PROBLEMARIO DE EJERCICIOS RESUELTOS

Transcripción

1 Universidad Autónoma del Estado de México Centro Universitario Nezahualcóyotl Lic. en Ingeniería en Sistemas Inteligentes PROBLEMARIO DE EJERCICIOS RESUELTOS Unidad de aprendizaje: Ecuaciones Diferenciales ACTIVIDAD: Solución a Ejercicios AUTOR: M. EN C. JOSÉ ANTONIO CASTILLO JIMÉNEZ

2 UNIVERSIDAD AUTONÓMA DEL ESTADO DE MÉXICO UNIDAD ACADÉMICA PROFESIONAL NEZAHUALCÓYOTL COORDINACIÓN DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INTELIGENTES I. ESTRUCTURA DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE.- Introducción a las Ecuaciones Diferenciales..- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. 3.- Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior. 4.- Transformada de Laplace. 5.- Funciones Ortogonales y Series de Fourier. II. SECUENCIA DIDÁCTICA ECUACIONES DIFERENCIALES EDO S DE PRIMER ORDEN EDO S DE ORDEN SUPERIOR TRANSFORMADA DE LAPLACE SERIES DE FOURIER

3 CONTENIDO. INTRODUCCIÓN. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN. MÉTODO DE COEFICIENTES CONSTANTES 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS 4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN. MÉTODO DE VARIACIÓN DE PÁRAMETROS 5. CONCLUSIÓN 6. BIBLIOGRAFIA 3

4 PRESENTACIÓN El presente material didáctico tiene como objetivo reforzar el aprendizaje obtenido en las aulas así como proporcionar los elementos tanto matemáticos como conceptuales para la realización de la solución de las Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Los ejercicios han sido seleccionados con la finalidad de dar una mayor comprensión a los conceptos teóricos ya que se espera que, el estudiante aborde los problemas propuestos reflexionando y madurando la teoría y haga uso de sus conocimientos previos de aritmética, algebra, trigonometría, calculo diferencial e integral. Cada una de las secciones contiene una breve explicación y ejercicios resueltos con los cuales se busca que el estudiante refuerce el aprendizaje significativo 4

5 Introducción. En la unidad de aprendizaje Ecuaciones Diferenciales, se divide en dos tipos de soluciones: ) Las Ecuaciones Diferenciales de primer orden ) Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden En este problemario revisaremos particularmente las soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior, considerando los métodos: coeficientes constantes, coeficientes indeterminados, variación de parámetros y la técnica de Laplace, estos aplicados a un grupo de problemas propuestos que permitan al estudiante de la unidad de aprendizaje Ecuaciones Diferenciales, verificar las técnicas propuestas y analizadas en el salón de clase, de acuerdo programa de estudios por competencias de la unidad de aprendizaje: Ecuaciones Diferenciales. Una ecuación diferencial de segundo orden, se dice que es lineal o mediante algebra puede llevarse a la forma siguiente: Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma n n d y d y dy n n n 0 an(x) a (x)... a (x) a (x) y g(x) dx dx dx con g(x) no igual a cero, se dice que es no homogénea se dice que es homogénea. n n d y d y dy n n n 0 an(x) a (x)... a (x) a (x) y 0 dx dx dx La palabra homogénea en este contexto no se refiere a los coeficientes que son funciones homogéneas, Después veremos que para resolver una ecuación lineal no homogénea, primero se debe poder resolver la ecuación homogénea asociada. 5

6 . ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR. Respuesta a la Ecuación Diferencial de Segundo Orden Sea la ecuación diferencial de orden superior de la forma: n n d y d y dy n(x) n (x)... (x) 0(x) y 0 n n i0 a a a a donde a dx dx dx La cual es una ecuación diferencial de orden superior homogénea. Si ahora se define que una ecuación diferencial de segundo orden, es también de orden superior y de la forma: d y dy (x) (x) 0(x) y 0 i0 a a a cona dx dx La cual tiene solución, utilizando la transformación: dy s dx Entonces la ecuación diferencial de segundo puede ser escrita como una ecuación auxiliar, considerando la transformación anterior, y toma la forma de ecuación cuadrática de segundo orden. as bs c 0 donde a, b, c son cons tantes Si consideramos la solución con la formula general, s, s b b 4ac Esta ecuación es llamada solución a la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial. La cual considera las dos raíces de la solución de la formula general y los casos del discriminante: ) b a 4ac 0 caso Raíces reales y diferentes Bajo la suposición de que la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales desiguales s y s, encontramos dos soluciones, y y y. Vemos que estas funciones son linealmente 6

7 independientes en (-, ) y, por tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general de en este intervalo es (x) C sx s x y e C e donde C y C son cons tan tes ) b 4ac 0 caso Raíces reales e iguales Cuando s = s, necesariamente se obtiene sólo una solución exponencial, y. La cual es derivada para determinar una segunda solución de la forma: y(x) C e sx y(x) C La solución propuesta a este tipo de raíces es: y(x) C e C xe donde C y C son cons tan tes sx sx xe sx 3) b 4ac 0 caso Raíces complejas y conjugadas Si s y s son complejas, entonces se puede escribir s= a + b*i y s = a- b*i, donde a y b>0 y son reales. De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por tanto, y(x) C e C e donde C y C son cons tan tes ( di) ( di) x ( di) x Usando la formula de Euler e cos ( d) sen( d) i Despues de sustituir y reducir x y(x) e ( C cos( d) C sen( d)) 7

8 Solución a problemas propuestos , Raíces: Reales y Diferentes Raíces: Reales y Diferentes Raíces: Reales y Diferentes

9 Raíces: Reales y Diferentes Raíces: Iguales y Reales Raíces: Iguales y Reales

10 Raíces: Reales y Diferentes Raíces: Reales y Diferentes Raíces: Imaginarias y Conjugadas

11 Raíces: Imaginarias y Conjugadas Raíces: Imaginarias y Conjugadas Raíces: Imaginarias y Conjugadas

12 Raíces: Imaginarias y Conjugadas Raíces: Imaginarias y Conjugadas

13

14

15 = = s=

16

17

18 Respuesta a la Ecuación Diferencial de Segundo Orden. Método Coeficientes Constante Este método permite determinar el valor de las constantes Ci de la respuesta a la ecuación diferencial de segundo orden, considerando la respuesta homogénea descrita en la sección anterior. Sea la ecuación diferencial de según do orden de la forma: Con respuesta generalizada d y dy ' (x) (x) 0(x) y 0 (0) cte() (0) cte() a a a y y dx dx y(x) Ce Ce sx sx Donde C y C son las constantes que dependen de las condiciones iniciales o de frontera de la ecuación diferencial. Tomando la primer condición inicial o de frontera y evaluando en x=0 e igualando a la ecuación diferencial con el resultado de condición inicial, se puede obtener la ecuación resultante de la forma s (0) s y(0) Ce (0) Ce cte() C C cte() 8

19 La condición inicial en cero es evaluada en la derivada de la respuesta para tener la segunda ecuación d d dx dx d d dx dx C C cte() s( x) s ( x) y'( x) ( Ce ) ( Ce ) s(0) s (0) y'(0) ( Ce ) ( Ce ) cte() Entonces la respuesta general a la ecuación diferencial y(x) cte() e s x cte() e s x Ejemplos Resueltos 9 6 0, 0)=, y (0)= , 3 0,

20 , 43 0, , 0)=, y (0)=5 7 0

21 = Coeficientes indeterminados Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea d y dy ' (x) (x) 0(x) y (x) (0) cte() (0) cte() a a a g y y dx dx Se debe hacer dos cosas:. encontrar la función complementaria Yh. encontrar alguna solución particular Yp de la ecuación no homogénea. Entonces, la solución general de es Y(x)=Yh(x)+Yp(x) La función complementaria Yh es la solución general de la ED homogénea asociada de, es decir, n ay a y... ay' ay g(x) n n n 0

22 En la sección anterior se propuso cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eran constantes. Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones particulares. La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular Yp de una ED lineal no homogénea se llama método de coeficientes indeterminados. La idea fundamental detrás de este método es una conjetura acerca de la forma de Yp, en realidad una intuición educada, motivada por las clases de funciones que forman la función de entrada g(x). El método general se limita a ED lineales donde ) Los coeficientes ai, i =0,.., n son constantes y ) g(x) es una constante k, una función polinomial, una función exponencial e ax, una función seno o coseno o sumas finitas y productos de estas funciones. Es decir, g(x) es una combinación lineal de funciones de la clase. Y Debido a que la combinación lineal de derivadas: ay a y... ay ' ay g(x) n n n P n P P 0 P Debe ser idéntica a g(x), parece razonable suponer que yp tiene la misma forma que g(x) Homogénea: 3s No homogénea:

23 6 0 0 Sustituyendo A 6 00A6 A 6 A Homogénea: sin sin 4 No homogénea: Sustituyendo A 5 9A 5 3

24 A sin x 3 Homogénea: 0s No homogénea: 30 3 x +B 0 Sustituyendo X 3 x B X 3 Para x Para termino independiente

25 3. 6x Homogénea: s No homogénea: x +B 0 Sustituyendo 6 x 0 A 6x B x A 6x 6B x Para x Para termino independiente x Homogénea: 4 s0 5

26 4 4 4 No homogénea: x +B Sustituyendo 0 4 x 4 B x A B xa6x6bx A xa B ABC x Para Para x A B B B B B 4 Para termino independiente ABC0 4C0 6

27 x Homogénea: 4 7 8s sin No homogénea: 00 6x Sustituyendo x x x A x6a 0B x D 8D 0D D 8D A 8B 0C 00 6x Para 0A 00 A 50 Para x 6A 0B B B 0 7

28 B B 40 Para D 6 D 6 Para termino independiente A 8B 0C C C C 4 4sin Variación de Parámetros El procedimiento que se utiliza para encontrar una solución particular Yp de una ecuación diferencial lineal de primer orden en un intervalo es también aplicable a una ED de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden. a (x) y'' a (x) y' a (x) y g(x) 0 Comenzamos por escribir la ecuación en su forma estándar: y'' P(x) y' Q(x) y g(x) Dividiendo entre el coeficiente principal a(x). La ecuación es la análoga de segundo orden de la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden: y + P(x)y = f(x). Se supone que P(x), Q(x) y g(x) son continuas en algún intervalo común I. Como ya hemos visto, no hay dificultad para obtener la función complementaria Yh, la solución general de la ecuación homogénea, cuando los coeficientes son constantes. 8

29 Correspondiendo con la suposición Yp=u(x) y(x) que se usó anteriormente para encontrar una solución particular Yp de y +P(x)y=f(x), para la ecuación lineal de segundo orden se busca una solución de la forma Yp(x) u (x) y (x) u (x) y (x) Donde y, y forman un conjunto fundamental de soluciones en I de la forma homogénea asociada. Usando la regla del producto para derivar dos veces a Yp, se obtiene Y'p(x) u (x) y' (x) u' (x) y (x) u (x) y' (x) u' (x) y (x) Y''p(x) u (x) y'' (x) u' (x) y' (x) u'' (x) y (x) u' (x) y' (x) u (x) y'' (x)... u'(x)y'(x) u''(x)y(x) u'(x)y'(x) Sustiyendo en la ecuación: y'' P(x) y' Q(x) y g(x) Reduciendo, Agrupando y Resolviendo utilizando el método de Cramer, se obtienen el sistema de ecuaciones: yu' yu' 0 y' u' y' u' g(x) El cual puede expresarse como una serie de determinantes y resolver para u y u y y 0 y y 0 W(y, y ) W W y' y' g(x) y' y' g(x) Donde se conoce a los determinantes W como el wronskiano de las soluciones de la ecuación diferencia. Considerando el wronskiano y resolviendo para u u' W y g (x) (x) u' W y g W W W W u u' du y u u' du Entonces u es: 9

30 Ejemplos Resueltos. sec Para la homogénea Raíces imaginarias y conjugadas sin sin sin Para la no homogénea cos sin, cos sin sin cos 0,, cos sec sin sec log cos sin sec log cos cos sin sin log cos cos sin. tan Para la homogénea Raíces imaginarias y conjugadas 30

31 sin sin sin Para la no homogénea cos sin, cos sin sin cos 0,, sin tan cos tan sin sin tan sin log sin log sin cos sin log sin log cos cos sin sin sin log sin log cos cos sin 3. sin Para la homogénea Raíces imaginarias y conjugadas sin sin sin Para la no homogénea cos sin 3

32 , cos sin sin cos 0,, cos sin sin 4 sin sin cos sin 4 sin cos sin sin 4 sin cos sin 4. sec tan Para la homogénea Raíces imaginarias y conjugadas sin sin sin Para la no homogénea cos sin, cos sin sin cos 0,, sec tan sin sec tan 3

33 sin sec tan tan cossectan log tan cos log sin sin tan cos log sin 5. Para la homogénea Raíces imaginarias y conjugadas sin sin sin Para la no homogénea cos sin, cos sin sin cos 0, sin, cos sin 3 9 sin sin 3 3 cos 9sinsin3sin sin 3 cos 9sinsin3sin 33

34 6. Para la homogénea Raíces imaginarias y conjugadas sin sin sin Para la no homogénea cos sin, cos sin sin cos 0, sin sec, cos sec sin sec sec cos logsin log seccos log sin log sin sin seccos log sin log sin 7. cosh Para la homogénea Raíces reales y diferentes 34

35 Para la no homogénea, 0,, cosh cosh 4 8 cosh 8 cosh sinh Para la homogénea Raíces reales y diferentes Para la no homogénea, 35

36 0,, sinh sinh 4 sinh sinh Para la homogénea Raíces reales y diferentes Para la no homogénea, 4 0,, 4 4 log

37 4 log 4 log Para la homogénea Raíces reales y diferentes Para la no homogénea 3, ,,

38 . 3 Para la homogénea 3s Raíces reales y diferentes Para la no homogénea 3, 0,, log log log log log log. Para la homogénea 0 38

39 = s= s= Para la no homogénea yp=u(cosx)+u(senx) w(y,y)= = = 0 w= = y/w f(x)= 0 w= = y/w f(x)= u= u= yp(x)= 3. 3 Para la homogénea 0 = s= s= Para la no homogénea yp=u(cosx)+u(senx) w(y,y) = = 39

40 0 w= = y/w f(x)= 0 w= = y/w f(x)= = u= u= yp(x)=ccosx+csenx+ cosx+ senx 4. arctan Para la homogénea 0 = s= s= Para la no homogénea yp=u(cosx)+u(senx) w(y,y) = = 0 w= = y/w f(x)= 0 w= = y/w f(x)= arctan arctan u= arctan u= arctan 40

41 yp(x)= arctan arctan 5. ln Para la homogénea 0 = s= s= Para la no homogénea yp=u(cosx)+u(senx) w(y,y) = = 0 w= = y/w f(x)= 0 w= = y/w f(x)= ln = ln u= ln u= ln yp(x)= ln + ln 6. 4 Para la homogénea 0 = s= 0 s= Para la no homogénea 4

42 yp=u(cosx)+u(senx) w(y,y) = = 0 w= = y/w f(x)= 0 w= = y/w f(x)= 4 4 u= 4 u= 4 yp(x)= Para la homogénea = s= s= 0 Para la no homogénea yp=u(cosx)+u(senx) w(y,y) = = 0 w= = y/w f(x)= 0 w= = y/w f(x)= 4

43 u= u= yp(x)= / Para la homogénea 4 40 = s= s= Para la no homogénea yp=u(cosx)+u(senx) w(y,y)= = = 0 w= = y/w f(x)= 0 w= = y/w f(x)= / / u= / u= / yp(x)= / / 43

44 CONCLUSIONES El curso de ecuaciones diferenciales para el área de ingeniería permite el estudio de la dinámica de sistemas de áreas como física, química, economía, evolución, estadística de población, computación, etc. La computación es una excelente herramienta que permite ver el comportamiento de la solución de ecuaciones diferenciales por lo que en este curso, los estudiantes de ingeniería en sistemas encuentran una aplicación directa a la programación. 44

45 BIBLIOGRAFÍA. ZILL, D.G., CULLEN, M. R. ECUACIONES DIFERENCIALES CON PROBLEMAS DE VALORES A LA FRONTERA. ED. THOMSON. MÉXICO. BOYCE y DIPRIMA. ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA. ED. WILEY- LIMUSA. MÉXICO 3. SIMMONS, G.F. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES Y NOTAS HISTORICAS. ED. THOMSON. MÉXICO 4. HSU, H.P. ANALISIS DE FOURIER. ADDISON-WESLEY, MÉXICO. 45