Cuadratura gaussiana. Análisis Numérico Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias

Transcripción

1 Análisis Numérico Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias

2 Contenido 1 2

3 Introducción Las fórmulas de Newton-Cotes se dedujeron integrando los polinomios de interpolación. El término de error en el polinomio de interpolación de grado n contiene la (n + 1)-ésima derivada. En todas las fórmulas de Newton-Cotes se emplean valores de la función en puntos equidistantes. Esta práctica es adecuada cuando las fórmulas se combinan para formar las reglas compuestas vistas anteriormente; pero esta restricción puede afectar considerablemente la exactitud de la aproximación.

4 La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en forma igualmente espaciada. Se escogen los nodos x 1, x 2,..., x n en el intervalo [a, b] y los coeficientes c 1, c 2,..., c n para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación b a f (x)dx n c i f (x i ). i=1 Los coeficientes(pesos) c 1, c 2,..., c n son arbitrarios y los nodos(puntos Gauss) x 1, x 2,..., x n están restringidos sólo para la especificación de que se encuentren en [a, b], el intervalo de integración.

5 Esto nos da 2n parámetros de donde elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, la clase de polinomios de grado máximo 2n 1 también contiene 2n parámetros. Ésta es la clase de polinomios más amplia para la cual es razonable esperar que la fórmula sea exacta. Se mostrará cómo seleccionar los coeficientes y los nodos cuando n = 2 y cuando el intervalo de integración es [, 1]. Después se explicara el caso más general de una elección arbitaria de puntos y pesos, indicando cómo modificar el método cuando se integra en un intervalo arbitrario.

6 con n = 2 puntos Suponga que queremos determinar c 1, c 2, x 1, x 2 de modo que la fórmula de integración f (x)dx c 1 f (x 1 ) + c 2 f (x 2 ) dé el resultado exacto siempre que f (x) sea un polinomio de grado 2(2) 1 = 3 o menor, es decir, cuando f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3. Dado que f (x)dx = a 0 1dx + a 1 xdx + a 2 x 2 dx + a 3 x 3 dx, esto equivale a demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f (x) es 1, x, x 2, x 3.

7 Necesitamos c 1, c 2, x 1, y x 2, de modo que (a) c c 2 1 = (c) c 1 x c 2 x 2 2 = 1dx = 2, (b) c 1 x 1 + c 2 x 2 = x 2 dx = 2 3, (d) c 1x c 2 x 3 2 = xdx = 0, (1) x 3 dx = 0. Las 4 incognitas pueden ser determinadas comenzando con (1b) Ahora sustituyendo en (1d) tenemos c 2 = c 1x 1 x 2 (2) c 1 x 3 1 c 1 x 1 x 2 2 = 0 x 2 1 = x 2 2, pero x 1 no es igual a x 2, por lo tanto tenemos que x 1 = x 2. (3)

8 Ahora sustituyendo x 1 en (2), tenemos que c 1 = c 2 y usando (1a) Ahora sustituyendo (3) y (4) en (1c) tenemos c 1 = c 2 = 1. (4) x x 2 2 = 2 3 x 1 = 3. Así, tenemos que c 1 = 1, c 2 = 1, x 1 = 3, y x 2 = 1 3. Que es la fórmula de aproximación para 2 puntos. ( ) ( ) 1 f (x)dx f + f 3. 3

9 n puntos Coeficientes C i Puntos Gauss x i 2 C 1 = 1 C 2 = 1 x 1 = x 2 = C 1 = C 2 = C 3 = x 1 = x 2 = 0 x 3 = C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = x 1 = x 2 = x 3 =

10 en intervalos arbitrarios Una integral b a f (x)dx en un intervalo arbitrario [a, b] se puede transformar en otra integral f (t)dt en [, 1] usando el cambio de variable t = 2x a b b a x = 1 [(b a)t + a + b]. 2 Donde el diferencial de x es dx = 1 2 (b a)dt. Esto nos permite aplicar la cuadratura gaussiana a cualquier intervalo [a, b], ya que b a f (x)dx = f ( ) (b a)t + (b + a) (b a) dt. 2 2

11 Ejercicio Evalue 3 0 e x2 dx. Usando n = 3 puntos. Encuentre el error porcentual con el valor anaĺıtico. El valor de la integral resolviendo anaĺıticamente es

12 Burden, R; Faires, D. Análisis numérico. Cengage Learning. Novena edición. 2011