Integración Numérica. Hermes Pantoja Carhuavilca. Métodos Computacionales. Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Transcripción

1 Integración Numérica Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Métodos Computacionales Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 64

2 CONTENIDO Introducción Integración Numérica Métodos de Integración Método del Trapecio Método de Simpson Ejemplos Trapecio Compuesto Simpson Compuesto Teorema de Valor Intermedio Cuadratura Gaussiana Cuadratura Gaussiana Método de Romberg Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 64

3 INTRODUCCIÓN Para una función integrable f en el intervalo [a; b], considere la integral definida I(f ) = b a f (x)dx Una fórmula para aproximar I(f ) se llama cuadratura o fórmula de integración numérica. Introducción Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 64

4 INTRODUCCIÓN Sea f n una aproximación de f en el intervalo [a; b], podemos aproximar a I(f ) integrando la aproximación de f en el intervalo [a; b], denotando esa aproximación como I n (f ) se obtiene I n (f ) = b a f n (x)dx Introducción Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 64

5 INTRODUCCIÓN Si la aproximación f n (x) de la función f (x) se hace usando algún polinomio de interpolación, la cuadratura resultante se llama fórmula de Newton-Cotes. Por otro lado, si se usa un polinomio que aproxima a la función en términos de cuadrados mínimos, la cuadratura resultante se llama cuadratura gaussiana. Introducción Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 64

6 CUADRATURAS DE NEWTON-COTES Una aproximación de f que es fácil de integrar es una que se obtiene tomando f n (x) = p n (x) donde p n (x) es un polinomio de grado n o menor. Tomamos el polinomio de interpolación de Lagrange en los n + 1 nodos de interpolación {x i }, i = 0,..., n. Se obtiene I n (f ) = b a n f (x i )I i (x)dx = i=0 n i=0 b f (x i ) I i (x)dx a Introducción Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 64

7 CUADRATURAS DE NEWTON-COTES La fórmula general de cuadraturas se puede escribir n I n (f ) = α i f (x i ) i=0 Interpolación con polinomios de Lagrange es un caso especial donde α i = b a I i (x)dx. Introducción Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 64

8 MÉTODO DEL TRAPECIO Se obtiene reemplazando la función f por el polinomio de Lagrange de grado uno en los nodos de interpolación x 0 = a y x 1 = b. Sea f una función con segunda derivada continua y sean y 0 = f (x 0 ) y y 1 = f (x 1 ). Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 64

9 MÉTODO DEL TRAPECIO El polinomio de Lagrange de grado uno que interpola los puntos (x 0, y 0 ) y (x 1, y 1 ) esta dado por p 1 (x) = y 0 x x 1 x 0 x 1 + y 1 x x 0 x 1 x 0 con error E(x) = (x x 0)(x x 1 ) f (ξ(x)) 2! para ξ entre a y b De aquí que f (x) = p 1 (x) + E(x) Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 64

10 MÉTODO DEL TRAPECIO Integrando f (x) de x 0 a x 1 x1 x1 f (x)dx = p 1 (x)dx + x 0 x 0 La primera integral se tiene: x1 x 0 E(x)dx x1 x 0 p 1 (x)dx = y 0 donde h = x 1 x 0 x1 x x 1 dx + y 1 x 0 x 0 x 1 x1 ( ) h = y y h 1 2 = h y0 + y 1 2 x x 0 dx x 0 x 1 x 0 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 64

11 MÉTODO DEL TRAPECIO La cuadratura resultante es I 1 (f ) = b a (f (a) + f (b)) 2 La cual en la fórmula de Newton -Cotes tiene pesos α 0 = α 1 = (b a)/2 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 64

12 MÉTODO DEL TRAPECIO Integrando el error de interpolación E 1 (x) = b a (f (x) p 1 (x))dx = b a (x a)(x b) f (ξ(x))dx 2 Usando el Teorema de Valor Medio de la Integral, para algún ξ [a; b], se obtiene E 1 (x) = f (ξ(x)) 2 b a (x a)(x b)dx Luego de integrar, el error de la cuadratura es E 1 (f ) = (b a)3 f (ξ) 12 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 64

13 MÉTODO DEL TRAPECIO Integrando el error de interpolación E 1 (x) = b a (f (x) p 1 (x))dx = b a (x a)(x b) f (ξ(x))dx 2 Usando el Teorema de Valor Medio de la Integral, para algún ξ [a; b], se obtiene E 1 (x) = f (ξ(x)) 2 b a (x a)(x b)dx Luego de integrar, el error de la cuadratura es E 1 (f ) = (b a)3 f (ξ) 12 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 64

14 MÉTODO DEL TRAPECIO Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 64

15 MÉTODO DEL TRAPECIO Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 64

16 MÉTODO DEL TRAPECIO Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 64

17 MÉTODO DE SIMPSON Se obtiene reemplazando f en [a, b] por el polinomio de interpolación de Lagrange de grado 2 en los nodos (a + b) x 0 = a, x 1 =, y x 2 = b. 2 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 64

18 MÉTODO DE SIMPSON La función f (x) la podemos escribir como la suma del polinomio de interpolación de Lagrange de grado dos con el error de interpolación: (x x 1 )(x x 2 ) f (x) = y 0 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) + y (x x 0 )(x x 2 ) 1 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) (x x 0 )(x x 1 ) +y 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) + (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) f (ξ(x)) 3! = p(x) + E(x) Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 64

19 MÉTODO DE SIMPSON Integrando obtenemos x2 x2 f (x)dx = p(x)dx + x 0 x 0 x2 x 0 E(x)dx Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 64

20 MÉTODO DE SIMPSON Aquí x2 h = x 2 x 1 = x 1 x 0 x2 (x x 1 )(x x 2 ) p(x)dx = y 0 x 0 x 0 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) dx x2 (x x 0 )(x x 2 ) +y 1 x 0 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) x2 (x x 0 )(x x 1 ) +y 2 x 0 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) h = y y 4h y h 2 3 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 64

21 MÉTODO DE SIMPSON Si la función f (x) tiene cuarta derivada continua, usando el Teorema del Valor Medio de la Integral nuevamente y luego de tomar la integral se obtiene para algún ξ [a, b] x2 x 0 E(x)dx = h5 90 f (iv) (ξ) Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 64

22 MÉTODO DE SIMPSON La cuadratura resultante es I 2 (f ) = b a 6 ( f (a) + 4f ( a + b 2 ) ) + f (b) La cual en la fórmula de Newton-Cotes tiene pesos α 0 = α 2 = (b a)/6 y α 1 = 4(b a)/6 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 22 de 64

23 FÓRMULA DE SIMPSON Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 23 de 64

24 EJEMPLO Ejemplo Aplique las reglas del Trapecio y de Simpson para aproximar 2 1 ln xdx y encuentre una cota para el error para cada aproximación Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 24 de 64

25 Regla del trapecio 2 1 ln xdx h ln 2 (ln 1 + ln 2) = 2 2 0, Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 25 de 64

26 Regla del trapecio 2 1 ln xdx h ln 2 (ln 1 + ln 2) = 2 2 0, Sea f (x) = ln x, f (x) = 1/x 2, y el error de la fórmula del trapecio se puede acotar en el intervalo [1, 2] como sigue h3 12 f (x) ,08333 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 26 de 64

27 Finalmente, 2 1 ln xdx = 0,3466 ± 0,08333 Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 27 de 64

28 Finalmente, 2 1 ln xdx = 0,3466 ± 0,08333 El valor exacto de la integral debe estar dentro de este intervalo. Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 28 de 64

29 Regla de Simpson 2 1 ln xdx (ln ln 3 + ln 2) = 0, Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 29 de 64

30 Regla de Simpson 2 1 ln xdx (ln ln 3 + ln 2) = 0, Sea f (x) = ln x, f iv (x) = 6/x 4, y el error de la fórmula de Simpson se puede acotar en el intervalo [1, 2] como sigue h5 90 f (iv) (x) 6(0,5)5 0, Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 30 de 64

31 Finalmente, 2 1 ln xdx = 0,3858 ± 0, Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 31 de 64

32 Finalmente, 2 1 ln xdx = 0,3858 ± 0, Note que el valor exacto de la integral está dentro de este intervalo y esta aproximación es más precisa que la que se obtiene con el método del trapecio. Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 32 de 64

33 DEDUCCIÓN DE LA REGLA DE SIMPSON 3/8 Se parte del polinomio de interpolación de Newton en diferencias finitas: P n (x) = y h y 0(x x 0 ) + 2 y 0 2!h 2 (x x 0)(x x 1 ) + 3 y 0 3!h 3 (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) Haciendo el cambio de variable x = x 0 + sh (x x 0 ) = sh x = x 1 + (s 1)h (x x 1 ) = (s 1)h x = x 2 + (s 2)h (x x 2 ) = (s 2)h

34 DEDUCCIÓN DE LA REGLA DE SIMPSON 3/8 Se obtiene: 3 0 x3 x 0 P n (x) = y 0 + s(y 1 y 0 ) + + s(s 1) (y 2 2y 1 + y 0 ) 2! s(s 1)(s 2) (y 3 3y 2 + 3y 1 y 0 ) 3! sds = ; s(s 1)ds = ; s(s 1)(s 2)ds = P 3 (x)dx = h P 3 (s)ds = 3h 8 (y 0 + 3y 1 + 3y 2 + y 3 )

35 REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTO

36 REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTO Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 36 de 64

37 REGLA DEL SIMPSON COMPUESTO

38 REGLA DEL SIMPSON COMPUESTO Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 38 de 64

39 TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO Teorema Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y sea g una función integrable que no cambia de signo en el intervalo [a, b]. Existe un número ξ entre a y b tal que b a b f (x)g(x) = f (ξ) g(x)dx a Regresar Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 39 de 64

40 TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO Teorema Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y sea g una función integrable que no cambia de signo en el intervalo [a, b]. Existe un número ξ entre a y b tal que b a b f (x)g(x) = f (ξ) g(x)dx a Regresar Métodos de Integración Hermes Pantoja Carhuavilca 40 de 64

41 CUADRATURA GAUSSIANA Veremos en esta clase la Regla de la Fórmula de Cuadratura de Gauss. Las Fórmulas de Newton-Cotes integran polinomios interpolantes La Fórmula Cuadratura de Gauss integra exactamente polinomios de grado < 2n + 2 Como los métodos de Newton - Cotes escribimos una integral como b f (x)dx = A 0 f (x 0 ) + A 1 f (x 1 ) A n f (x n ) a donde los coeficientes A i y los puntos x i para i = 0, 1, 2,..., n deben ser determinados de modo de obtener la mejor precisión posible. Característica: Partición no regular Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 41 de 64

42 CUADRATURA GAUSSIANA PARA 2 PUNTOS I = b a f (x)dx = A 0 f (x 0 ) + A 1 f (x 1 ) Por simplicidad tomemos el intervalo [ 1, 1]. Note que siempre es posible pasar del intervalo: [a, b] [ 1, 1] a través de la transformación: x(t) = 1 2 (b a)t + 1 (b + a) para t [ 1, 1] 2 dx = x (t)dt = 1 (b a)dt 2 Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 42 de 64

43 CUADRATURA GAUSSIANA PARA 2 PUNTOS Luego: I = b a f (x)dx = 1 1 f (x(t))x (t)dt = 1 1 F(t)dt donde: F(t) = 1 2 (b a)f ( 1 2 (b a)t (b + a) ) I = 1 1 F(t)dt = A 0 F(t 0 ) + A 1 F(t 1 ) donde los parametros A 0, A 1, t 0, t 1 deben ser determinados de modo que la integral es exacta para polinomios de grado menor o igual a 3. Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 43 de 64

44 CUADRATURA GAUSSIANA PARA 2 PUNTOS Considerando: F 0 (t) = 1, F 1 (t) = t, F 2 (t) = t 2, F 3 (t) = t 3 Podemos determinar las incognitas A 0, A 1, t 0, t 1 A través de I = 1 1 t k dt = A 0 t k 0 + A 1 t k 1 para k = 0, 1, 2, 3 Que genera un sistema lineal 4 4. Veamos: Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 44 de 64

45 CUADRATURA GAUSSIANA PARA 2 PUNTOS Obtenemos el sistema k = 0 k = 1 k = 2 k = t 0 dt = A 0 t A 1 t 0 1 A 0 + A 1 = 2 t 1 dt = A 0 t A 1 t 1 1 = 0 t 2 dt = A 0 t A 1 t 2 1 = 2/3 t 3 dt = A 0 t A 1 t 3 1 = 0 Resolviendo el sistema, obtenemos A 0 = A 1 = 1 t 0 = t 1 = 1 3 Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 45 de 64

46 CUADRATURA GAUSSIANA PARA 2 PUNTOS De modo que podemos escribir la Fórmula de Cuadratura Gaussiana, que es exacta para polinomios de grado menores o iguales a 3 I Gauss = 1 1 ( F(t)dt = F 1 ) ( ) 1 + F 3 3 Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 46 de 64

47 CUADRATURA GAUSSIANA PARA 3 PUNTOS Para 3 puntos, la fórmula de cuadratura gaussiana es exacta para polinomios de grado menores e iguales a 5. Entonces, I = Considerando: 1 1 F(t)dt = A 0 F(t 0 ) + A 1 F(t 1 ) + A 2 F(t 2 ) F 0 (t) = 1, F 1 (t) = t, F 2 (t) = t 2, F 3 (t) = t 3 F 4 (t) = t 4 1 I Gauss = F(t)dt = F F(0) F 3 5 Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 47 de 64

48 POLINOMIOS DE LEGENDRE Resulta que las t i para unas n dadas son las raíces del polinomio de Legendre de grado n. Los polinomios de Legendre se definen en forma recurrente: (n + 1)L n+1 (x) (2n + 1)xL n (x) + nl n 1 (x) = 0 Entonces L 2 (x) es con L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x n = 1; L 2 (x) = 3xL 1(x) (1)L 0 (x) 2 = 3 2 x cuyos ceros son ± = ±0,5773,precisamente son los valores 3 de t para la fórmula de dos términos. Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 48 de 64

49 En la tabla siguiente se enumeran los ceros de los polinomios de Legendre para n = 2, 3, 4, 5 Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 49 de 64

50 EJEMPLOS Ejemplo Calcule I = puntos e x dx utilizando cuadratura gaussiana para 2 y 3 Solución: Tenemos f (x) = 3e x en el intervalo [1, 3]. Haciendo el cambio de variable x(t) = 1 2 (b a)t + 1 (b + a) = t Para x [1, 3] tenemos t [ 1, 1] dx = x (t)dt = 1 dt y F(t) = 3e t+2 Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 50 de 64

51 Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 51 de 64

52 Ejercicio Calcule I = puntos e x dx utilizando cuadratura gaussiana para 2 Cuadratura Gaussiana Hermes Pantoja Carhuavilca 52 de 64

53 MÉTODO DE ROMBERG El Método de Romberg utiliza la Regla del Trapecio compuesto para obtener aproximaciones preliminares y enseguida aplicar un proceso de extrapolación de Richardson para mejorar la aproximación. Metodo de Romberg= Trapecio Compuesto + Extrapolación de Richardson Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 53 de 64

54 EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON La extrapolación de Richardson siempre es utilizada para generar resultados de alta precisión, cuando se usan fórmulas de Newton-Cotes de menor grado. Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 54 de 64

55 Los primeros pasos del procedimento de Romberg es obtener las aproximaciones por la Regla del trapecio compuesto para m 1 = 1, m 2 = 2, m 3 = 4,... m n = 2 n 1 donde n N RECORDANDO LA REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTO b f (x)dx = h [ ] m 1 f (a) + f (b) + 2 f (x i ) b a 2 12 h2 f (ξ) a donde ξ a, b, h = (b a)/m y x i = a + ih con i = 1, 2,..., m i=1 Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 55 de 64

56 La regla del trapecio compuesto con la notación h k = b a m k = b a 2 k 1 para k = 1, 2,... En esta notación, la regla del trapecio compuesto se escribe como b f (x)dx = h 2 k 1 1 k f (a) + f (b) + 2 f (a + ih 2 k ) b a 12 h2 f (ξ) a donde ξ a, b i=1 Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 56 de 64

57 Introducimos la notación R k1 Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 57 de 64

58 Tenemos la aproximación de la regla del trapecio R k1 = 1 2 k 2 R 2 k 1,1 + h k 1 f (a + (2i 1)h k ) i=1 k = 2, 3,..., n Comentario: estamos en el paso 1 del Método de Romberg calculando aproximaciones preliminares via Regla del trapecio. Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 58 de 64

59 Ejemplo Utilice la Regla del Trapecio Compuesto para realizar los primeros pasos del esquema de la integración de Romberg para obtener una aproximación de la integral Para k = 1, 2,..., 6. π 0 sin(x)dx Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 59 de 64

60 tenemos: Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 60 de 64

61 Como el resultado exacto de la integral es π 0 sin(x)dx = 2 la convergencia es bastante lenta! Utilizaremos a extrapolación de Richardson para acelerar la convergencia. Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 61 de 64

62 EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON La extrapolación de Richardson es: [ ] 4Rk,1 R k 1,1 R k,2 = 3 Continuando el procedimento: [ 4 j 1 ] R k,j 1 R k 1,j 1 R k,j = 4 j 1 1 generamos la tabla de Romberg Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 62 de 64

63 tenemos: Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 63 de 64

64 EJEMPLO Método de Romberg Hermes Pantoja Carhuavilca 64 de 64