UN TEOREMA DE FROBENIUS SOBRE EL RANGO Y LA SIGNATURA DE UNA FORMA CUADRÁTICA REAL

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1 UN TEOREMA DE FROBENIUS SOBRE EL RANGO Y LA SIGNATURA DE UNA FORMA CUADRÁTICA REAL CARLOS D ANDREA 1 Introducción y motivación del problema Sea K un cuerpo Una forma cuadrática en n variables con coeficientes en K es una función φ : K n K de la forma n 1) φx 1,, x n ) = a ij x i x j, con a ij = a ji K i, j = 1,, n Suele ser de interés considerar la forma cuadrática como una transformación geométrica del espacio vectorial K n en el cuerpo K, por ello se buscan invariantes de la misma tras cambios lineales de coordenadas En este tema, las formas cuadráticas ψ : K n K para las cuales existe un cambio lineal de coordenadas ) M M n n K), M con M invertible, tal que i,j=1 x 1 x x n = φx 1,, x n ) = ψy 1,, y n ) se consideran equivalentes a φ Y el resultado que se tiene es el clásico teorema que se aprende en los cursos básicos de álgebra lineal Llamemos A φ := a ij ) 1 i,j n M n n K) a la matriz asociada a φ y A ψ respectivamente a la matriz asociada a ψ Claramente, tanto A φ como A ψ son matrices simétricas Para L = L ij )1 i p, 1 j q M p qk), denotamos con L t M q p K) a su transpuesta, que se define como L t ) i,j := L ji, 1 i p, 1 j q El siguiente resultado es casi inmediato, y puede encontrarse en cualquier texto básico de álgebra lineal como [Kur68] Teorema 11 Sean φ, ψ, A φ y A ψ definidos más arriba Entonces x 1 x φx 1,, x n ) = x 1 x n ) A x n y 1 y y n, Date: 15 de abril de 1 1

2 CARLOS D ANDREA Si y 1,, y n ) y x 1,, x n ) están relacionados como en ), y φx 1,, x n ) = ψy 1,, y n ), entonces se tiene 3) A ψ = M 1 t Aφ M 1 Se desprende entonces de 3) que para buscar invariantes asociados a formas cuadráticas, se ha de estudiar algo parecido a lo que se hace cuando uno busca diagonalizar matrices o transformaciones lineales Aquí la pregunta es: Dada una matriz simétrica A M n n K), que tan simple se puede hacer la matriz M t AM haciendo variar M entre las matrices invertibles de M n n K)? El teorema de clasificación de cuádricas esencialmente resuelve este problema No es de sorprender que la respuesta venga dada nuevamente en términos de una matriz diagonal A diferencia del proceso de diagonalización de transformaciones lineales, lo sorprendente es que el resultado es independiente del cuerpo K, y que incluso los elementos no nulos de la diagonal no están univocamente determinados En el caso real, solo será necesario conocer los signos de los elementos no nulos en la diagonal, y eso conducirá a un teorema de clasificación Reducción a la Frobenius Casi todo el contenido de esta sección puede encontrarse muy bien explicado en [Boc19] Llamaremos rango de la forma cuadrática φ al rango de la matriz simétrica A φ que la define Lo denotaremos con rφ) Para i = 1,, n, definimos como k = k A φ ) como el k-ésimo menor principal k := det a ij )1 i,j k Notar que n = deta φ ) Proposición 1 Si r := rφ) >, entonces hay un cambio lineal de coordenadas M que hace que el r-ésimo menor principal de M t AM sea distinto de cero Demostración Como el rango de A φ es r, se puede conseguir por medio de operaciones elementales entre las columnas de esta matriz llevarla a la forma A φ :=, donde las primeras r columnas son linealmente independientes, y las últimas n r columnas son nulas Operaciones en columnas corresponden a multiplicaciones a derecha por matrices elementales Sea entonces M MK) invertible tal que A φ M = A φ Consideramos entonces M t A φ M, que es una matriz simétrica, de rango r y por otro lado, sigue teniendo las últimas n r ) columnas iguales a cero Por lo tanto, también tiene las últimas n r ) filas iguales a cero ya que es simétrica), y eso implica que el menor principal de tamaño r r de esta matriz es distinto de cero Teorema 1 Si r := rφ) > y r, entonces existen nuevas variables y 1,, y n de tal manera que y i = x i, i = r + 1,, n,

3 y la forma cuadrática se reduce a TEOREMA DE FROBENIUS 3 φx 1,, x n ) = ψy 1,, y n ) = 1 i,j r a ij y i y j Demostración Como el rango de A φ es r y r, podemos resolver el sistema c 1 c A φ = c n en función de c r +1,, c n Supongamos tener una la única) solución del tipo c 1,, c r,,,, 1) Es fácil ver que se cumple φx 1 + λc 1,, x r + λc r, x r +1,, x n 1, x n + λ) = φx 1,, x n ) para cualquier λ K,dado que Si hacemos λ = x n, resulta A φ c 1 c c r 1 = φx 1 c 1 x n,, x r c r x n, x r +1,, x n 1, ) = φx 1,, x n ) Así que el cambio de variables propuesto es { yi := x i c i x n, i = 1,, r, y i := x i, i = r + 1,, n Bajo este cambio de variables, la forma cuadrática φ se reduce a n 1 φx 1,, x n ) = a ij y i y j El razonamiento ahora se completa por inducción Observación Notar que si el rango de A φ es igual a r, la Proposición 1 garantiza que hay un cambio lineal de coordenadas que hace r i=1 Teorema 3 Si A φ ), entonces existe un cambio lineal de coordenadas y 1,, y n que verifica y n = x n y tal que φx 1,, x n ) = 1 i,j n 1 a ij y i y j + n y n

4 4 CARLOS D ANDREA Demostración Sean ψx 1,, x n ) = 1 i,j n a ij x i x j n x n, y A ψ su matriz asociada Se tiene a 11 a 1n 1) a 1n A ψ = a n 1)1 a n 1)n 1) a n 1)n, a n1 a nn 1) a nn n y por lo tanto det ) A ψ = detaφ ) n = n n = Como A ψ ) = A φ ), se concluye que ψ tiene rango n 1 Aplicando el Teorema 1 con r = n 1, tenemos un cambio lineal de coordenadas tal que y n = x n y a ij x i x j n x n = a ij y i y j, 1 i,j n y de aquí se concluye fácilmente 1 i,j n 1 Aplicando recursivamente este teorema se tiene el siguiente enunciado que será de utilidad para el cálculo de la signatura de la forma cuadrática en el caso real Corolario 4 Si 1,,, n, entonces existe un cambio lineal de coordenadas y 1,, y n ) tal que 4) φx 1,, x n ) = 1 y1 + y + + n y 1 n n 1 El Teorema 3 se podría utilizar para demostrar la reducción de toda forma cuadrática a suma de cuadrados Para ello uno necesitaría demostrar un resultado análogo, que se consigue utilizando la forma ψx 1,, x n ) = 1 i,j n a ijx i x j n A n,n 1 x n 1 x n, donde A i,j es el adjunto de a ij en A φ es decir, 1) i+j por el menor que resulta de calcular el determinante de A φ a la que se le han quitado la fila i y la columna j), y aplicando las mismas técnicas que en la demostración anterior Teorema 5 Si = A n 1,n 1 = y A n,n 1, entonces se puede hacer un cambio lineal de coordenadas de tal manera que y n 1 = x n 1, y n = x n, y que la transformación sea de la forma φx 1,, x n ) = a ij y i y j + n y n 1 y n A n,n 1 1 i,j n 3 El teorema de Frobenius sobre cuádricas reales Es sabido que toda forma cuadrática en n variables de rango r puede reducirse a una de la forma r i=1 c ix i por medio de un cambio lineal de coordenadas Si la forma cuadrática es real es decir, si K = R), el número de c i s positivos que llamaremos P φ)) y el número Nφ) de coeficientes negativos, es independiente de la reducción particular utilizada La diferencia σφ) := P φ) Nφ) se denomina la signatura Claramente, rφ) = P φ) + Nφ) así que r y σ determinan P y N Nuestro primer enunciado es una consecuencia inmediata del Corolario 4

5 TEOREMA DE FROBENIUS 5 Teorema 31 Si rφ) = r y i i = 1,, r, entonces P φ) es igual al número de permanencias de signo en la secuencia 1, 1,, r, Nφ) es igual al número de variaciones de signo en la secuencia 1, 1,, r σφ) = sgn 1 ) + sgn 1 ) + + sgn r 1 r ) Demostración La demostración es inmediata a partir de 4) Corolario 3 Si i para todo i = 1,, n entonces φ es definida positiva si i >, i = 1,, n φ es definida negativa si sgn i ) = 1) i, i = 1,, n El teorema de Frobenius es un caso más general de esta situación Diremos que una forma cuadrática de rango r está regularmente arreglada si r y no hay dos i s consecutivos que sean cero Definimos sgn) := Teorema 33 [Fro95] Si una forma cuadrática está regularmente arreglada, entonces σ = sgn 1 ) + sgn 1 ) + + sgn n ) La demostración de este teorema se basa en el siguiente resultado de álgebra lineal elemental: Lema 34 5) n n = A n 1,n 1 A n 1,n A n 1,n En particular, si =, entonces n y n tienen distinto signo Demostración Notar que = A n,n Sea I n la matriz identidad de tamaño n ) n ) Calculamos el producto a 11 a 1 a 1n 1) a 1n I n A n 1,1 A n 1,n 1 A n 1,n At = a n )1 a n ) a n )n 1) a n )n, deta) A n,1 A n,n 1 A n,n deta) y el lema sale tomando determinantes a ambos lados de esta igualdad Este enunciado de hecho le quita ambigüedad al cálculo del signo del, ya que si algún i es nulo, entonces el anterior y el posterior tendrán signos opuestos, lo cual hace que el signo del i que es igual a cero realmente no afecte al cálculo total del número de variaciones o permanencias Demostración del Teorema de Frobenius Supongamos = Entonces, de 5) y el hecho que la forma cuadrática está regularmente arreglada, resulta que n n = A n,n 1 < En particular, ambos son distintos de cero Si A n 1,n 1 es distinto de cero, entonces intercambiando las dos últimas filas y columnas de la matriz A φ obtenemos una nueva matriz A φ cuyos menores principales son los mismos que los de A φ excepto A φ ), que ahora resulta ser A n 1,n 1 Usando dos veces el Teorema 3 sobre la forma cuadrática definida por A φ, tenemos que existe un cambio lineal de coordenadas y 1,, y n tal que φx 1,, x n ) = a ij y i y j + A n 1,n 1 y n n 1 + y n A n n 1,n 1 1 i,j n

6 6 CARLOS D ANDREA De aquí se deduce inmediatamente que con lo cual se tiene sgn An 1,n 1 n sgn An 1,n 1 n ) ) n = sgn, A n 1,n 1 ) ) n + sgn = sgn n ) + sgn n ) = A n 1,n 1 Si A n 1,n 1 =, entonces estamos en las hipótesis del Teorema 5, y podemos encontrar un cambio lineal de coordenadas que hace lo siguiente φx 1,, x n ) = a ij y i y j + n y n 1 y n, A n,n 1 1 i,j n y de aquí se consigue de manera estandar otro cambio de variables z 1,, z n tal que φx 1,, x n ) = a ij z i z j + n zn 1 z A n), n,n 1 1 i,j n que nuevamente tiene dos cuadrados de signos opuestos El razonamiento ahora se completa por inducción 4 ejemplos Estudiar rango y signatura de la forma cuadrática φx 1, x, x 3 ) = 3x 1 + x + 5x 3 + 4x 1 x 8x 1 x 3 4x x 3 La matriz A asociada a φ en este caso es A = 3 4 1, 4 5 y se tienen 1 = 3, = 1, 3 = 1 Así que tenemos r = 3 y σ = sgn3) + sgn 3) + sgn1) = 1 Para verificar esto, hacemos la reducción estandar a suma de cuadrados: y resulta Hacemos ahora φ 1 x 1, x, x 3 ) = φx 1, x, x 3 ) 1 5 4x1 x + 5x 3 ), φ 1 x 1, x, x 3 ) = 1 5 x x x 1x φ x 1, x ) = φ 1 x 1, x, x 3 ) 5 5 x ) 5 x = x 1 O sea φx 1, x, x 3 ) = φ 1 x 1, x, x 3 ) x1 x + 5x 3 ) = φ x x ) x1 x + 5x 3 ) = x x x ) x1 x + 5x 3 ) Y aquí efectivamente se comprueba que el rango es 3 y la signatura 1

7 TEOREMA DE FROBENIUS 7 Estudiar rango y signatura de φx 1, x, x 3 ) = x 1 + x + x 3 + x 1x x 1 x 3 + 4x x 3 Aquí se tiene A = , 1 1 y se tiene 1 = 1, =, 3 = 9 Así que tenemos r = 3 y σ = sgn1) + sgn) + sgn) = 1 Confirmemos este resultado Como antes, φ 1 x 1, x, x 3 ) := φx 1, x, x 3 ) x 1 + x + x 3 ) = 6x 1 x 3x Hacemos ahora O sea que se tiene φ x 1, x ) = φ 1 x 1, x, x 3 ) + 3x x 1 ) = 3x 1 φx 1, x, x 3 ) = x 1 + x + x 3 ) 3x x 1 ) + 3x 1 y nuevamente hemos verificado que el rango es 3 y la signatura 1 Otra opción si uno no conoce el teorema de Frobenius es perturbar la matriz A para estar en la situación del Teorema 3 Esto puede hacerse por ejemplo multiplicando por una matriz B invertible genérica Desde un punto de vista computacional esto es muy rápido, pero las cuentas a mano pueden ser complicadas En este caso, elegimos como B a la matriz siguiente: B = Y al hacer la multiplicación B t AB obtenemos básicamente lo que hemos hecho con la matriz A es restar a la fila 1 la fila 3, y a la columna 1 la columna 3) Esta nueva matriz tiene 1 = 4, = 3, 3 = 9, con lo que se deduce que el rango es 3 y la signatura σ = sgn4) + sgn1) + sgn 7) = 1 como era de esperarse 5 Una aplicación al cálculo de raíces reales de un polinomio Consideremos dos polinomios a coeficientes reales ft) = a t n + a 1 t n a n gt) = b t m + b 1 t m b m Supongamos que f y g no tienen ningún factor común de grado positivo en x, lo cual se puede verificar por ejemplo calculando la resultante entre f y g Sean λ 1,, λ n las raíces de fx) contadas con multiplicidad en C Problema: Encontrar el número de raíces reales de fx) que satisfacen la condición gx) > Para resolver el problema, construyamos dos formas cuadráticas reales en las variables x := x,, x n 1 ):

8 8 CARLOS D ANDREA donde Sx) := ) n j=1 x + x 1 λ j + + x n 1 λj n 1 = x S x t, Hx) := ) n j=1 gλ j) x + x 1 λ j + + x n 1 λj n 1 = x H x t, S = s j+k ) j,k n 1, H = h j+k ) j,k n 1 Aquí se tiene s k = n j=1 λk j es la k-ésima suma de Newton, y n h k = gλ j )λ k j = b s k+m + b 1 s k+m b m s k j=1 Como las funciones s k yh k son polinomios simétricos en los λ j s, se pueden escribir como funciones racionales en términos de los coeficientes a,, a n En particular, se tienen las fórmulas recursivas n si k =, s k = a 1 a si k = 1, a 1s k 1 +a s k ++a k 1 s 1 +ka k a si k n, a 1s k 1 +a s k ++a ns k n a si k > n, o también se pueden usar las fórmulas de Waring s k = k j1 + j + + j n 1)! 1) j 1+j ++j n a j 1 a j 1!j! j n! 1 a jn n, donde la suma se extiende sobre todos los j 1,, j n ) que satisfacen j 1 + j + + nj n = k Los siguientes resultados son clásicos, y tienen una demostración elemental que puede verse por ejemplo en [US9] Teorema 51 Jacobi) El número de raíces complejas de ft) es igual a rs), y el número de raíces reales es igual a σs) Teorema 5 Hermite, Sylvester) Sea q := rs) σs) el número de pares de raíces no reales conjugadas de ft)) El número de raíces reales y distintas de ft) que satisfacen la condición gt) > o gt) < ) es igual a P H) q resp NH) q) Claramente, el Teorema 51 es una consecuencia de este último enunciado Demostración del Teorema 5 Supongamos primero que todas las raíces de ft) son reales y distintas, entonces de la expresión que define a H: n ) Hx) = gλ j ) x + x 1 λ j + + x n 1 λ n 1 j, j=1 se tiene que -haciendo y i := x + x 1 λ j + + x n 1 λ n 1 j, i =,, n 1- H se escribe como una suma de cuadrados donde los coeficientes positivos son los gλ j ) > y los negativos son

9 TEOREMA DE FROBENIUS 9 gλ j ) < El cambio lineal de variables viene dado por la matriz de Vandermonde de los λ i : λ 1 λ λ n 6) M =, λ n 1 1 λ n 1 λn n 1 que es inversible por ser los λ i s distintos dos a dos Si hubieran raíces de ft) con multiplicidades, digamos λ 1,, λ k con multiplicidades m 1,, m k con λ i λ j si i j, entonces se tiene k ) Hx) = m j gλ j ) x + x 1 λ j + + x n 1 λ n 1 j, j=1 y se tiene una nueva reducción de H a una suma de j cuadrados, donde el signo de gλ j ) no cambia al ser multiplicado por una constante positiva Resta ver qué ocurre cuando tenemos un λ j / R Supongamos sin pérdida de generalidad que entonces λ j+1 = λ j, y ambos tendrán la misma multiplicidad m j esto es asi porque f l) λ j ) = f l) λ j ) = ) Escribimos entonces x + x 1 λ j + + x n 1 λ n 1 j = αx) + i βx), con αx), βx) R[x], βx) También escribimos gλ j ) = a + ib, con a, b R Entonces se tiene m j gλ j )x + x 1 λ j + + x n 1 λ n 1 j ) + m j+1 gλ j+1 )x + x 1 λ j x n 1 λj+1 n 1 ) = ) m j gλ j )x + x 1 λ j + + x n 1 λj n 1 ) + gλ j )x + x 1 λ j + + x n 1 λj n 1 ) = ) m j Re gλ j )x + x 1 λ j + + x n 1 λj n 1 ) = m j Re a + ib)αx) + iβx)) ) = m j aαx) βx) ) b αx)βx) ) Notar que no puede ocurrir que simultáneamente tengamos a = b = ya que gλ j ) Si a =, entonces la expresión de arriba queda reducida a αx) ) ) ) 7) 4 m j b αx)βx) = m j b βx) αx) + βx), que es una suma de cuadrados de signos opuestos Es fácil ver que el cambio complejo) de variables que transforma la matriz M en una en la cual se han reemplazado las columnas indexadas por λ j y λ j+1 por las coordenadas de αx) βx) y αx) + βx) es invertible, con lo cual el rango de la matriz modificada seá igual al rango de M Esto demuestra que cada par de raíces complejas con a = produce un elemento positivo y otro negativo en el cálculo de la signatura Si a, entonces se tiene m j aαx) βx) ) b αx)βx) ) = m j a αx) b a βx)) a + b a ) βx) ),

10 1 CARLOS D ANDREA o sea que nuevamente puedo escribir esta expresión como una suma de cuadrados cuyos coeficientes tienen distinto signo También es fácil de ver que la matriz que resulta de transformar M cambiando las columnas indexadas por λ j y λ j+1 por las coordenadas de αx) b a βx) y βx) sigue siendo inversible Este proceso se aplica para todos los pares de raíces complejas conjugadas, y al final terminaremos con una matriz del mismo rango que la original dada en 6), pero con coeficientes reales, a partir de la cual se podrá hacer un cambio lineal de coordenadas que coloque a H en suma de cuadrados donde por cada raíz real de ft), el coeficiente será o bien positivo o negativo dependiendo del valor de g en esa raíz, y por cada par de raíces complejas conjugadas, habrá exactamente un coeficiente positivo y otro negativo De aquí se concluye fácilmente la demostración 51 Ejemplo de Aplicación Supongamos tener ft) = t 3 t + 1 y gt) = t 3 t + 1 Con la notación de arriba, se tiene y nos queda s = 3 s 1 = s = 4 s 3 = 3 S = s 4 = 8 s 5 = 1 s 6 = 19 s 7 = H = Calculamos los menores principales, y tenemos De aquí concluimos lo siguiente: h = s 3 s + s = 4 h 1 = s 4 s 3 + s 1 = 11 h = s 5 s 4 + s = 14 h 3 = s 6 s 5 + s 3 = 6 h 4 = s 7 s 6 + s 4 = 39, S) = 3 S) = 1 3 S) = 5 1 H) = 4 H) = 65 3 H) = 5 rs) = 3, σs) = 3, de lo que se deduce que ft) tiene tres raíces reales distintas q =, y rh) = 3, σh) = 1 De aquí se deduce que P H) =, NH) = 1 El número de raíces reales que tiene ft) satisfaciendo gt) > es igual a dos Esto se puede confirmar numéricamente ya que se tiene que las raíces de ft) son 1, , 1, que verifican g1) = 1 >, g 1 ) + 5 = >, g 1 ) 5 = < Referencias [Boc19] Bôcher, M Introduction to Higher Algebra The MacMillan Company, New York, 1919 [Fra7] Franklin, Philip A theorem of Frobenius on quadratic forms Bull Amer Math Soc ), no 4, [Fro95] Frobenius, G Ueber das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen Journal für Mathematik, vol ), [Kur68] Kurosch, AG Curso de Álgebra Superior Traducido del ruso por Emiliano Aparicio Bernardo Editorial MIR, 1968

11 TEOREMA DE FROBENIUS 11 [US9] Uteshev, Alexei Yu; Shulyak, Sergei G Hermite s method of separation of solutions of systems of algebraic equations and its applications Linear Algebra Appl ), Universitat de Barcelona, Departament d Àlgebra i Geometria Gran Via 585, 87 Barcelona, Spain address: cdandrea@ubedu URL: