ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n Solución General, Particular y aproximaciones.

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n Solución General, Particular y aproximaciones. En cada caso obtenga la solución general de la ecuación diferencial dada, y luego la solución particular dada las condiciones iniciales. 1. y y = 0, y(0) = 4, y (0) = 2. Utilice el hecho de que e x y e x son soluciones de la ecuación diferencial. 2. y + 4y = 0, y(0) = 2, y (0) = 4. Utilice el hecho de que sin 2x y cos 2x son soluciones de la ecuación diferencial. 3. y 2y + y = 0, y(0) = 7, y (0) = 4. Utilice el hecho de que e x y xe x son soluciones de la ecuación diferencial. 4. x 2 y + xy 9y = 0, y(1) = 1, y (1) = 15. Utilice el hecho de que x 3 y x 3 son soluciones de la ecuación diferencial. 5. Establezca en lenguaje matemático el siguiente importante corolario del teorema 6.2: Si la ecuación diferencial es normal y homogénea en I y y 0 = y 1 = = y n 1 = 0, entonces y = 0 es la única solución. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes (operador diferencial) raíces distintas En los ejercicios 1 al 19 encuentre la solución general. Cuando se utilice el operador D, deberá sobreentenderse que la variable independiente es x. 1. (D 2 + 2D 3)y = (D 2 + 2D)y = (D 2 + D 6)y = (D 2 5D + 6)y = (D 3 + 3D 2 4D)y = (D 3 3D 2 10D)y = (D 3 + 6D D + 6)y = (D 3 + 3D 2 4D 12)y = (4D 3 7D + 3)y = (4D 3 13D 6)y = d3 x + d2 x 2dx = 0. dt 3 dt 2 dt 12. d3 x dt 3 19dx dt + 30x = (9D 3 7D + 2)y = (4D 3 21D 10)y = (D 3 14D + 8)y = (D 3 D 2 4D 2)y = (4D 5 8D 4 17D D 2 + 9D)y = (D 2 4aD + 3a 2 )y = 0; a real [D 2 (a + b)d + ab]y = 0; a y b son reales y diferentes.

2 Encontrar la solución particular indicada 20. (D 2 2D 3)y = 0; cuando x = 0, y = 0, y = (D 2 D 6)y = 0; cuando x = 0, y = 0, y cuando x = 1, y = e 3. Encuentre el valor de y para la solución particular pedida en x= (D 2 2D 3)y = 0; cuando x = 0, y = 4, y = (D 3 4D)y = 0; cuando x = 0, y = 0, y = 0, y = (D 2 D 6)y = 0; cuando x = 0, y = 3, y = (D 2 + 3D 10)y = 0; cuando x = 0, y = 0, y cuando x = 2, y = (D 3 2D 2 5D + 6)y = 0; cuando x = 0, y = 1, y = 7, y = 1. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes (operador diferencial) raíces repetidas. 1. (D 2 6D + 9)y = (D 2 + 4D + 4)y = (4D 3 + 4D 2 + D)y = (D 3 8D D)y = (D 4 + 6D 3 + 9D 2 )y = (D 3 3D 2 + 4)y = (4D 3 3D + 1)y = (D 4 3D 3 6D D 24)y = (D 3 + 3D 2 + 3D + 1)y = (D 3 + 6D D + 8)y = (D 5 D 3 )y = (D 5 16D 3 )y = (4D 4 + 4D 3 3D 2 2D + 1)y = (4D 4 4D 3 23D D + 36)y = (D 4 + 3D 3 6D 2 28D 24)y = (27D 4 18D 2 + 8D 1)y = (4D 5 23D 3 33D 2 17D 3)y = (4D 5 15D 3 5D D + 9)y = (D 4 5D 2 6D 2)y = (D 5 5D 4 + 7D 3 + D 2 8D + 4)y = 0. Encuentre la solución particular indicada. 21. (D 2 + 4D + 4)y = 0; cuando x = 0, y = 1, y = Resuelva la ecuación del ejericicio 21 con la condición de que la gráfica de la solución pase por los puntos (0,2)y (2,0). 23. (D 3 3D 2)y = 0; cuando x = 0, y = 0, y = 9, y = (D 4 + 3D 3 + 2D 2 )y = 0; cuando x = 0, y = 0, y = 4, y = 6, y = Resuelva la ecuación del ejercicio 24 bajo las condiciones de que cuando x = 0, y = 0, y = 3, y = 5, y = (D 3 + D 2 D 1)y = 0; cuando x = 0, y = 1, cuando x = 2, y = 0, y también con la condición de que cuando x, y.

3 Encuentre el valor de y para la solución particular requerida, cuando x= (4D 2 4D + 1)y = 0; cuando x = 0, y = 2, y = (D 3 + 2D 2 )y = 0; cuando x = 0, y = 3, y = 0, y = (D 3 + 5D 2 + 3D 9)y = 0; cuando x = 0, y = 1, cuando x = 1, y = 0, y también con la condicion de que cuando x, y 0. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes (Operador diferencial) raíces complejas. 1. Verifique directamente que la relación: y = c 3 e ax cos bx + c 4 e ax sin bx satisface la ecuación: [(D a) 2 + b 2 ]y = (D 2 2D + 5)y = (D 2 2D + 2)y = (D 2 + 9)y = (D 2 9)y = (D 2 + 6D + 13)y = (D 2 4D + 7)y = (D 3 + 2D 2 + D + 2)y = (D 4 + 2D D 2 )y = (D 4 2D 3 + 2D 2 2D + 1)y = (D D )y = (2D D 3 4D 2 69D + 34)y = (D 6 + 9D D )y = (2D 3 D D 18)y = (D 2 1)y = 0; cuando x = 0, y = y 0, y = (D 2 + 1)y = 0; cuando x = 0, y = y 0, y = (D 3 + 7D D + 13)y = 0; cuando x = 0, y = 0, y = 2, y = (D 5 + D 4 7D 3 11D 2 8D 12)y = d2 x + dt 2 k2 x = 0, k real; cuando t = 0, x = 0, dx = v dt (D 3 + D 2 + 4D + 4)y = 0; cuando x = 0, y = 0, y = 1, y = d2 x dt2 + 2b (dx ) + dt k2 x = 0, k > b > 0; cuando t = 0, x = 0, dx = v dt 0. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Obtenga la solución general, a menos que se indique lo contrario. 1. (D 2 + 3D)y = (9D 4 + 6D 3 + D 2 )y = (D 2 + D 6)y = (D 3 + 2D 2 + D + 2)y = (D 3 3D 2 + 4)y = (D 3 2D 2 3D)y = (4D 3 3D + 1)y = (D 3 + 3D 2 4D 12)y = (D 3 + 3D 2 + 3D + 1)y = (4D 3 21D 10)y = (4D 3 7D + 3)y = 0.

4 12. (D 3 14D + 8)y = (8D 3 4D 2 2D + 1)y = (D 4 + D 3 4D 2 4D)y = (D 4 2D 3 + 5D 2 8D + 4)y = (D 4 + 2D 2 + 1)y = (D 4 + 5D 2 + 4)y = (D 4 + 3D 3 4D)y = (D 4 11D D 2 16D 64)y = (D 2 + 2D + 5)y = (D 4 + 4D 3 + 2D 2 8D 8)y = (4D 4 24D D 2 + 6D 9)y = (4D D D D + 6)y = (D 4 7D D 2 + 5D 14)y = (D 3 + 5D 2 + 7D + 3)y = (D 3 2D 2 + D 2)y = (D 3 D 2 + D 1)y = (D 3 + 4D 2 + 5D)y = (D 4 13D )y = (D 4 5D 3 + 5D 2 + 5D 6)y = (4D 3 + 8D 2 11D + 3)y = (D 3 + D 2 16D 16)y = (D 4 D 3 3D 2 + D + 2)y = (D 3 2D 2 3D + 10)y = (D 5 + D 4 6D 3 )y = (4D D D + 37)y = (4D D D + 10)y = (18D 3 33D D 4)y = (D 5 2D 3 2D 2 3D 2)y = (D 4 2D 3 + 2D 2 2D + 1)y = (D 5 15D D D 72)y = (4D 4 15D 2 + 5D + 6)y = (D 4 + 3D 3 6D 2 28D 24)y = (4D 4 4D 3 23D D + 36)y = (4D 5 23D 3 33D 2 17D 3)y = 0.

5 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes y no homogéneas (Coeficientes indeterminados). 1. (D 2 + D)y = cos x. 2. (D 2 6D + 9)y = e x. 3. (D 2 + 3D + 2)y = 12x (D 2 + 3D + 2)y = 1 + 3x + x (D 2 + 9)y = 5e x 162x. 6. (D 2 + 9)y = 5e x 162x y 3y 4y = 30e x. 8. y 3y 4y = 30e 4x. 9. (D 2 4)y = e 2x (D 2 D 2)y = 6x + 6e x. 11. y 4y + 3y = 20 cos x. 12. y 4y + 3y = 2 cos x + 4 sin x. 13. y + 2y + y = sin 2x. 14. (D 2 + 4D + 5)y = 50x + 13e 3x. 15. (D 2 + 1)y = cos x. 16. (D 2 4D + 4)y = e 2x. 17. (D 2 1)y = e x (2 sin x + 4 cos x). 18. (D 2 1)y = 8xe x. 19. (D 3 D)y = x. 20. (D 3 D 2 + D 1)y = 4 sin x. 21. (D 3 + D 2 4D 4)y = 3e x 4x (D 4 1)y = 7x (D 4 1)y = e x. 24. (D 2 1)y = 10 sin 2 x. Utilice la identidad sin 2 x = 1 (1 cos 2x) (D 2 + 1)y = 12 cos 2 x. 26. (D 2 + 4)y = 4 sin 2 x. 27. y 3y 4y = 16x 50 cos 2x. 28. (D 3 3D 2)y = 100 sin 2x. 29. y + 4y + 3y = 15e 2x + e x. 30. y y = e x y y 2y = 6x + 6e x. 32. y + 6y + 13y = 60 cos x (D 3 3D 2 + 4)y = cos 2x. 34. (D 3 + D 10)y = 29e 4x. 35. (D 3 + D 2 4D 4)y = 8x e x. En los ejercicios 36 al 44 encuentre la solución particular indicada. 36. (D 2 + 1)y = 10e 2x ; cuando x = 0, y = 0, y = (D 2 4)y = 2 8x; cuando x = 0, y = 0, y = (D 2 + 3D)y = 18x; cuando x = 0, y = 0, y = (D 2 + 4D + 5)y = 10e 3x ; cuando x = 0, y = 4, y = d2 x + 4 dt 2 (dx dx ) + 5x = 10; cuando t = 0, x = 0, = 0. dt dt 41. x + 4x + 5x = 8 sin t ; cuando t = 0, x = 0, x = 0.

6 42. y + 9y = 81x cos 4x ; cuando x = 0, y = 0, y = (D 3 + 4D 2 + 9D + 10)y = 24e x ; cuando x = 0, y = 0, y = 4, y = y + 2y + 5y = 8e x ; cuando x = 0, y = 0, y = 8. En los ejercicios 45 al 48, a partir de la solución particular indicada obtenga el valor de y y el de y en x= y + 2y + y = x; en x = 0, y = 3 y en x = 1, y = y + 2y + y = x; en x = 0, y = 2, y = y + 2 = 2; en x = π, y = 0, y = y 5y 3y = 9x 2 1; en x = 0, y = 1, y = 0. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes y no homogéneas (Variación de parámetros). En los ejercicios 1 al 18 utilice la variación de parámetros para resolver cada ecuación. 1. (D 2 1)y = e x (D 2 + 1)y = csc x cot x. 3. (D 2 + 1)y = csc x. 4. (D 2 + 2D + 2)y = e x csc x. 5. (D 2 + 1)y = sec 3 x. 6. (D 2 + 1)y = sec 4 x. 7. (D 2 + 1)y = tan x. 8. (D 2 + 1)y = tan 2 x. 9. (D 2 + 1)y = sec x csc x. 10. (D 2 + 1)y = sec 2 x csc x. 11. (D 2 2D + 1)y = e 2x (e x + 1) (D 2 3D + 2)y = e2x 1+e 2x. 13. (D 2 3D + 2)y = cos (e x ). 14. (D 2 1)y = 2(1 e 2x ) (D 2 1)y = e 2x sin e x. 16. (D 1)(D 2)(D 3)y = e x. 17. y y = x. 18. y + y = tan x. 19. Observe que x y e x son soluciones de la ecuación homogénea asociada con: (1 x)y + xy y = 2(x 1) 2 e x. Utilice este hecho para resolver la ecuación no homogénea. 20. Resuelva la ecuación: y y = e x. por el método de variación de parámetros, pero en lugar de hacer Ay 1 + By 2 = 0, escoja Ay 1 + By 2 = k, para una k constante. 21. Aplique la sugerencia del ejercicio 20 al ejercicio Sean y 1 y y 2 las soluciones de la ecuación homogénea asociada con: y + p(x)y + q(x)y = f(x). Sea W(x)el wronskiano de y 1 y y 2, y suponga que W(x) 0 en el intervalo a < x < b. Demuestre que una solución particular de la ecuacion (A)está dada por:

7 x y p = ( f(β)[y 1(β)y 2 (x) y 1 (x)y 2 (β)]dβ). a W(β) 23. Las condiciones del ejercicio 22 implican que: y 1 + py 1 + qy 1 = 0 y y 2 + py 2 + qy 2 = 0. Si multiplicamos la ecuación (C)por y 2 y la ecuación (D) por y 1 restando luego las dos ecuaciones así obtenidas tenemos, (y 2 y 1 y 1 y 2 ) + p(y 2 y 1 y 1 y 2 ) = 0. Con base en esta ecuación demostramos que el wronskiano de y 1 y y 2 puede escribirse como: W(x) = c exp ( p dx). (E) donde c es constante. La ecuación (E)se conoce como la fórmula de Abel. 24. Utilice la fórmula de Abel para demostrar que si W(x 0 ) = 0 para alguna x 0 en el intervalo a < x < b, entonces W(x) = 0 para toda a < x < b. 25. Resuelva el problema de valor inicial: y + y = f(x); cuando x = x 0, y = y 0, y = y 0. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes y no homogéneas. Resuelva las ecuaciones en los ejercicios 1 al (D 2 1)y = 2e x (1 + e 2x ) (D 2 1)y = (1 e 2x ) (D 2 + 1)y = sec 2 x tan x. 4. Resuelva el ejercicio 3 por otro método. 5. (D 2 + 1)y = cot x. 6. (D 2 + 1)y = sec x. 7. Resuelva el ejercicio 6 por otro método. 8. (D 2 1)y = 2 1+e x. 9. (D 2 1)y = 2 e x e x. 10. (D 2 3D + 2)y = sin e x. 11. (D 2 1) = 1 e 2x y + y = sec 3 x tan x. 13. y + 4y + 3y = sin e x. 14. y + y = csc 3 x cot x. 15. (D 2 1)y = e 2x (3 tan e x + e x sec 2 e x ). 16. (D 3 + D)y = sec 2 x. Sugerencia: Primero integre una vez. 17. y + y = sec x tan 2 x. Verifique su respuesta. Referencia: Ecuaciones Diferenciales Rainville & Bedient