Ampliación Matemática Discreta. Justo Peralta López

Transcripción

1 Justo Peralta López UNIVERSIDAD DE ALMERíA DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO

2 1 Introducción 2 Circuitos LFSR 3 Matrices 4

3 Introducción Definición Sea k un entero positivo y a, a 0, a 1,..., a k 1 elementos de un cuerpo finito F q. Una secuencia s 0, s 1,... de elementos de F q es una secuencia lineal recurrente o secuencia recurrente de orden k si verifica s n+k = a k 1 s n+k 1 + a k 2 s n+k a 0 s n + a para n = 0, 1,... A s 0, s 1,..., s k 1 lo llamamos valores iniciales de la secuencia. Y decimos que la secuencia es homogenea si a = 0.

4 Circuitos LFSR Un circuito de este tipo esta formado por 4 tipos de dispositivos o elementos electronicos. 1 Sumador. a b a+b 2 Multiplicador por una constante. a b 3 Sumador constante. a +b a.b a+b 4 Registro de retardo o flip-flop. Entrada Salida En cada pulso de reloj, la salida se activa con el contenido del registro, y el contenido del registro es actualizado con la entrada.

5 Circuitos LFSR Un LFSR se forma conectando los 4 elementos descritos de forma que la salida del circuito afecte a la entrada del mismo siguiendo ciertas reglas. +a a 0 a 1 a 2 a k 3 a k 2 a k 1 Salida D 0 D 1 D 2 D k 3 D k 2 D k 1 Los registros D j con j = 0, 1,..., k 1 contienen una serie de valores que se van desplazando en cada pulso de reloj. El contenido en el pulso n > 0 lo notamos por S n = (s n, s n+1,..., s n+k 1 ) y los llamamos vector estado o estado, siendo S 0 = (s 0, s 1,..., s k 1 ) el estado inicial. Definición Una sucesion s 0, s 1,... se llama periodica, de periodo r, si existe un n 0 N, tal que para i n 0 se verifica que s i+r = s i, y r es el menor natural que verifica dicha igualdad. A n 0 lo llamamos preperiodo y si n 0 = 0 decimos que la secuencia es periodica pura.

6 Circuitos LFSR Sea F q un cuerpo finito y k un entero positivo. Toda secuencia recurrente en F q de orden k es periodica de periodo r con r q k, y r q k 1 si es homogenea. Ejemplo Dada una secuencia de orden 1 y s o, s 1,..., F p, con p primo y s n+1 = S n + 1, sea un s 0 F p cualquiera. Entonces r p 1. Si s n+1 = g.s n definido sobre F q con g elemento primitivo de F q y s 0 0, entonces r = q 1. Ejemplo Si la secuencia es de primer orden sobre F q, entonces el periodo divide a q 1. Pero no es verdad que para orden k divida a q k 1. Por ejemplo, s 0, s 1,..., F 5 con s 0 = 0, s 1 = 1 y s n+2 + s n, tiene periodo 20. Si s 0, s 1,... es una sucesion recurrente sobre un cuerpo finito cono en la expresión general y coeficiente a 0 0, entonces s 0, s 1,... es periódica pura.

7 Matrices Sea s 0, s 1,... una secuencia homogenea de orden k en F q la cual satisface la siguiente relación s n+k = a k 1 s n+k 1 + a k 2 s n+k a 0 s n para n = 0, 1,... y a j F q para 0 j k 1. A esta sucesión le podemos asociar la siguiente matriz de tamaño k k sobre F q A = Si k = 1, entonces A 1 1 = (a 0 ) a a a a k 1 Lema Si s 0, s 1,..., es una secuencia homogenea como la anterior, entonces todo vector estado verifica S n = S 0 A n para n = 0, 1,...

8 Sis 0, s 1,... es una secuencia homogenea de orden k sobre F q con a 0 0, entonces el periodo de la secuencia divide al orden de A en GL(k, F q ). Una forma de obtener, dada una secuencia lineal homogenea sobre F q, un periodo de longitud máximo, es empezar por el siguiente estado inicial d 0 = = d k 2 = 0, d k 1 = 1 Y la relación de recurrencia viene dado como siempre por A este estado inicial lo llamamos impulso d n+k = a k 1 + a k 2 d n+k a 0 + d n

9 Ejemplo Consideremos la siguiente secuencia lineal recurrente s n+5 = s n+1 + s n, n = 0, 1, F 2 La respuesta a un impulso es Esta secuencia tiene periodo 21 y su circuito LFSR viene dado por Salida

10 El periodo de cualquier sucesión recurrente homogenea sobre F q divide el perido de una secuencia respuesta a un impulso. Si d 0, d 1,... es una secuencia respuesta a un impulso de orden k sobre F q, con a 0 0, y A su matriz asociada, entonces su periodo coincide con el orden de A en GL(k, F q ). Ejemplo Si s n+5 = s n+1 + s n sobre F 2. Entonces A = Si tomamos como estado inicial a (11101) obtenemos la secuencia de orden 7. Si tomamos (11011) como estado inicial la secuencia es de orde 3.

11 Sea s 0, s 1,... una secuencia homogenea de orden k sobre F q con preperiodo n 0. Si hay k vectores estados s m1 s m2,..., s mk, con m j n 0 (1 j k), linealmente independientes sobre F q, entonces dicha secuencia y la secuencia respuesta a un impulso son periódicos puros con la misma longitud. Sea s 0, s 1,... una secuencia recurrente de orden k en F q con la expresión asociada s n+k = a k 1 s n+k + a k 2 s n+k a 0 s n donde a j F q para 0 j k 1. El polinomio f(x) = x k a k 1 x k 1 a k 2 x k 2 a 0 F q [x] es el polinomio característico. Si A es la matriz asociada a la anterior sucesión, entonces f(x) = xi A donde I es la matriz identidad k k sobre F q.

12 Sea s 0, s 1,... una secuencia homogenea de orden k en F q con polinomio característico f(x). Si las raices α 1,..., α k son todas las raices distintas de f(x), entonces s n = k β j α n j con n = 0, 1,... j=1 donde β 1, β 2,..., β k son elementos del cuerpo de escisión de f(x) sobre F q que se determinan de forma única a partir del estado inicial. Ejemplo s n+2 = s n+1 + s n con s 0 = s 1 = 1 en F 2. Su polinomio característico es f(x) = x 2 x 1 F 2 [x]. En F 4, las raíces de f(x) son α y α 2 = α + 1. Luego, β 1 + β 2 = 1 y β 1 α + β 2 (α + 1) = 1, luego β 1 = α y β 2 = α + 1. Por lo tanto s n = α n+1 + (1 + α) n+1 Definición Sea f(x) F q [x] con f(x) 0, entonces existe un e 0 N + tal que f(x) x e 1 al cual llamamos orden de f(x).

13 Sea f(x) = x k a k 1 x k 1 a k 2 x k 2 a 0 F q [x] con k 1 y a 0 0. Entonces ord(f(x)) es igual al orden de la matriz A en GL(k, F q ). Para cualquier secuencia homogenea s 0, s 1,... sobre F q con polinomio característico f(x) F q [x]. Entonces el periodo divide al orden de f(x). El periodo de la secuencia con impulso es el orden de f(x). Y si f(0) 0, entonces ambos son periódicas puras. Sea s 0, s 1,... una sucesión homogenea en F q con vector inicial no nula y polinomio característico f(x) F q [x] irreducible sobre F q y f(0) 0. Entonces la secuencia es periódica pura con periodo ord(f(x)).

14 Si f(x) F q [x] es irreducible entonces ord(f(x)) x k 1. con gr(f(x)) = k Ejemplo Sea s n+6 = s n+4 + s n+2 + s n+1 + s n para n = 0, 1, F 2 con polinomio característico f(x) = x 6 x 4 x 2 x 1 F 2 [x]. f(x) es irreducible sobre F 2. f(x) x 21 1 y ningún x e 1 con e < 21, luego ord(f(x)) = 21. La secuencia impulso es tiene periode 21. Si el estado inicial es (000011), la secuencia es con periodo de longitud

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