xp (xdx, f(xp 2 (xdx. p (xp 2 (xdx =, es decir, que p (x y p 2 (x forman una base ortogonal de W y los coeficientes de la proyección, a partir de las ecuaciones normales, pueden escribirse λ = f, p p, p = f(xp (xdx p2 (xdx = 2/3 8/5 = 5 4, λ 2 = f, p 2 p 2, p 2 = f(xp 2(xdx p2 2 (xdx = 2/3 8/5 = 5 4.

14 Luego P W (f(x = 5 4 p (x 5 4 p 2(x. (Dibuja P W (f(x y f juntas. Las funciones p (x y p 2 (x no son polinomios en el sentido visto hasta ahora; se suelen llamar polinomios a trozos (por razones obvias. Son funciones continuas, pero no derivables. Si queremos incluir derivabilidad en la aproximación, podemos buscar ésta, por ejemplo, entre las funciones trigonométricas. Así, una segunda forma de aproximación puede obtenerse de la siguiente forma: vamos ahora a considerar el subespacio W generado por las funciones f (x =, f 2 (x = sin(πx, f 3 (x = cos(πx. En este caso, la proyección ortogonal de f sobre el subespacio W es la mejor aproximación a f por elementos de W, para el producto interno del principio. Observemos que f, f 2 = f, f 3 = f 2, f 3 = sin πxdx = π cos πx =, cos πxdx = π sin πx =, sin πx cos πxdx = 4 cos 2πx =. De manera que f, f 2 y f 3 constituyen una base ortogonal de W. La proyección puede escribirse con Entonces (Dibuja P W (f(x y f juntas. P W (f(x = λ + λ 2 sin(πx + λ 3 cos(πx, λ = f, f f, f = f(xdx dx =, λ 2 = f, f 2 f 2, f 2 = f(x sin(πxdx = 4 sin2 (πxdx π λ 3 = f, f 3 f 3, f 3 = f(x cos(πxdx =. cos2 (πxdx P W (f(x = 4 π sin(πx. EJERCICIOS DEL TEMA 3 Ejercicio. (a Qué pares de vectores son ortogonales? v = (, 2, 2, T, v 2 = (4,, 4, T, v 3 = (,,, T. (b Halla en R 3 todos los vectores ortogonales a la vez a v = (,, T y v 2 = (,, T. Ejercicio 2. Encuentra una base ortogonal de R 3 partiendo del vector (,, T. Ejercicio 3. Dada la base B = {(,, T, (,, T, (,, T }

15 (a Construye una base ortonormal de R 3 a partir de B. (b Escribe el vector (2,, 3 T en términos de la base ortonormal antes obtenida. Ejercicio 4. Calcula una base ortonormal de R 4 que incluya a los vectores (,,, T, ( 2 2 2, 2, 2, 2 T. Ejercicio 5. Halla una base ortonormal de los subespacios generados por los vectores siguientes: a [,,, ] T, [,,, ] T y [3,,, ] T, b [,,, ] T, [,, 2, 4] T y [, 2,, 2] T. Ejercicio 6. Se considera la matriz A =. (i calcula una base ortonormal del subespacio columna col(a utilizando el método de Gram-Schmidt. (ii Llama Q a la matriz que tiene por columnas la base ortonormal obtenida en (i. Determina la relación entre las columnas de A y las de Q. (iii Determina una matriz R de tres filas y tres columnas tal que A = QR. Esto es lo que se llama factorización QR de la matriz A. (iv Repite el procedimiento con la matriz A = 2 2. Ejercicio 7. Se consideran los subespacios U, V y W de R 4 dados por: U = {[x, y, z, t] T /x+y z =, x t = }, V = span([,,, ] T, [2,,, ] T, W = {[x, y, z, t] T /x+y = }. a Da las ecuaciones que definen U, V, W. b Halla bases ortonormales de U, U, V, V, W y W. Ejercicio 8. Dado el subespacio S = {(x, y, z T R 3 : 2x y + 3z = } (a Halla una base ortonormal de S. (b Calcula la proyección ortogonal del vector v = (3, 2, 4 T sobre S. (c Escribe v como suma de dos vectores, uno que esté en S y otro que sea ortogonal a todos los vectores de S. Ejercicio 9. Repite el ejercicio anterior para los siguientes subespacios y vectores: (a S = {(x, x 2, x 3, x 4 T R 3 : 2x x 2 + 3x 3 x 4 = }, v = (,, 2, 3 T. (b S = {(x, x 2, x 3, x 4 T R 3 : x = x 2, 3x 2 = x 4 }, v = (, 2, 3, T. Ejercicio. Calcula la descomposición del vector v en suma de dos vectores, uno en el subespacio generado por los vectores w i que se indican y el otro ortogonal a dicho subespacio: (a v = (5, 2, 2, T, w = (2,,, T, w 2 = (,, 3, T.

16 (b v = (,, 2, T, w = (,,, T. Ejercicio. Halla la solución en el sentido mínimos cuadrados de los sistemas ( x 3 = y 2, 2 x 3 2 y = z 4 5. Ejercicio 2. Sea P 3 [X] el espacio de los polinomios reales de grado menor o igual a tres. Sea T : P 3 [X] R 2 la aplicación lineal que a cada polinomio p lo envía al vector (p(, p( T. a Calcula una base de Ker(T. b En el conjunto de las funciones reales definidas en (,, se considera el producto interno f, g = f(xg(xdx. Aproxima en el sentido mínimos cuadrados la función f dada por si x < f(x = si x /2 si /2 < x por elementos de Ker(T. Ejercicio 3. Qué recta ajusta mejor los siguientes datos: y = en x =, y = en x =, y = 2 en x = 3?. Ejercicio 4. Se considera la matriz A = (i Calcula la dimensión, una base y las ecuaciones del subespacio W generado por las filas de A. (ii Con el producto interno euclídeo de R 4, determina la proyección ortogonal del vector v = (,,, T sobre W. (iii De un vector u se conoce que su proyección ortogonal sobre W es (,,, 2 T ortogonal sobre W es (,,, T. Determina el vector u, razonando la respuesta. y su proyección Ejercicio 5. Se considera el espacio P 2 [X] de polinomios de grado menor o igual que dos y coeficientes reales, con el producto interno p, q = p(q( + p(q( + p(2q(2, p(x, q(x P 2 [X]. (3.6 (i Determina una base ortogonal de P 2 [X] para el producto (3.6, a partir de la base canónica de P 2 [X]. (ii Sea P [X] el subespacio de P 2 [X] de polinomios de grado menor o igual que uno y coeficientes reales. Calcula la mejor aproximación al polinomio p(x = x 2 por elementos de P [X], usando el producto interno (3.6.