Cálculo de puntos ATR de Darmon en curvas elípticas no geométricamente modulares

Transcripción

1 Cálculo de puntos ATR de Darmon en curvas elípticas no geométricamente modulares Xevi Guitart 1 Marc Masdeu 2 1 Universitat Politècnica de Catalunya and Max Planck Institute for Mathematics 2 Columbia University ICMAT 2012, Madrid X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

2 Índex 1 Puntos de Heegner 2 Puntos ATR de Darmon 3 Evidencia numérica 4 Algunas cuestiones computacionales X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

3 Puntos racionales en curvas elípticas E una curva elíptica definida sobre Q: E : y 2 + b 1 xy + b 3 y = x 3 + b 2 x 2 + b 4 x + b 6, b i Z, N = cond(e) E(Q) = {(x, y) E : x, y Q} { } tiene estructura de grupo abeliano. Teorema de Mordell Weil E(Q) es finitamente generado: E(Q) Z r E tors r: rango de E/Q E tors : subgrupo de torsión. E tors está perfectamente entendido: Mazur: #Etors 16. Nagell Lutz: dada E se puede calcular fácilmente Etors. Sobre r sabemos mucho menos. Se conjetura que verifica una especie de principio local-global. Entra en juego L(E/Q, s). X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

4 Función L y conjetura de Birch y Swinnerton Dyer Para cada primo p Z definimos a p := p + 1 #E(Z/pZ) Función L L(E/Q, s) = p N 1 (1 a p p s + p 1 2s ) p N 1 (1 a p p s ) = n 1 a n n s Esta expresión converge para R(s) > 3/2, pero gracias al teorema de modularidad admite una continuación analítica a C. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (BSD) rango(e(q)) = ord s=1 L(E/Q, s). Teorema (Gross Zagier, Kolyvagin) BSD es cierta si ord s=1 L(E/Q, s) 1. Si ord s=1 L(E/Q, s) = 1 entonces se puede calcular un punto de orden infinito con el método de puntos de Heegner X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

5 Puntos de Heegner Teorema de modularidad (Wiles et al., 2001) Existe una forma modular f E S 2 (Γ 0 (N)) tal que L(E/Q, s) = L(f E, s) f E (z) = n 1 a ne 2πinz, a p = p + 1 #E(F p ) ω fe = (2πi)f E (z)dz define una diferencial holomorfa en X 0 (N) X 0 (N)/Q curva modular de nivel N, X 0 (N)(C) Γ 0 (N) \ H K C cuadrático imaginario, τ K H J τ = τ i ω fe C/Λ fe E(C) Λ fe = { γ ω f E γ H 1 (X 0 (N), Z)} J τ E(H τ ), H τ /K finita abeliana P K = Tr Hτ K (J τ ) E(K ) orden infinito ord s=1 L(E/K, s) = 1 Propiedad clave: E es geometricamente modular τ X 0 (N)(H τ ) y J τ = π E (τ) π E : X 0 (N) E X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

6 Curvas sobre cuerpos totalmente reales E/F, con F cuerpo totalmente real, cond(e) = N F E(F ) grupo abeliano finitamente generado E/F también es modular: fe es una forma modular de Hilbert Conjetura BSD: rank(e(f)) = ords=1 L(E/F, s) Teorema (Gross Zagier, Kolyvagin, Zhang) Supongamos que E satisface la siguiente condición: (JL) [F : Q] es impar o existe p tal que ord p (N ) impar. entonces BSD se cumple si ord s=1 L(E/F, s) 1. Si E verifica (JL) entonces es geometricamente modular: π E : Jac(X) E, X/F curva de Shimura Hay puntos de Heegner si E es geometricamente modular. Si E no verifica (JL): no es geometricamente modular en general. Si E es Q-curva (i.e., si E σ E para todo σ Gal(F /Q)): entonces sí es geometricamente modular Si E no verifica (JL) y no es Q-curva, no se conoce ningún método sistemático para calcular puntos de orden infinito. X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

7 Método de los puntos ATR (caso más sencillo) F cuerpo cuadrático real y E/F una curva elíptica de conductor 1 e.g, para fijar ideas: F = Q( 509), ω = , h + (F) = 1 E 509 : y 2 xy ωy = x 3 + (2 + 2ω)x 2 + ( ω)x + ( ω) Sean v 0, v 1 : F R y consideremos K /F ext. cuadrática ATR v0 extiende a una plaza compleja de K v1 extiende a un par de plazas reales de K Objetivo: producir P K E(K ) como una integral de ω fe La forma modular de Hilbert asociada a E es f E : H H C f E (z 0, z 1 ) := a n e 2πi(v 0(n/d)z 0 +v 1 (n/d)z 1 ) n O + F a n Z contando puntos en E mod p, para p F ω fe = (2πi) 2 f E (z 0, z 1 )dz 0 dz 1 forma diferencial de H H/SL 2 (O F ) X := (H H)/SL 2 (O F ) es la superfície modular de Hilbert X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

8 Definición de los puntos ATR ϕ: K M 2 (F) un embedding optimal (i.e., ϕ(o K ) M 2 (O F )) ϕ(k ) tiene un único punto fijo τ 0 H, actuando via v 0 ϕ(k ) tiene dos puntos fijos τ 1, τ 1 R = H, actuando via v 1 {τ 0 } {τ 1 τ 1 } H H Sea R ϕ su imagen en X = H H/SL 2 (O F ) R ϕ H 1 (X, Z) y existe T ϕ C 2 (X, Z) tal que T ϕ = R ϕ Punto ATR asociado a ϕ: para una cierta diferencial ω + f J ϕ = ω + f E C/Λ fe E (Conjetura de Oda) T ϕ Conjetura (Darmon) Jϕ E(H), donde H es el cuerpo de clases de Hilbert de K. PK = ϕ J ϕ E(K ) orden infinito si y sólo si ord s=1 L(E/K, s) = 1. Darmon Logan: algoritmo para calcular T ϕ explícitamente La conjetura se puede testear numéricamente. X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

9 Evidencia numérica El algoritmo de Darmon Logan tenía algunas restricciones computacionales. Testearon la conjetura para tres curvas elípticas E 29, E 37, E 41 : son Q-curvas, y por tanto geométicamente modulares los puntos ATR, en este caso particular, son múltiplos de los puntos de Heegner (Darmon Rotger Zhao). Objetivo Calcular un punto ATR en una curva que no sea Q-curva, y dar la primera evidencia numérica de que el método funciona para curvas que no son geometricamente modulares. La primera curva elíptica de conductor 1 sobre un cuadrático real que no es Q-curva es E 509. Para calcular el punto ATR, primero tuvimos que eliminar las restricciones computacionales del algoritmo de Darmon y Logan. X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

10 Punto ATR en la curva E 509 F = Q( 509), ω = E 509 : y 2 xy ωy = x 3 + (2 + 2ω)x 2 + ( ω)x + ( ω) K = F( α), α = 9144ω , [H : K ] = 2. (ω + 17, α ) E(K ) punto de orden infinito z C/Λ E DL mejorado : hemos calculado J K = J ϕ1 + J ϕ2 hasta 12 dígitos an para n Tiempo de cálculo: unos 2 días en una máquina con 32 procesadores y 320 GB (cálculos paralelizables) J K 4z (hasta 12 dígitos) Esto nos da una verificación numérica de que el punto ATR es de orden infinito, tal y como predice la conjetura de Darmon. X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

11 Fracciones contínuas en F Un paso del algoritmo de Darmon Logan consiste en calcular la fracción contínua de un elemento c F: c = q 1 + 1, q 1 1,..., q n O F q 2 + q qn Si F es euclideo los q i se calculan con el algoritmo de euclides Hay un número finito de Q( d) euclideos (Q( 73) es el último) Conjecturalmente todos los Q( d) con número de clases 1 son euclideos en 2 pasos: para todo a, b O F existen q 1, q 2, r 1, r 2 a = bq 1 + r 1 ; b = q 2 r 1 + r 2 ; Nm F /Q (r 2 ) < Nm F /Q (b) Cooke: método para verificar si Q( d) es E 2 (e.g. Q(253)) Adaptación algorítmica del método Teorema (G.-Masdeu) Todos los Q( d) con número de clases 1 y d 8000 son E 2. X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

12 Integrales de formas modulares de Hilbert y t x t z z ω f = y x n a ne 2πi(n 0z 0 /d 0 +n 1 z 1 /d 1 ) Para que converja rápidamente necessitamos que I(x), I(y), I(z), I(t) >> 0 Esto determina el número de coeficientes de Fourier a n necesarios. Problema: no controlamos muy bien las partes imaginarias de las integrales que produce el algoritmo de Darmon Logan Idea: utilizar que los limites son invariantes por SL 2 (O F ) Teorema (G.-Masdeu) Existe una constante ɛ F, que depende sólo de F, tal que toda integral se puede escribir como y t x z ω f = y1 t1 con I(x 1 ), I(y i ), I(z i ), I(t i ) ɛ F. x 1 z 1 ω f + + yn tn ω f x n z n X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

13 Otra aplicación (futura) del algoritmo de puntos ATR Los puntos ATR son la base de un algoritmo de L. Dembélé para calcular curvas elípticas E/F con buena reducción en todos los primos, a partir de la forma modular de Hilbert. Hasta el momento hay tablas con algunas de estas ecuaciones se calculan haciendo cribas en ecuacioes de curvas no son completas, ni sistemáticas El algoritmo de Dembélé, junto con el algoritmo de puntos ATR proporcionan un método sistemático para calcularlas, y producir tablas concretas (digamos hasta Q( d) con d 2000). Esperamos poder utilizar el método de Dembélé, junto con nuestro algoritmo, para calcular estas ecuaciones. X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18

14 Cálculo de puntos ATR de Darmon en curvas elípticas no geométricamente modulares Xevi Guitart 1 Marc Masdeu 2 1 Universitat Politècnica de Catalunya and Max Planck Institute for Mathematics 2 Columbia University ICMAT 2012, Madrid X. Guitart, M. Masdeu (UPC-MPIM, CU) Calculo de puntos ATR ICMAT / 18