Gerardo Pérez Villalón

Transcripción

1 CEDYA 2011 Recuperación de Splines a partir de Medias Locales Gerardo Pérez Villalón Departamento de Matemáticas de la EUIT de Telecomunicación de la UPM Trabajo conjunto con Alberto Portal Ruiz

2 Splines Cardinales Splines Cardinales Sea S d := {f (t) C d 1 : f [k,k+1) Π d, k Z}

3 Splines Cardinales Splines Cardinales Sea S d := {f (t) C d 1 : f [k,k+1) Π d, k Z} cuando d es impar, y sea S d := {f (t) C d 1 : f [k 1/2,k+1/2) Π d, k Z} cuando d es par.

4 Splines Cardinales Splines Cardinales Sea S d := {f (t) C d 1 : f [k,k+1) Π d, k Z} cuando d es impar, y sea S d := {f (t) C d 1 : f [k 1/2,k+1/2) Π d, k Z} cuando d es par. Sea β d el B-spline cardinal central de grado d, β d := X [ 1/2,1/2]... X [ 1/2,1/2] (d + 1 términos)

5 Splines Cardinales Splines Cardinales Sea S d := {f (t) C d 1 : f [k,k+1) Π d, k Z} cuando d es impar, y sea S d := {f (t) C d 1 : f [k 1/2,k+1/2) Π d, k Z} cuando d es par. Sea β d el B-spline cardinal central de grado d, β d := X [ 1/2,1/2]... X [ 1/2,1/2] (d + 1 términos) Cualquier spline f S d se puede expresar en la forma f (t) = n Z a n β d (t n) para apropiados coeficientes a n.

6 Interpolación con Splines Cardinales Interpolación con Splines Cardinales Consideremos el problema de interpolación: Dada una sucesión de números reales {y n } n Z, encontrar un spline f S d tal que f (n) = y n, n Z.

7 Interpolación con Splines Cardinales Interpolación con Splines Cardinales Consideremos el problema de interpolación: Dada una sucesión de números reales {y n } n Z, encontrar un spline f S d tal que f (n) = y n, n Z. Para d = 1 el problema tiene una única solución. Para d > 1 tiene infinitas soluciones formando un espacio afín de dimensión d 1 cuando d es impar y de dimensión d cuando d es par.

8 Interpolación con Splines Cardinales Para γ 0 definimos: S d,γ := { f (t) S d : f (t) = O( t γ ) cuando t ± }, D γ := { {y n } n Z : y n = O( n γ ) cuando n ± },

9 Interpolación con Splines Cardinales Para γ 0 definimos: S d,γ := { f (t) S d : f (t) = O( t γ ) cuando t ± }, D γ := { {y n } n Z : y n = O( n γ ) cuando n ± }, Teorema (Schoenberg) El problema de interpolación: Dada una sucesión {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que f (n) = y n, n Z. tiene una única solución

10 Interpolación con Splines Cardinales Para γ 0 definimos: S d,γ := { f (t) S d : f (t) = O( t γ ) cuando t ± }, D γ := { {y n } n Z : y n = O( n γ ) cuando n ± }, Teorema (Schoenberg) El problema de interpolación: Dada una sucesión {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que f (n) = y n, n Z. tiene una única solución, dada por f (t) = n Z y n L d (t n)

11 Interpolación con Splines Cardinales Para γ 0 definimos: S d,γ := { f (t) S d : f (t) = O( t γ ) cuando t ± }, D γ := { {y n } n Z : y n = O( n γ ) cuando n ± }, Teorema (Schoenberg) El problema de interpolación: Dada una sucesión {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que f (n) = y n, n Z. tiene una única solución, dada por f (t) = n Z y n L d (t n) donde L d (t) := n Z c n β d (t n) siendo c n los coeficientes en el ( ) 1 desarrollo n Z β d (n) z n = n Z c n z n, z = 1.

12 Interpolación con Splines Cardinales Para γ 0 definimos: S d,γ := { f (t) S d : f (t) = O( t γ ) cuando t ± }, D γ := { {y n } n Z : y n = O( n γ ) cuando n ± }, Teorema (Schoenberg) El problema de interpolación: Dada una sucesión {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que f (n) = y n, n Z. tiene una única solución, dada por f (t) = n Z y n L d (t n) donde L d (t) := n Z c n β d (t n) siendo c n los coeficientes en el ( ) 1 desarrollo n Z β d (n) z n = n Z c n z n, z = 1. La serie converge uniformemente en intervalos finitos.

13 Interpolación con Splines Cardinales Para γ 0 definimos: S d,γ := { f (t) S d : f (t) = O( t γ ) cuando t ± }, D γ := { {y n } n Z : y n = O( n γ ) cuando n ± }, Teorema (Schoenberg) El problema de interpolación: Dada una sucesión {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que f (n) = y n, n Z. tiene una única solución, dada por f (t) = n Z y n L d (t n) donde L d (t) := n Z c n β d (t n) siendo c n los coeficientes en el ( ) 1 desarrollo n Z β d (n) z n = n Z c n z n, z = 1. La serie converge uniformemente en intervalos finitos. Existe una constante µ (0, 1) tal que L (t) = O(µ t ).

14 En ocasiones, las muestras disponibles son medias ponderadas de la función, y n = h y(n) = y(n t)h(t)dt donde h(t) es una función que modeliza el mecanismo de medida.

15 En ocasiones, las muestras disponibles son medias ponderadas de la función, y n = h y(n) = y(n t)h(t)dt donde h(t) es una función que modeliza el mecanismo de medida. Suponemos que h(t) verifica supp h [ 1/2, 1/2], 0 < 0 1/2 h(t)dt < y 0 < h(t) 0, t R 1/2 0 h(t)dt <

16 El problema Dada una sucesión de números reales {y n } n Z, encontrar un spline f S d tal que f h(n) = y n, n Z.

17 El problema Dada una sucesión de números reales {y n } n Z, encontrar un spline f S d tal que f h(n) = y n, n Z. tiene infinitas soluciones formando un espacio afín de dimensión d + 1 cuando d es impar, y de dimensión d cuando d es par.

18 Teorema. En los casos lineal, cuadrático, cúbico y cuártico (d = 1, 2, 3, 4), el problema: Dada una sucesión de números reales {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que tiene una única solución f h(n) = y n, n Z.

19 Teorema. En los casos lineal, cuadrático, cúbico y cuártico (d = 1, 2, 3, 4), el problema: Dada una sucesión de números reales {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que f h(n) = y n, n Z. tiene una única solución, dada por f (t) = n Z y n L h,d (t n) donde L h,d (t) := n Z c n β d (t n) siendo c n los coeficientes en el ( ) 1 desarrollo n Z h β d (n) z n = n Z c n z n, z = 1.

20 Teorema. En los casos lineal, cuadrático, cúbico y cuártico (d = 1, 2, 3, 4), el problema: Dada una sucesión de números reales {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que f h(n) = y n, n Z. tiene una única solución, dada por f (t) = n Z y n L h,d (t n) donde L h,d (t) := n Z c n β d (t n) siendo c n los coeficientes en el ( ) 1 desarrollo n Z h β d (n) z n = n Z c n z n, z = 1. La serie converge uniformemente en intervalos finitos.

21 Teorema. En los casos lineal, cuadrático, cúbico y cuártico (d = 1, 2, 3, 4), el problema: Dada una sucesión de números reales {y n } n Z D γ, encontrar un spline f S d,γ tal que f h(n) = y n, n Z. tiene una única solución, dada por f (t) = n Z y n L h,d (t n) donde L h,d (t) := n Z c n β d (t n) siendo c n los coeficientes en el ( ) 1 desarrollo n Z h β d (n) z n = n Z c n z n, z = 1. La serie converge uniformemente en intervalos finitos. Existe una constante µ h,d (0, 1) tal que L d (t) = O(µ t h,d ).

22 Conjetura: El resultado anterior se válido para cualquier grado d.

23 Conjetura: El resultado anterior se válido para cualquier grado d. Se tiene: Si y n l p entonces f L p, para 1 p

24 Conjetura: El resultado anterior se válido para cualquier grado d. Se tiene: Si y n l p entonces f L p, para 1 p El spline f (t) se puede expresar como a n := y k c n k k Z f (t) = n Z a n β d (t n) siendo c n los coeficientes en el desarrollo ( h β d (n) z n) 1 = c n z n, z = 1. n Z n Z