Formas Modulares. Seminario de Teoría de Números. Sebastián Muñoz Thon (PUC) 1 de Junio de 2018
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- Adolfo Guzmán Ojeda
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1 Formas Modulares Seminario de Teoría de Números Sebastián Muñoz Thon (PUC) 1 de Junio de 2018 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
2 Un poco de historia Jacobi y Eisenstein (siglo XIX). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
3 Un poco de historia Jacobi y Eisenstein (siglo XIX). Ramanujan mock functions. ( 1920). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
4 Un poco de historia Jacobi y Eisenstein (siglo XIX). Ramanujan mock functions. ( 1920). Hecke ( ). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
5 Motivación Sea ω = f (z)(dz) k una k-forma meromorfa en H. Bajo qué condiciones de f, ω es invariante bajo SL 2 (Z)?. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
6 Motivación Sea ω = f (z)(dz) k una k-forma meromorfa en H. Bajo qué condiciones de f, ω es invariante bajo SL 2 (Z)?. Hemos visto que todo número entero no negativo puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados (Teorema de Lagrange). Ahora bien, podemos contar de cuántas formas podemos hacer esto? Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
7 Definiciones básicas Definición Definimos el semiplano superior por H := {z C Im(z) > 0} Definición Definimos {( a b SL 2 (R) := c d ) } ; a, b, c, d R y ad bc = 1. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
8 Definiciones básicas Definición Definimos el semiplano superior por H := {z C Im(z) > 0} Definición Definimos {( a b SL 2 (R) := c d ) } ; a, b, c, d R y ad bc = 1. Podemos hacer actuar este grupo en H: dado z H, definimos gz = az + b cz + d, ( ) a b donde g = SL c d 2 (Z). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
9 Definiciones básicas Observación ( ) = actúa de forma trivial en H 0 1 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
10 Definiciones básicas Observación ( ) = actúa de forma trivial en H 0 1 Definición Definimos PSL 2 (R) := SL 2 (R)/{±1}. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
11 Definiciones básicas Observación ( ) = actúa de forma trivial en H 0 1 Definición Definimos PSL 2 (R) := SL 2 (R)/{±1}. Teorema 1 PSL 2 (R) actúa efectivamente en H (i.e., no existe g PSL 2 (R) con gz = z z H). Más aún, Aut(H) = PSL 2 (R). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
12 Acción de PSL 2 (R) en H Observación SL 2 (Z) < SL 2 (R) es discreto. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
13 Acción de PSL 2 (R) en H Observación SL 2 (Z) < SL 2 (R) es discreto. Definición El grupo G = SL 2 (Z)/{±1} es llamado grupo modular. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
14 Acción de PSL 2 (R) en H Observación SL 2 (Z) < SL 2 (R) es discreto. Definición El grupo G = SL 2 (Z)/{±1} es llamado grupo modular. Definición Decimos que D H es dominio (o región) fundamental para un grupo discreto Γ PSL 2 (R) si D es cerrado, conexo y cumple T (D) = H, T Γ D T ( D) = T Γ. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
15 Acción de SL 2 (Z) en H Teorema 2 1 D := {z H z 1 y Re(z) 1 2 } es dominio fundamental para el grupo modular G. 2 G es generado por para SL 2 (Z). ( ) 0 1 y por 1 0 ( ) 1 1. Esto también se cumple 0 1 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
16 D e 2iπ 3 i e iπ Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
17 Formas diferenciales invariantes Definición Sea ω = f (z)(dz) k una k-forma diferencial en H. Si γ = γ(z) definimos γ ω = f (γ(z))(dγ(z)) k = f (γ(z))(γ (z)) k (dz) k. ( ) Sea γ(z) = az+b a b cz+d, donde SL c d 2 (Z). Se tiene que γ 1 (z) =. (cz+d) 2 Luego, si ω = f (z)(dz) k, tenemos que ( ) az + b γ ω = (cz + d) 2k f (dz) k. cz + d Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
18 Formas diferenciales invariantes Definición Sea ω = f (z)(dz) k una k-forma diferencial en H. Si γ = γ(z) definimos γ ω = f (γ(z))(dγ(z)) k = f (γ(z))(γ (z)) k (dz) k. ( ) Sea γ(z) = az+b a b cz+d, donde SL c d 2 (Z). Se tiene que γ 1 (z) =. (cz+d) 2 Luego, si ω = f (z)(dz) k, tenemos que ( ) az + b γ ω = (cz + d) 2k f (dz) k. cz + d Por lo tanto, ω es invariante bajo γ si y solo si f (z) = (cz + d) 2k f ( az + b cz + d ). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
19 Funciones Débilmente Modulares Definición Sea k Z. Decimos que f : H C es débilmente modular de peso 2k si f es meromorfa y ( ) az + b f (z) = (cz + d) 2k f, cz + d ( ) a b SL c d 2 (Z). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
20 Funciones Débilmente Modulares Definición Sea k Z. Decimos que f : H C es débilmente modular de peso 2k si f es meromorfa y ( ) az + b f (z) = (cz + d) 2k f, cz + d ( ) a b SL c d 2 (Z). Proposición 1 Sea f : H C meromorfa. Entonces f es una función débilmente modular de peso 2k si y solo si ( f (z + 1) = f (z) y f 1 ) = z 2k f (z). z Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
21 Si tenemos que f es débilmente modular de peso 2k, tenemos que, ( ) az + b f (z) = (cz + d) 2k f. cz + d ( ) a b SL c d 2 (Z). En particular, si consideramos las matrices ( ) ( ) T = y S = tenemos que f (z) = 1 2k f (z + 1), z 2k f ( 1 ) = f (z). z La recíproca se obtiene usando las relaciones anteriores y el hecho de que S y T generan SL 2 (Z). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
22 Dada f función débilmente modular, podemos expresarla como una función f en la variable q = e 2πiz. Tenemos que f es meromorfa en 0 < q < 1. Si f se puede extender a una función meromorfa en el origen, decimos que f es meromorfa en el infinito. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
23 Dada f función débilmente modular, podemos expresarla como una función f en la variable q = e 2πiz. Tenemos que f es meromorfa en 0 < q < 1. Si f se puede extender a una función meromorfa en el origen, decimos que f es meromorfa en el infinito. Si pasa esto último, podemos escribir k 0. f (q) = a n q n, n=k Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
24 Formas Modulares Definición Una función débilmente modular es llamada modular si es meromorfa en infinito. Si f es holomorfa en infinito, anotamos f ( ) = f (0). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
25 Formas Modulares Definición Una función débilmente modular es llamada modular si es meromorfa en infinito. Si f es holomorfa en infinito, anotamos f ( ) = f (0). Definición Una función modular que es holomorfa en H y en el infinito es llamada forma modular. Si tal función es cero en infinito, es llamada forma cuspidal. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
26 Así, una forma modular es dada por una serie f (z) = a n q n = a n e 2πiz, n=0 n=0 la cual converge para q < 1. Vemos que la forma es cuspidal si a 0 = 0. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
27 Ejemplo: Serie de Eisenstein Para un entero k 2, y z H definimos la serie de Eisenstein por G k (z) = m,n 1 (mz + n) 2k. Se puede ver que converge absolutamente y que es holomorfa en H. Además, G k ( ) = 2ζ(2k). Finalmente G k (z + 1) = m,n 1 (mz + m + n) 2k = l,r 1 (lz + r) 2k = G k(z), y ( G k 1 ) = z 2k 1 z (nz m) 2k = z2k G k (z). m,n Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
28 Ejemplo: Serie de Eisenstein Normalizadas Para z H, y para k 2 entero definimos E k (z) = 1 4k B 2k σ 2k 1 (n)q n, n=1 donde B k es el k ésimo número de Bernoulli. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
29 Ejemplo: Serie de Eisenstein Normalizadas Para z H, y para k 2 entero definimos E k (z) = 1 4k B 2k σ 2k 1 (n)q n, donde B k es el k ésimo número de Bernoulli. Se puede probar que G k (z) = 2ζ(2k)E k (z). Por lo tanto, E k es una forma modular de peso 2k. Observación n=1 Como ya hemos visto, G k ( ) = 2ζ(2k). Así, E k ( ) = 1. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
30 Ejemplo: Función Cuspidal de Ramanujan (o Discriminante) Sean g 2 = 60G 2 y g 3 = 140G 3. Como G k ( ) = 2ζ(2k), y ζ(4) = π4 ζ(6) = π6 945, tenemos que g 2 ( ) = 4 3 π4 y g 3 ( ) = 8 27 π6. 90 y Si ahora anotamos = g2 3 27g 3 2, tenemos que ( ) = 0. Más aún, Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
31 Ejemplo: Función Cuspidal de Ramanujan (o Discriminante) Sean g 2 = 60G 2 y g 3 = 140G 3. Como G k ( ) = 2ζ(2k), y ζ(4) = π4 ζ(6) = π6 945, tenemos que g 2 ( ) = 4 3 π4 y g 3 ( ) = 8 27 π6. 90 y Si ahora anotamos = g2 3 27g 3 2, tenemos que ( ) = 0. Más aún, Teorema 3 es una forma cuspidal no trivial de peso 12. Además, (z) = E 4 3(z) E 6 2(z) Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
32 Función τ de Ramanujan Definición Definimos la función τ : N Z como los coeficientes de la expansión en series de potencias de Conjetura q (1 q n ) 24 = n=1 τ(n)q n. n=1 1 Si gcd(m, n) = 1, entonces τ(mn) = τ(m)τ(n). 2 Si p es primo, entonces τ(p α+1 ) = τ(p)τ(p α ) p 11 τ(p α 1 ) para α 1. 3 Si p es primo, entonces τ(p) 2p Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
33 1917: Mordell prueba las primeras dos partes de la conjetura. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
34 1917: Mordell prueba las primeras dos partes de la conjetura. 1974: Deligne prueba la tercera. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
35 1917: Mordell prueba las primeras dos partes de la conjetura. 1974: Deligne prueba la tercera. Teorema 4 = q (1 q n ) 24. n=1 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
36 Relación con Curvas Eĺıpticas Definición Dado un lattice L en C, definimos su función de Weierstrass por (z) = 1 z 2 + ( 1 (z l 2 ) 1 ) l 2. l L Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
37 Relación con Curvas Eĺıpticas Definición Dado un lattice L en C, definimos su función de Weierstrass por (z) = 1 z 2 + ( 1 (z l 2 ) 1 ) l 2. l L Observación Podemos definir las series de Eisenstein para un lattice L por G k (L) := l L 1 l 2k. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
38 Observación Tal como en la observación anterior, podemos definir para un lattice L, g 2 (L) = 60G 2 (L), g 3 (L) = 140G 3 (L) Es posible probar que ( ) 2 = 4 3 g 2 g 3. Haciendo x = e y =, obtenemos y 2 = 4x 3 g 2 x g 3. Por lo tanto, el discriminante del polinomio del lado derecho viene dado por 16(g g 2 3 ). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
39 Grupos de Hecke Definición Definimos los grupos de Hecke por {( ) a b Γ 0 (N) = c d } SL 2 (Z) : c 0(mod N). Una forma modular para Γ 0 (N) se dice que tiene nivel N. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
40 Grupos de Hecke Definición Definimos los grupos de Hecke por {( ) a b Γ 0 (N) = c d } SL 2 (Z) : c 0(mod N). Una forma modular para Γ 0 (N) se dice que tiene nivel N. Observación Γ 0 (1) = SL 2 (Z). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
41 Definición Sea k Q. El conjunto de las formas modulares de nivel N y peso k es denotado por M k (Γ 0 (N)). El conjunto de las formas cuspidales de nivel N y peso k es denotado por S k (Γ 0 (N)). Observación M k (Γ 0 (N)) y S k (Γ 0 (N)) son espacios vectoriales complejos Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
42 Ejemplo: Función Theta Definimos la función θ : H C por θ(z) = e 2πin2z. n= Proposición 2 Se tiene que 1 θ es holomorfa en H. 2 θ(z + 1) = θ(z). ( ) 3 a b Sea g = SL c d 2 (Z) tal que c 0 (mod 4). Entonces θ(gz) = w cz + dθ(z), donde w {±1, ±i}. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
43 Teorema 5 Sea k un entero par. M 0 (SL 2 (Z)) = C. M k (SL 2 (Z)) = 0 si k es negativo o k = 2. Para k = 4, 6, 8, 10 y 14, M k (SL 2 (Z)) es generado por E k. Si k < 12 o k = 14, S k (SL 2 (Z)) = 0. Si k = 12, S k (SL 2 (Z)) es generado por. Si k > 14, S k (SL 2 (Z)) = M k 12 (SL 2 (Z)). Si k > 2, entonces M k (SL 2 (Z)) = S k (SL 2 (Z)) E k C. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
44 Un poco más general... Teorema 6 dim M k (Γ 0 (N)) <. Mas aún, si k < 0, M k (Γ 0 (N)) = 0, y si k 0, entonces dim M k (Γ 0 (N)) 1 + kn ( 1 1 ). 12 p p N Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
45 Un poco más general... Teorema 6 dim M k (Γ 0 (N)) <. Mas aún, si k < 0, M k (Γ 0 (N)) = 0, y si k 0, entonces dim M k (Γ 0 (N)) 1 + kn ( 1 1 ). 12 p Corolario dim M 2 (Γ 0 (4)) 2. p N Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
46 Algunas observaciones Definición Sea r(m) = {(n 1,..., n 4 ) Z 4 m = n n2 4 }. Notemos que ( ) 4 q n2 = 1 + +n2 4 = q n2 n Z n 1,...,n 4 m=0 m=0 Es decir, θ 4 = R := r(0) + r(1)q + r(2)q 2 +. n n2 4 =m q m = r(m)q m. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
47 Algunas observaciones Definición Sea r(m) = {(n 1,..., n 4 ) Z 4 m = n n2 4 }. Notemos que ( ) 4 q n2 = 1 + +n2 4 = q n2 n Z n 1,...,n 4 m=0 m=0 Es decir, θ 4 = R := r(0) + r(1)q + r(2)q 2 +. Proposición 3 R M 2 (Γ 0 (4)). n n2 4 =m q m = r(m)q m. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
48 Queremos estudiar R mediante las series de Eisenstein. Sin embargo, esas fueron definidas para k 2. Aun así... Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
49 Queremos estudiar R mediante las series de Eisenstein. Sin embargo, esas fueron definidas para k 2. Aun así... Definición G 1 (z) := 2ζ(2) + 2(2πi)2 (2 1)! donde σ s (n) = d n d s. n=1 σ 2 1 (n)e 2πinz = π2 3 8π2 σ 1 (n)q n, n=1 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
50 Queremos estudiar R mediante las series de Eisenstein. Sin embargo, esas fueron definidas para k 2. Aun así... Definición G 1 (z) := 2ζ(2) + 2(2πi)2 (2 1)! donde σ s (n) = d n d s. n=1 σ 2 1 (n)e 2πinz = π2 3 8π2 σ 1 (n)q n, n=1 Observación Como M 2 (SL 2 (Z)) = 0, G 1 no es una forma modular de peso 2 para SL 2 (Z) Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
51 Queremos estudiar R mediante las series de Eisenstein. Sin embargo, esas fueron definidas para k 2. Aun así... Definición G 1 (z) := 2ζ(2) + 2(2πi)2 (2 1)! donde σ s (n) = d n d s. n=1 σ 2 1 (n)e 2πinz = π2 3 8π2 σ 1 (n)q n, n=1 Observación Como M 2 (SL 2 (Z)) = 0, G 1 no es una forma modular de peso 2 para SL 2 (Z) Proposición 4 Se tiene que G 1 (z + 1) = G 1 (z) y G 1 ( 1 z ) = z 2 G 1 (z) 2πiz. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
52 Definición E 1 (z) := 3 π 2 G 1(z) = 1 24 σ 1 (n)q n. E 1,1 (z) = E 1 (z) 2E 1 (2z). E 1,2 (z) = E 1 (z) 4E 1 (4z). n=1 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
53 Definición E 1 (z) := 3 π 2 G 1(z) = 1 24 σ 1 (n)q n. E 1,1 (z) = E 1 (z) 2E 1 (2z). E 1,2 (z) = E 1 (z) 4E 1 (4z). Proposición 5 E 1,1, E 1,2 M 2 (Γ 0 (4)). n=1 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
54 Definición E 1 (z) := 3 π 2 G 1(z) = 1 24 E 1,1 (z) = E 1 (z) 2E 1 (2z). E 1,2 (z) = E 1 (z) 4E 1 (4z). Proposición 5 E 1,1, E 1,2 M 2 (Γ 0 (4)). Proposición 6 σ 1 (n)q n. n=1 E 1,1 y E 1,2 son linealmente independientes y por lo tanto, {E 1,1, E 1,2 } es base de M 2 (Γ 0 (4)). Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
55 Tenemos que Así, R = 1 + 8q +. E 1,1 = 1 24q +. E 1,2 = 3 24q q + = R = αe 1,1 + βe 1,2 = ( α 3β) + ( 24α 24β)q +, α = 0, β = 1 3. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
56 Lo anterior implica que ( ) ( ) R(z) = 1 3 E 1,2(z) = σ 1 (n)q n σ 1 (n)q n 3 3 donde σ 1 ( n 4) = 0 ni n 4 = n=1 n=1 ( ( n )) σ 1 4σ 1 q n, 4 / Z. Por lo tanto, n=1 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
57 Lo anterior implica que ( ) ( ) R(z) = 1 3 E 1,2(z) = σ 1 (n)q n σ 1 (n)q n 3 3 donde σ 1 ( n 4) = 0 ni n 4 Teorema 7 r(0) = 1. = n=1 n=1 ( ( n )) σ 1 4σ 1 q n, 4 / Z. Por lo tanto, Si 4 n, entonces r(n) = 8σ 1 (n). Si 4 n, entonces r(n) = 8 ( σ 1 4σ 1 ( n 4)). n=1 Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
58 Referencias Dewar, Graves, & Murty. Problems in theory of modular forms. Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Milne Modular Functions and Modular Forms. Pasten. Un paseo por la modularidad. Serre. A course in arithmetic. Stein & Shakarchi. Complex Analysis. Sebastián Muñoz Thon (PUC) Formas Modulares 1 de Junio de / 32
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