MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 17

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1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 17

2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 17 Ecuaciones lineales MATE 4009 Introducción En esta sección se hará una introducción a un problema de valor inicial, ED homogéneas y no homogéneas. Además funciones linealmente independientes,y las soluciones de EDH y EDNH. Problema de valor inicial Una ED de orden n de valor inicial es de la forma: Resolver: (1) Sujeto a: Ejemplos 1 Halle un miembro de la familia que es solución al PVI y = c 1 x + 2 ln x, (0, ), x 2 y xy + y = 0, y (1) = 3, y (1) = 1

3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 17 Theorem Existencia y unicidad Sean a n (x), a n 1 (x), + + a 1 (x), a 0 (x) y g (x) funciones continuas en un intervalo I y sea a n (x) = 0 para todo x en I. Si x = x 0 es cualquier punto en el intervalo I, entonces una solución al PVI (1) existe en el intervalo y es única. 2 Halle un intervalo con centro en x = 0 para el cual el PVI tiene solución única y + (tan x) y = e x, y (0) = 1, y (0) = 0

4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 17 MATE 4009 Problema de valor inicial Es una ED de orden dos o mayor en el cual la variable dependiente o sus derivadas pueden estar evaluadas en diferentes puntos y es de la forma: Resolver: a 2 (x) y + a 1 (x) y + a 0 (x) y = g (x) (2) Sujeto a: y (a) = y 0, y (b) = y 1 Nota y (a) = y 0, y (b) = y 1 son llamadas las condiciones de frontera. 3 Determine si un miembro de la familia de soluciones satisface las condiciones de frontera. y = c 1 x 2 + c 2 x 4 + 3, x 2 y 5xy + 8y = 24, 1 y ( 1) = 0, y (1) = 4 2 y (1) = 3, y (2) = 15

5 Ecuaciones homogéneas Una EDL de orden n homogénea es de la forma: 4 La siguiente es una EDLH Notaciones En cálculo se consideran las siguientes notaciones: Operador diferencial El símbolo D es llamado el operador diferencial y transforma una función ( ) diferenciable en otra ( función. ) Si y = f (x) f (x) = Df, d dy dx dx = D 2 d f, en general d n 1 y dx = D n f, donde f es dx n 1 una función lo suficientemente diferenciable. 5 D ( tan 1 x ) = En general una ED de orden n, se define: L = Por ejemplo: L (af (x) + bg (x)) = al (f (x)) + bl (g (x)), donde a y b son constantes. En general una EDLH se representa por: L (y) = 0 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 17 (3)

6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 17 Theorem Principio superposición EH Sean y 1, y 2,, y k soluciones de la ED (6) en un intervalo I. Entonces la combinación lineal y = c 1 y 1 + c 2 y 2, + + c k y k donde c 1, c 2,, c k son constantes arbitrarias, es también una solución en I. Nota La constante y = c 1 y 1 (x) de una solución y 1 (x) de una EDLH también es solución. Además, toda EDLH tiene como solución trivial a y = 0 6 Verifique que las funciones dadas son soluciones de la ED dada x 2 y + xy + y = 0; cos (ln x), sin (ln x), (0, )

7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 17 Definición Un conjunto de funciones f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) se dice que es linealmente independiente en un intervalo I si existen contantes c 1, c 2,, c n no nulas, tal que: para todo x en el intervalo I. Si el conjunto de soluciones no es LI, se dice que es linealmente dependiente. Wroskiano Suponga que cada una de las funciones f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) posee al menos n 1 derivadas. El determinante: f 1 f 2 f n f 1 f 2 f n W (f 1, f 2,, f n ) =... f (n 1) 1 f (n 1) 2 f n (n 1) donde las primas denotan derivadas es llamado el Wroskiano de las funciones.

8 Theorem Sean y 1, y 2,, y n n soluciones de la ED (3) de orden n en el intervalo I. Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si W (y 1, y 2,, y n ) = 0 para todo x en el intervalo. Conjunto fundamental de soluciones Cualquier conjunto y 1, y 2,, y n de n soluciones linealmente independiente de la EDLH (3) de orden n en el intervalo I se dice que es un conjunto fundamenta de soluciones en el intervalo. Theorem Existe un conjunto fundamental de soluciones para la EDLH (2) de orden n en un intervalo I. Theorem Sea y 1, y 2,, y n un conjunto fundamental de soluciones de la EDLH (2) en el intervalo I. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo I es: y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 17

9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 17 7 Determine si las funciones f 1 (x) = cos 2x, f 2 (x) = 1, f 3 (x) = cos 2 x son LI en el intervalo (, )

10 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 17 8 Verifique que las funciones y 1 (x) = e x cos 2x, y 2 (x) = e x sin 2x son soluciones de la ED y 2y + 5y = 0 en el intervalo (, ) y luego forme la solución general.

11 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 17 Ecuaciones no homogéneas Una EDL no homogénea es de la forma: a n (x) y (n) + a n 1 (x) y (n 1) + + a 1 (x) y + a 0 (x) y = g (x) (4) 9 La siguiente es una EDLNH Nota Cualquier función y p sin parametros se dice que es una solución particular o integral de la ecuación. Si y 1, y 2,, y n son soluciones de (3) en el intervalo I y y p es cualquier solución particular de (4), entonces la combinación lineal: y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) + y p es también solución de la EDLNH (4).

12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 17 Theorem Sea y p cualquier solución particular de la EDLNH (4) de orden n en el intervalo I y sean y 1, y 2,, y n soluciones de (3) en I. Entonces la solución general en el intervalo es: y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) + y p Función complementaria La solución que se presenta en el teorema anterior se puede escribir como la suma de dos funciones: y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) + y p = y c (x) + y p (x). La combinación lineal y c (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x) es llamada la función complementaria de (4). En otras palabras para resolver una EDLNH, primero se halla la función complementaria y luego la solución particular.

13 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 17 Theorem Sean y p1, y p2,, y pk k soluciones particulares de la EDLNH (4) de orden n sobre un intervalo I, que corresponden a k funciones distintas g 1, g 2,, g k. Esto es, suponga y pi denota una solución particular de la ED: a n (x) y (n) + a n 1 (x) y (n 1) + + a 1 (x) y + a 0 (x) y = g i (x), donde i = 1, 2,, k. Entonces: y p = y p1 (x) + y p2 (x) + + y pk (x) es una solución particular de: a n (x) y (n) + a n 1 (x) y (n 1) + + a 1 (x) y + a 0 (x) y = g 1 (x) + g 2 (x) + + g p (x)

14 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / Verifique que la función y = c 1 cos x + c 2 sin x + x sin x + (cos x) ln (cos x) en ( π/2, π/2) es solución de la ED y + y = sec x

15 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / Ex 35 pág 129

16 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 17

17 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / 17