Polinomios de Schur y soluciones básicas de las recurrencias lineales
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- Ramona Peña Reyes
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1 Polinomios de Schur y soluciones básicas de las recurrencias lineales Egor Maximenko, Mario Alberto Moctezuma Salazar Instituto Politécnico Nacional, ESFM, México 50 o Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana UNAM, Ciudad de México 25 de octubre de / 39
2 Ejemplo de recurrencia lineal: contamos los ritmos Fijamos una unidad de tiempo T (por ejemplo, un segundo). R n := el número de los ritmos de longitud nt que consisten de sonidos de dos tipos: cortos (T ) y muy largos (3T ). R 1 = 1: 2 / 39
3 Ejemplo de recurrencia lineal: contamos los ritmos Fijamos una unidad de tiempo T (por ejemplo, un segundo). R n := el número de los ritmos de longitud nt que consisten de sonidos de dos tipos: cortos (T ) y muy largos (3T ). R 1 = 1: R 2 = 1: 2 / 39
4 Ejemplo de recurrencia lineal: contamos los ritmos Fijamos una unidad de tiempo T (por ejemplo, un segundo). R n := el número de los ritmos de longitud nt que consisten de sonidos de dos tipos: cortos (T ) y muy largos (3T ). R 1 = 1: R 2 = 1: R 3 = 2:, 2 / 39
5 Ejemplo de recurrencia lineal: contamos los ritmos Fijamos una unidad de tiempo T (por ejemplo, un segundo). R n := el número de los ritmos de longitud nt que consisten de sonidos de dos tipos: cortos (T ) y muy largos (3T ). R 1 = 1: R 2 = 1: R 3 = 2:, R 4 = 3:,, 2 / 39
6 Ejemplo de recurrencia lineal: contamos los ritmos Fijamos una unidad de tiempo T (por ejemplo, un segundo). R n := el número de los ritmos de longitud nt que consisten de sonidos de dos tipos: cortos (T ) y muy largos (3T ). R 1 = 1: R 2 = 1: R 3 = 2:, R 4 = 3:,, R 5 = 4:,,, 2 / 39
7 Ejemplo de recurrencia lineal: contamos los ritmos Fijamos una unidad de tiempo T (por ejemplo, un segundo). R n := el número de los ritmos de longitud nt que consisten de sonidos de dos tipos: cortos (T ) y muy largos (3T ). R 1 = 1: R 2 = 1: R 3 = 2:, R 4 = 3:,, R 5 = 4:,,, R 6 = 6:,,,,, 2 / 39
8 Ejemplo de recurrencia lineal: contamos los ritmos Fijamos una unidad de tiempo T (por ejemplo, un segundo). R n := el número de los ritmos de longitud nt que consisten de sonidos de dos tipos: cortos (T ) y muy largos (3T ). R 1 = 1: R 2 = 1: R 3 = 2:, R 4 = 3:,, R 5 = 4:,,, R 6 = 6:,,,,, Recurrencia lineal: R n = R n 1 + R n 3. Condiciones iniciales: R 0 = 1, R 1 = 1, R 2 = 1. 2 / 39
9 Sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa) 3 / 39
10 Sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa) 3 / 39
11 Sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa) 3 / 39
12 Sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa) 3 / 39
13 Sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa) 3 / 39
14 Sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa) F 1 = 1 F 2 = 1 F 3 = 2 F 4 = 3 F 5 = 5 F 6 = 8 F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. 3 / 39
15 Recurrencia lineal homogénea de orden d con coeficientes constantes Para cada n d, f n + a 1 f n 1 + a 2 f n a d f n d = 0. (RecLin) 4 / 39
16 Recurrencia lineal homogénea de orden d con coeficientes constantes Para cada n d, a }{{} 0 1 f n + a 1 f n 1 + a 2 f n a d f n d = 0. (RecLin) 4 / 39
17 Recurrencia lineal homogénea de orden d con coeficientes constantes Para cada n d, a }{{} 0 1 f n + a 1 f n 1 + a 2 f n a d f n d = 0. (RecLin) Definición (polinomio característico) a(t) = a 0 t d + a 1 t d a d t 0. 4 / 39
18 Recurrencia lineal homogénea de orden d con coeficientes constantes Para cada n d, a }{{} 0 1 f n + a 1 f n 1 + a 2 f n a d f n d = 0. (RecLin) Definición (polinomio característico) Definición (conjunto solución) a(t) = a 0 t d + a 1 t d a d t 0. L a := el conjunto de las sucesiones complejas f = (f k ) k=0 que satisfacen (RecLin) para cada n d. 4 / 39
19 Recurrencia lineal homogénea de orden d con coeficientes constantes Para cada n d, a }{{} 0 1 f n + a 1 f n 1 + a 2 f n a d f n d = 0. (RecLin) Definición (polinomio característico) Definición (conjunto solución) a(t) = a 0 t d + a 1 t d a d t 0. L a := el conjunto de las sucesiones complejas f = (f k ) k=0 que satisfacen (RecLin) para cada n d. L es un espacio vectorial. 4 / 39
20 Condiciones iniciales Recurrencia lineal de orden 2 con dos valores iniciales v 0 y v 1 : f 0 = v 0, f 1 = v 1, f 2 + a 1 f 1 + a 2 f 0 = 0, f 3 + a 1 f 2 + a 2 f 1 = 0, f 4 + a 1 f 3 + a 2 f 2 = 0,... Proposición (existencia y unicidad de solución de rec. lin.) Sean a 0 = 1, a 1,..., a d C y v 0, v 1,..., v n 1 C. Entonces existe una única sucesión f en L a tal que f 0 = v 0, f 1 = v 1,..., f d 1 = v d 1. 5 / 39
21 Método clásico de solución, para d = 2 Consideramos la recurrencia lineal de segundo orden: f n + a 1 f n 1 + a 2 f n 2 = 0 (n 2). Denotamos por x 1 y x 2 a las raíces del polinomio característico: a(t) = t 2 + a 1 t + a 2 = (t x 1 )(t x 2 ). Las progresiones geométricas (x k 1) k=0, (x k 2) k=0 son soluciones de la recurrencia lineal: x n 1 + a 1 x n a 2 x n 2 1 = x n 2 1 (x a 1 x 1 + a 2 ) = 0. Consideramos el caso x 1 x 2. Entonces (x n 1 ) n=0 y (xn 2 ) n=0 forman una base de L a. 6 / 39
22 Método clásico de solución, para d = 2 Consideramos el caso x 1 x 2. La solución general es f n = αx n 1 + βx n 2. Los coeficientes se determinan por las condiciones iniciales: n = 0: αx βx 0 2 = v 0, n = 1: αx βx 1 2 = v 1. En forma matricial, [ x 0 1 x 0 2 ] [ α ] [ v0 ] x 1 1 x 1 2 β = v 1. Como x 1 x 2, el determinante de Vandermonde es no nulo, y el sistema tiene una única solución. 7 / 39
23 Método clásico para d = 3 Para d = 3, si x 1, x 2, x 3 son diferentes a pares, entonces f n = αx n 1 + βx n 2 + γx n 3, donde los coeficientes α, β, γ se determinan del sistema x 0 1 x 0 2 x 0 3 α x 1 1 x 1 2 x 1 3 β x 2 1 x 2 2 x 2 3 γ = Un defecto de esta forma de la solución: v 0 v 1 v 2. las condiciones iniciales v 0,..., v d 1 no aparecen de manera simple en la respuesta. 8 / 39
24 Busquemos soluciones básicas Denotemos por b (0),..., b (d 1) a las sucesiones de clase L a que se determinan por los siguientes valores iniciales: d b (0) {}}{ = ( 1, 0,..., 0,?,?,...), b (1) = ( 0, 1,..., 0,?,?,... ), b (d 1) = ( 0, 0,..., 1,?,?,... ). Formalmente, b (j) k = δ j,k (0 k < j). 9 / 39
25 Solución general en términos de las soluciones básicas Proposición d 1 Sea f L a. Entonces f = f j b (j). j=0 Los coeficientes son los valores iniciales! Demostración. La sucesión g := d 1 j=0 f jb (j) es de clase L a. Además, tiene los mismos valores iniciales que la sucesión f. En efecto, si k < d, entonces d 1 g k = f j δ j,k = f k. j=0 10 / 39
26 Soluciones básicas para d = 2 t 2 + a 1 t + a 2 = (t x 1 )(t x 2 ) = t 2 + ( x 1 x 2 ) t 1 + x 1 x 2 t 0. }{{}}{{} a 1 a 0 Si f L a, entonces para cada n 2 f n = a 1 f n 1 a 2 f n 2 = (x 1 + x 2 )f n 1 x 1 x 2 f n 2. Las soluciones básicas empiezan con las siguientes componentes: b (0) = ( 1, 0, x 1 x 2, (x 2 1x 2 + x 1 x 2 2),... ), b (1) = ( 0, 1, x 1 + x 2, x x 1 x 2 + x 2 2,... ). 11 / 39
27 Soluciones básicas para d = 2 t 2 + a 1 t + a 2 = (t x 1 )(t x 2 ) = t 2 + ( x 1 x 2 ) t 1 + x 1 x 2 t 0. }{{}}{{} a 1 a 0 Si f L a, entonces para cada n 2 f n = a 1 f n 1 a 2 f n 2 = (x 1 + x 2 )f n 1 x 1 x 2 f n 2. Las soluciones básicas empiezan con las siguientes componentes: b (0) = ( 1, 0, x 1 x 2, (x 2 1x 2 + x 1 x 2 2),... ), b (1) = ( 0, 1, x 1 + x 2, x x 1 x 2 + x 2 2,... ). Las componentes son polinomios simétricos homogéneos! 11 / 39
28 Algunas familias de polinomios simétricos Macdonald (1995): Symmetric functions and Hall polynomials. Stanley (1999): Enumerative combinatorics, vol. 2. completos generan al álgebra Polinomios simétricos Schur sesgados elementales generan al álgebra Schur base del espacio vectorial 12 / 39
29 Polinomios simétricos completos h 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 2 + x 3, h 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x x x x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3, h 3 (x 1, x 2, x 3 ) = x x x x 2 1x 2 + x 2 1x 3 + x 2 2x 1 + x 2 2x 3 + x 2 3x 1 + x 2 3x 2 + x 1 x 2 x 3. Definición El polinomio simétrico completo de orden k en n variables es la suma de todos los monomios de grado total k: h k (x 1,..., x n ) = p 1,...,p n 0 p 1 +p 2 + +p n=k x p 1 1 xpn n. 13 / 39
30 Polinomios simétricos elementales e 1 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4, e 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4, e 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4, e 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4. Definición El polinomio simétrico elemental de grado k en n variables es la suma de todos los productos de k variables diferentes: e k (x 1,..., x n ) = 1 j 1 <j 2 < <j k n x j1 x j2 x jk. 14 / 39
31 Fórmula de Vieta (François Viète, ) Proposición Los coeficientes del polinomio mónico a(t) = t d + a 1 t d a d 1 t + a d = d (t x j ) j=1 son polinomios elementales de sus raíces, con signos alternados: a k = ( 1) k e k (x 1,..., x d ). a(t) = t 2 + a 1 t + a 2 = (t x 1 )(t x 2 ), a 0 = 1 = e 0 (x 1, x 2 ), a 1 = (x 1 + x 2 ) = e 1 (x 1, x 2 ), a 2 = x 1 x 2 = e 2 (x 1, x 2 ). 15 / 39
32 Recurrencia lineal en términos de los pol. elementales La recurrencia lineal f n + a 1 f n 1 + a 2 f n a d f n d = 0 (RecLin) se escribe como d ( 1) k e k (x 1,..., x d )f n k = 0 k=0 (n d). Otra forma equivalente: d ( 1) k e d k (x 1,..., x d )f n+k = 0 (n 0). k=0 16 / 39
33 Particiones enteras y sus diagramas de Young Particiones enteras son listas finitas débilmente decrecientes de números enteros no negativos. λ = (3, 2, 2, 1). Cada partición entera se identifica con su diagrama: λ =. La partición conjugada corresponde al diagrama transpuesto: λ = = (4, 3, 1). 17 / 39
34 Varias definiciones equivalentes de polinomios de Schur Dada una partición entera λ = (λ 1,..., λ n ), el polinomio de Schur s λ (x 1,..., x n ) es cierto polinomio simétrico homogéneo de grado λ λ n. Hay varias definiciones equivalentes de s λ (x 1,..., x n ): por la fórmula de Jacobi Trudi, en términos de h k, por la fórmula dual de Jacobi Trudi, en términos de e k, usando determinantes generalizados de Vandermonde, por medio de tablas semiestándares de Young, etc. Los polinomios de Schur forman una base del espacio vectorial de los polinomios simétricos. 18 / 39
35 Definición de polinomios de Schur por la fórmula de Jacobi Trudi La fórmula de Jacobi Trudi expresa los polinomios de Schur en términos de polinomios simétricos homogéneos completos. Definición s λ = det[h λj j+k] n j,k=1. Si λ = (λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 ), entonces s λ = h λ1 h λ1 +1 h λ1 +2 h λ1 +3 h λ2 1 h λ2 h λ2 +1 h λ2 +2 h λ3 2 h λ3 1 h λ3 h λ3 +1 h λ4 3 h λ4 2 h λ4 1 h λ4. 19 / 39
36 La fórmula dual de Jacobi Trudi (la identidad de Nägelsbach Kostka) Expresa polinomios de Schur en términos de polinomios simétricos elementales, usando la partición conjugada. Proposición s λ = det[e λ j j+k] λ 1 j,k=1. Si λ = (λ 1, λ 2, λ 3 ), entonces e λ 1 e λ 1 +1 e λ 1 +2 s λ = e λ 2 1 e λ 2 e λ 2 +1 e λ 3 2 e λ 3 1 e λ / 39
37 Pol. de Schur y det. generalizados de Vandermonde Proposición s λ (x 1,..., x n ) = det[ x λ j+n j k det [ x n j k ] n j,k=1 ] n j,k=1. s (λ1,λ 2,λ 3 )(x 1, x 2, x 3 ) = x λ x λ x λ x λ x λ x λ x λ 3 1 x λ 3 2 x λ 3 3 x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 1 1 x 1 2 x 1 3 x 0 1 x 0 2 x / 39
38 Polinomios de Schur y tablas de Young Las tablas semiestándares del diagrama λ = (2, 2, 1, 1) son 22 / 39
39 Polinomios de Schur y tablas de Young Las tablas semiestándares del diagrama λ = (2, 2, 1, 1) son , , , , , / 39
40 Polinomios de Schur y tablas de Young Las tablas semiestándares del diagrama λ = (2, 2, 1, 1) son , , , , , El correspondiente polinomio de Schur s (3,2,2,1) (x 1, x 2, x 3, x 4 ) es x 2 1x 2 2x 3 x 4 + x 2 1x 2 x 2 3x 4 + x 1 x 2 2x 2 3x 4 + x 2 1x 2 x 3 x x 1 x 2 2x 3 x x 1 x 2 x 2 3x / 39
41 Ejemplo: calculemos s (3,1) (x 1, x 2 ) I. Empecemos con la fórmula de Jacobi Trudi: h s (3,1) (x 1, x 2 ) = 3 h 4 h 0 h 1 = h 3h 1 h 4 h 0 = (x x 2 1x 2 + x 1 x x 3 2)(x 1 + x 2 ) (x x 3 1x 2 + x 2 1x x 1 x x 4 2) = x 3 1x 2 + x 2 1x x 1 x / 39
42 Ejemplo: calculemos s (3,1) (x 1, x 2 ) II. Calculamos el diagrama conjugado: λ = (3, 1) =, λ = = (2, 1, 1), y aplicamos la fórmula dual de Jacobi Trudi: e 2 e 3 e 4 e s (3,1) (x 1, x 2 ) = e 0 e 1 e 2 = e 0 e 1 e 2 e 1 e 0 e 1 0 e 0 e 1 = e 2 (e 2 1 e 2 ) = x 1 x 2 ((x 1 + x 2 ) 2 x 1 x 2 ) = x 3 1x 2 + x 2 1x x 1 x / 39
43 Ejemplo: calculemos s (3,1) (x 1, x 2 ) III. Usamos determinantes de Vandermonde generalizados: x 4 1 x 4 2 x 1 x 2 s (3,1) (x 1, x 2 ) = x 1 1 x 1 2 x 0 1 x 0 2 = x4 1 x 2 x 1 x 4 2 x 1 x 2 = x 1x 2 (x 3 1 x3 2 ) x 1 x 2 = x 1 x 2 (x x 1 x 2 + x 2 2) = x 3 1x 2 + x 2 1x x 1 x / 39
44 Ejemplo: calculemos s (3,1) (x 1, x 2 ) IV. Finalmente, hallamos todas las tablas de Young semiestándares: , , , y las convertimos en monomios: s (3,1) (x 1, x 2 ) = x 3 1x 2 + x 2 1x x 1 x / 39
45 Elementales y completos como polinomios de Schur Proposición e k = s (1 k ), h k = s (k). 27 / 39
46 Elementales y completos como polinomios de Schur Proposición e k = s (1 k ), h k = s (k). e 2 (x 1, x 2, x 3 ) = s (1,1) (x 1, x 2, x 3 ) = = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ; h 2 (x 1, x 2, x 3 ) = s (2) (x 1, x 2, x 3 ) = = x x 1 x 2 + x 1 x 3 + x x 2 x 3 + x 2 3.
47 Elementales y completos como polinomios de Schur Proposición e k = s (1 k ), h k = s (k). e 2 (x 1, x 2, x 3 ) = s (1,1) (x 1, x 2, x 3 ) = = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ; h 2 (x 1, x 2, x 3 ) = s (2) (x 1, x 2, x 3 ) = = x x 1 x 2 + x 1 x 3 + x x 2 x 3 + x / 39
48 Particiones sesgadas y sus diagramas Los diagramas de las particiones λ = (3, 2, 2, 1) y µ = (2, 1) son λ =, µ =. La partición sesgada λ/µ = (3, 2, 2, 1)/(2, 1) tiene diagrama. 28 / 39
49 Jacobi Trudi para polinomios de Schur sesgados Definición s λ/µ = det[h λj µ k j+k] n j,k=1. s (λ1,λ 2,λ 3 )/(µ 1,µ 2 ) = h λ1 µ 1 h λ1 µ 2 +1 h λ1 µ 3 +2 h λ2 µ 1 1 h λ2 µ 2 h λ2 µ 3 +1 h λ3 µ 1 2 h λ3 µ 2 1 h λ3 µ / 39
50 Jacobi Trudi para polinomios de Schur sesgados Definición s λ/µ = det[h λj µ k j+k] n j,k=1. s (λ1,λ 2,λ 3 )/(µ 1,µ 2 ) = h λ1 µ 1 h λ1 µ 2 +1 h λ1 µ 3 +2 h λ2 µ 1 1 h λ2 µ 2 h λ2 µ 3 +1 h λ3 µ 1 2 h λ3 µ 2 1 h λ3 µ 3. Proposición s λ/µ = det[e λ j µ k j+k ] λ 1 j,k=1. 29 / 39
51 Tablas sesgadas y polinomios sesgados de Schur Calculemos s (4,3,2)/(3,1) (x 1, x 2 ) usando tablas de Young: , , , , , , ,. Cada tabla se convierte en un monomio: s (4,3,2)/(3,1) (x 1, x 2 ) = x 4 1x 2 + 3x 3 1x x 2 1x x 1 x / 39
52 Dos operaciones de concatenación de diagramas D 1 = (3, 3, 2)/(2, 1) =, D 2 = (4, 2)/(1) =. D 1 D 2 = =, D 1 D 2 = =. 31 / 39
53 Producto de polinomios de Schur sesgados Proposición Sean D 1 y D 2 diagramas sesgados. Entonces s D1 s D2 = s D1 D 2 + s D1 D 2. = +. En otra notación, s (3,3,2)/(2,1) s (4,2)/(1) = s (6,4,3,3,2)/(3,2,2,1) + s (7,5,3,2)/(4,2,1). 32 / 39
54 Productos de ganchos por elementales = 33 / 39
55 Productos de ganchos por elementales = +, 33 / 39
56 Productos de ganchos por elementales = +, = +, 33 / 39
57 Productos de ganchos por elementales = +, = +, = / 39
58 Productos de ganchos por elementales = +, = +, = +. Sumamos estas igualdades alternando los signos: e 3 s (5,1 2 ) e 2 s (6,1 2 ) + e 1 s (7,1 2 ) e 0 s (8,1 2 ) = s (5 4,1 2 )/(4 3 ). 33 / 39
59 Identidades tipo Newton para polinomios de Schur Proposición Sean d 0, p 1, q 0. Entonces d ( 1) k e d k s (p+k,1 q ) = s (p d+1,1 q )/((p 1) d ). k=0 34 / 39
60 Identidades tipo Newton para polinomios de Schur Proposición Sean d 0, p 1, q 0. Entonces d ( 1) k e d k s (p+k,1 q ) = s (p d+1,1 q )/((p 1) d ). k=0 Si el número de variables es d, entonces el lado derecho es cero: d ( 1) k e d k (x 1,..., x d )s (p+k,1 q )(x 1,..., x d ) = 0. k=0 34 / 39
61 Identidades tipo Newton para polinomios de Schur Una versión más general de la fórmula anterior: Proposición Sean d 0, λ 1 λ 2 λ n > 0. Entonces d ( 1) k e d k s (λ1 +k,λ 2,...,λ n) = s (λ d+1 1,λ 2,...,λ n)/((λ 1 1) d ). k=0 35 / 39
62 Soluciones básicas en términos de polinomios de Schur Teorema Sea 0 j < d. La solución de (RecLin) con condiciones iniciales está dada por b (j) k = δ j,k (0 k < d). b (j) k = ( 1) d j 1 s (k+1 d,1 d j 1 ). 36 / 39
63 Soluciones básicas en términos de polinomios de Schur Teorema Sea 0 j < d. La solución de (RecLin) con condiciones iniciales está dada por b (j) k = δ j,k (0 k < d). b (j) k = ( 1) d j 1 s (k+1 d,1 d j 1 ). Otras demostraciones de este resultado: William F. Trench (1985), doi: / Alain Lascoux (2009), duchamp/books&more/lascoux/recurseq.pdf 36 / 39
64 Ejemplo: solución básica b (0) para d = 2 b (0) k = s (k 1,1) (x 1, x 2 ). b (0) 0 = s ( 1,1) (x 1, x 2 ) = 1, b (0) 1 = s (0,1) (x 1, x 2 ) = 0, b (0) 2 = s (1,1) = 1 1 = x 1x 2, ( b (0) 3 = s (2,1) = ) = ( x 2 1x 2 + x 1 x 2 2). b (0) k = x 1x 2 (x k 1 1 x k 1 2 ) x 1 x 2. Si x 1 = x 2, entonces b (0) k = (k 1)x k / 39
65 Ejemplo: solución básica b (1) para d = 2 b (1) k = s (k 1) (x 1, x 2 ). b (1) 0 = s ( 1) = 0, b (1) 1 = s (0) = 1, b (1) 2 = s (1) = = x 1 + x 2, b (1) 3 = s (2) = = x x 1 x 2 + x 2 2. b (1) k = xk 1 xk 2 x 1 x 2. Si x 1 = x 2, entonces b (1) k = kx k / 39
66 Ejemplo: la sucesión de Fibonacci Consideramos la recurrencia lineal asociada al polinomio a(t) = t 2 t 1 = (t φ)(t + φ 1 ), donde φ = 1 + 5, 2 con condiciones iniciales F 0 = 0 y F 1 = 1. La solución de este problema es la solución básica b (1) : F k = b (1) k = s (k 1) (x 1, x 2 ) = xk 1 xk 2 x 1 x 2 = φk ( φ) k 5. Hemos llegado a la fórmula de Binet. 39 / 39
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a ij x i x j = [x] t B A+At ) t = At +(A t ) t = At +A x i x j + a ij + a ji x j x i = s ij x i x j + s ji x j x i 2
![a ij x i x j = [x] t B A+At ) t = At +(A t ) t = At +A x i x j + a ij + a ji x j x i = s ij x i x j + s ji x j x i 2](/thumbs/65/53464617.jpg "a ij x i x j = [x] t B A+At ) t = At +(A t ) t = At +A x i x j + a ij + a ji x j x i = s ij x i x j + s ji x j x i 2")
68 Matemáticas I : Álgebra Lineal Tema 7 Formas cuadráticas Aunque, pueda parecernos que vamos a estudiar un nuevo concepto, un caso particular de las formas cudráticas ya ha sido estudiado, pues el cuadrado
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a n1 a n2 a nn x n a ij x i x j = [x] t B A+At ) t = At +(A t ) t = At +A x j x i = s ij x i x j + s ji x j x i 2 x i x j + a ij + a ji
![a n1 a n2 a nn x n a ij x i x j = [x] t B A+At ) t = At +(A t ) t = At +A x j x i = s ij x i x j + s ji x j x i 2 x i x j + a ij + a ji](/thumbs/84/89039875.jpg "a n1 a n2 a nn x n a ij x i x j = [x] t B A+At ) t = At +(A t ) t = At +A x j x i = s ij x i x j + s ji x j x i 2 x i x j + a ij + a ji")
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