Laboratorio Nº 6 Sistema de ecuaciones diferenciales

Transcripción

1 Universidad Diego Portales Primer Semestre 007 Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Objetivo general Laboratorio Nº 6 Sistema de ecuaciones diferenciales Describir en forma gráfica y numérica la solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios de primer orden, ya sea a partir de su campo de direcciones como también de la curva solución que pase por un determinado punto. Objetivos específicos 1 Obtener los puntos de la curva solución, de un sistema de ecuaciones de primer orden, de manera aproximada. Dibujar la solución aproximada de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, que pase por un punto determinado. 3 Dibujar los campos de direcciones, de un sistema de ecuaciones de primer orden, de manera aproximada. Actividades Nº de actividad Contenido 1 Sistema no Lineal Sistema Lineal 3 El alumno desarrollará actividades propuestas Metodología En este laboratorio describiremos un procedimiento numérico para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, basados en el Método de Euler. Para ello usaremos los programas RetraFas y Euler, en donde se tienen las siguientes definiciones: dy dt dy dx dy = H (Y ), donde Y = ( x,, =, dt dt dt y H ( Y ) = ( F( x,, G( x, ).

2 Método de Euler para sistemas de ecuaciones diferenciales El método de Euler para sistemas puede escribirse sin la notación vectorial como sigue. Con el sistema dx = F( x, dt, dy = G( x, dt la condición inicial ( x, y 0 0 ) y el tamaño del paso h = t, determinamos la aproximación de Euler repitiendo los cálculos: m k = F( x, n k = g( x,, xk +1 = xk + mk h y = y n h k +1 k + k Programa RetraFas

3 Programa Euler Actividad 1: d x dx Considere la ecuación diferencial de segundo orden (1 x ) + x = 0. A ésta se dt dt denomina ecuación de Van der Pol. Para estudiarla numéricamente, la convertimos en un dx sistema de primer orden haciendo y =. El sistema, no lineal, resultante es dt dx = y dt dy = x + (1 x ) y dt Encuentre una solución aproximada para la condición inicial ( x ( 0), y(0) ) = (1,1 ). Esboce el campo de direcciones del sistema dado. Solución: Usando el programa Euler, y cambiando Line x,y,a,b por PrintNatural [a,b] en este programa, obtenemos los puntos de la curva solución. Ingresando F ( x, = y, G ( x, = x + (1 x ) y, x = 1, y = 1, el paso h = 0.1 y el número de puntos a calcular N = 77, se obtienen los puntos de la curva solución, aproximada. En la figura se muestra el segundo punto de la curva.

4 Usando el programa Euler original, obtenemos la curva solución, aproximada. Ingresando F ( x, = y, G ( x, = x + (1 x ) y, x = 1, y = 1, el paso h = 0.1 y el número de segmentos por dibujar N = 77 (0 t 7.7), con una ventana de visualización 5 x 5, 5 y 5 y se obtiene la curva aproximada de la figura. Usando el programa RetraFas, obtenemos el campo de direcciones del sistema dado. Ingresando F ( x, = y, G ( x, = x + (1 x ) y, Con N = M = 0 y ventana de visualización 5 x 5, 5 y 5 y s = 0.4, ( 0 t 7.7) se obtiene el retrato de fase de la figura Usando del menú el programa Graf. Ec. Di, se obtienen la curva solución y el campo de direcciones correspondiente.

5 Observe que el comando dsolve no resuelve, en este caso. Actividad : Dibuje el campo de direcciones y una curva solución que pase por el punto ( 0,1), para el sistema dx = y dt. dy = x dt Cuál, cree usted, es la solución del sistema en términos de x y de y? Cuál, cree usted, es la solución del sistema en términos de t? Si el parámetro t, corresponde a un instante determinado de tiempo, cuál es el sentido de desplazamiento sobre el campo de direcciones de un punto P? Solución: Usando los programas RetraFas y Euler, tenemos: Use ventana de visualización 5 x 5,.5 y.5, s = 0.4, 0 t 7.7, ( N = 77 y h = 0.1). En el primer caso use M = 10 y N = 0.

6 Usando del menú el programa Graf. Ec. Di, se obtienen los gráficos siguientes: Analizando los dos gráficos se deduce que la solución en términos de x y de y, es x + y = 1, y que una solución en términos de t, es la curva C : x = sen(t), y = cos(t). Suponiendo que se toma el punto (,1) 0, cuando t = 0, se tiene: El sentido de desplazamiento de un punto P sobre la curva solución, es en el sentido horario, como se verifica al correr el programa Euler o el mostrado por las flechas en el gráfico del programa Graf. Ec. Di

7 ACTIVIDADES A DESARROLLAR POR EL ALUMNO x = x y + x xy 1. Para el sistema, determine: y = y + x (a) Los puntos de equilibrio para el sistema. (b) El campo de direcciones del sistema. (c) Algunas órbitas. Solución: (a) Los puntos de equilibrio para el sistema dado se obtienen al igualar a cero las tasas de cambio de ambas funciones. Es decir x y + x xy = 0. y + x = 0 Los puntos de equilibrio que se obtienen al resolver el sistema son ( 0,0), ( 1,1 ) y ( 1,1). (b) El campo de direcciones se muestra en la figura (c) Para x =, y =, se tiene la orbita de la figura siguiente. ( 0 t 5)

8 (d) Para x = 0. 5, y =, se tiene la orbita de la figura siguiente. x = x + y 4. Para el sistema, determine: y = x y 1 (a) Las isoclinas nulas o ceroclinas y punto de equilibrio del sistema. (b) El campo de direcciones del sistema. (c) Algunas órbitas del sistema. Solución: (a) Las ceroclinas del sistema dado son las rectas definidas por: ceroclina de x : x + y 4 = 0, ceroclina de y : x y 1 = 0. El punto de equilibrio es ( 3,1 ). (b) El campo de direcciones del sistema es:

9 (c) Para x =, y = tenemos: Para x = 3, y = 3 tenemos: En este ejemplo, usamos la ventana de visualización: 0 x 5, 0 y.5, 0 t 5. ( N = 50 y h = 0.1).