Problema de Valor de Frontera

Transcripción

1 Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Mecanica Universidad Nacional de Ingenieria Métodos Numérico Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 19

2 CONTENIDO Problema de Valor de Frontera Método del Disparo Método de las Diferencias Finitas Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 19

3 PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA Sea el problema de valor de frontera en una EDO de segundo orden u = g(t, u, u ) u(t 0 ) = u 0 u(b) = B Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 19

4 Consiste en transformar el problema de valor de frontera en un problema de valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla con un método numérico para encontrar u N (s), se compara con B, si estos valores no son aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar al blanco B. Problema de Valor Inicial resultante u = g(t, u, u ) u(t 0 ) = u 0 u (t 0 ) s Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 19

5 ALGORITMO DEL DISPARO Elija un valor inicial de s = s 0 = u t = B u 0 b t 0 Elija h = b t 0 N y los puntos t j = t 0 + jh Elija un método numérico para solucionar la E.D.O (por ejemplo RK de orden 4) al obtener u N = u N (s 0 ) compárelo con u(b) Elija un segundo valor para s = s 1 s 1 = s 0 + B u N b t 0 Luego se aplica un método numérico para obtener u N (s 1 ) Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 19

6 CONTINUACIÓN... Utilice interpolación lineal a fin de obtener elecciones subsecuentes valores para s, esto es: B u N (s s k+2 = s k + (s k+1 s k ) k ) u N (s k+1 ) u N (s k ) Con cada s k resolvemos el problema de valor inicial y comparamos u N (s k ) con B. Deténgase cuando u N (s k ) B sea suficientemente pequeño (Criterio de Convergencia) Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 19

7 EJEMPLO Ejemplo Resolver d 2 y dy + exy dx2 dx + y2 x = 0 Con condiciones de frontera: y(0) = 0 y(0,5) = 1 Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 19

8 SOLUCIÓN Haciendo el cambio de variable u 1 = y; u 2 = y Convirtiendo la EDO en un sistema EDO s de primer orden, con sus respectivas condiciones inicales: u 1 = u 2 u 2 = etu 1u 2 tu 2 1 u 1 (0) = 0 u 2 (0) = s 0 = 1 0 0,5 0 = 2 Considerando h = 0,1 y aplicando RK2, tenemos la siguiente tabla Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 19

9 Estimando otra pendiente: S 1 = ,7693 0,5 0 = 2,46 Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 19

10 Interpolando B Y 5 (s 0 ) s 2 = s 0 + (s 1 s 0 ) Y 5 (s 1 ) Y 5 (s 0 ) = 2,617 Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 19

11 Interpolando B Y 5 (s 1 ) s 3 = s 1 + (s 2 s 1 ) Y 5 (s 2 ) Y 5 (s 1 ) = 2,618 Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 19

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13 MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS Dado la ecuación diferencial de segundo orden con valor de frontera u + p(t)u + q(t)u = r(t) a = t 0 t b u(a) = α u(b) = β se requiere aproximar u, u usando diferencias centrales. Se elije h = b t 0 N y los puntos t j = t 0 + jh Esto nos lleva a formar un sistema lineal de orden N N, que será resuelto con algún método numérico. En los puntos interiores de la retícula t i, i = 1, 2,..., N, la ecuación diferenciar a aproximar es: u (t i ) = p(t i )u (t i ) + q(t i )u(t i ) + r(t i ) (1) Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 19

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15 Definiendo: w 0 = α w N+1 = β Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 19

16 Obteniendo el sistema matricial La solución del sistema lineal, se puede realizar por la reducción de Crout. Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 19

17 EJEMPLO Ejemplo Resolver y y 2y = 0 Con condiciones de frontera y(0) = 0,1 y(0,5) = 0,283 Considere h = 0,1 Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 19

18 SOLUCIÓN p(x i ) = 1 q(x i ) = 2 r(x i ) = 0 y = p(x)y + q(x)y + r(x) A i = ( 1 + h ) 2 p(x i) = 1,05 ( ) B i = h 2 q(x i ) + 2 = 2,02 C i = ( 1 h ) 2 p(x i) = 0,95 D i = h 2 r(x i ) = 0 Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 19

19 Resolviendo el sistema tridiagonal 2,02 0, ,05 2,02 0, ,05 2,02 0, ,05 2,02 y 1 y 2 y 3 y 4 = 0,1238 0,1527 0,1879 0,2308 y 1 y 2 y 3 y 4 = 0, ,26885 Problema de Valor de Frontera Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 19