04 - Elementos de finitos de flexión de vigas. Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

Transcripción

1 04 - Elementos de finitos de flexión de vigas Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales 1

2 Contenido Viga de Euler-Bernoulli Viga de Timoshenko Problema del bloqueo de por cortante (shear locking) Integración reducida Imposición del campo de deformación por cortante 2

3 Teoría de Euler-Bernoulli Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga. El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero). Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación. 3

4 4

5 Campo de desplazamientos De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como: 5

6 Campo de deformaciones 6

7 Campo de esfuerzos Al reemplazar en la ley de Hooke usando un coeficiente de Poisson igual cero se obtiene: siendo los otros esfuerzos nulos.

8 Momento flector Observe que aquí el momento negativo produce tracción en la fibra superior 8

9 Momento flector 9

10 Momento de inercia Centro de gravedad, área y momento de inercia al rededor del eje y para algunas secciones transversales de viga 10

11 Sentidos positivos de la carga 11

12 PTV para vigas

13 13

14 + + 14

15 Ecuaciones diferenciales de la viga de Euler-Bernoulli + -q q es positiva hacia arriba + Aquí se hace la sumatoria de momentos 15

16 Solución mediante el comando bvp5c de MATLAB 16

17 Solución mediante el comando bvp5c de MATLAB (para E, I constantes) Se obtiene por lo tanto el sistema de ecuaciones: La solución de este sistema con bpv5c brindará: 17

18 Condiciones de apoyo Q Q 18

19 EJEMPLO 1 19

20 20

21 EJEMPLO 2 21

22 22

23 23

24 Interpolación polinómica de Hermite Polinomio interpolador de Lagrange 24

25 Interpolación polinómica de Hermite 25

26 26

27 Elemento finito hermítico de dos nodos 27

28 28

29 29

30 O sea: 30

31 31

32 Las funciones de forma pertenecen a la familia de los llamados polinomios de Hermite 32

33 Curvatura en el punto de coordenada ξ 33

34 34

35 + + Esta matriz coincide con aquella obtenida por los métodos vistos en Estructuras III 35

36 + positivo hacia arriba

37 Cálculo de momento flector y fuerza cortante Observe que los momentos flectores varían de forma lineal y las fuerzas cortantes son constantes dentro del elemento 37

38 positivo hacia arriba + 38

39 EJEMPLO 39

40 Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones 40 flectores

41 Repaso de mínimos cuadrados 41

42 Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones 42

43 Propiedad de las raíces del polinomio de Legendre Suponga que tenemos un polinomio de grado n y otro de grado n-1 obtenido por medio de un ajuste por mínimos cuadrados del anterior. Ambos polinomios se intersectan en la ubicación de las raíces del polinomio de Legendre de orden n 43

44 44

45 Cuadraturas de Gauss Legendre 45

46 46

47 47

48 48

49 Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones 49

50 Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones flectores 50

51 La viga de Timoshenko

52 La viga de Timoshenko La viga de Timoshenko aproxima mejor la deformación real de la sección transversal de vigas de gran canto que la teoría de EulerBernoulli. A medida que la relación longitud/altura disminuye, las secciones transversales dejan de conservarse planas después de la deformación. 52

53 La viga de Timoshenko Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga. El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero en cuanto a la deformación lateral; G puede ser diferente de E/2). Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas pero no necesariamente ortogonales a dicho eje después de la deformación. 53

54 La hipótesis de Timoshenko supone tomar un giro medio de la sección, de manera que a efectos prácticos pueda seguir 54 considerándose plana.

55 55

56 Campo de desplazamientos De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como: 56

57 Campo de deformaciones Por consiguiente la teoría de Timoshenko considera el57 efecto de la deformación angular

58 Campo de esfuerzos Al reemplazar en la ley de Hooke usando un coeficiente de Poisson igual cero en λ pero uno diferente de cero en G se obtiene: siendo los otros esfuerzos nulos.

59 Fuerza cortante y momento flector Un momento negativo produce tracción en la fibra superior - - -

60 Fuerza cortante y momento flector

61 - -

62

63 Principio de los trabajos virtuales + +

64 La energía virtual interna se puede expresar como: - Observe que solo se están utilizando las derivadas primeras de la flecha y el giro, lo que permite la utilización de elementos finitos de clase C0

65 Elementos finitos de dos nodos para la flexión de vigas de Timoshenko

66

67

68

69 +

70 +

71

72 Integración exacta de las matrices de rigidez

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74

75

76 Integración con cuadraturas de GaussLegendre y singularidad de la matriz K

77 Singularidad de la matriz de rigidez Cuando K es singular se tiene que j-kp>0. Esta es una condición necesaria pero no suficiente. Si j-kp>0, muy probablemente K es singular Si j-kp 0, K es invertible El criterio j-kp>0 es aplicable a cualquier tipo de elemento finito y también es aplicable a la estructura en su totalidad. Es aplicable individualmente a la matriz K, a la matriz Kf o a la matriz Kc.

78 Puntos de integración de Gauss-Legendre Ejemplo Num #gld/nodo nodos En este caso en particular se debe usar la estrategia de integración d #gdl restringidos

79 29 nodos j = 29x2 3 = 55 gdl libres k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy) p = 6 (puntos de integración) j kp = 55 3x6 = 27 > 0 (Kdd es singular) 29 nodos j = 29x2 3 = 55 gdl libres k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy) p = 24 (puntos de integración) j kp = 55 3x24 = -17 > 0 (Kdd es invertible)

80 La técnica de integración reducida

81 Integración reducida de las matrices de rigidez de cortante Integración exacta con 1 punto de GL Integración reducida (1p GL) Integración reducida con un punto de GL Integración exacta (2p GL) NO USAR

82 EJEMPLO K exacta

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90 Kf Kc

91 j=2 Viga modelada con un solo elemento finito de Timoshenko lineal Kf Kc K Integración reducida p=1 j-kp 2 1x1 = 1 2 1x1 = 1 2 2x1 = 0 Integración exacta p=2 j-kp 2 1x2 = 0 2 1x2 = 0 2 2x2 = -2

92 j=1 Viga modelada con un solo elemento finito de Timoshenko lineal Kf Kc K Integración reducida p=1 j-kp 1 1x1 = 0 1 1x1 = 0 1 2x1 = -1 Integración exacta p=2 j-kp 1 1x2 = x2 = x2 = -3

93 Evaluación de los momentos flectores y las fuerzas cortantes para el elemento de Timoshenko de dos nodos

94 Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones 94

95 Ejemplo EulerBernoulli vs Timoshenko

96 Integración reducida Kc integrada con GL de orden 1 L=6m, h=0.01m Shear locking Integración exacta Kc integrada con GL de orden 2 L=6m, h=0.01m

97 Integración reducida Kc integrada con GL de orden 1 L=6m, h=0.4m Integración exacta Kc integrada con GL de orden 2 L=6m, h=0.4m

98 Integración reducida Kc integrada con GL de orden 1 L=6m, h=2.0m Integración exacta Kc integrada con GL de orden 2 L=6m, h=2.0m

99 Elemento de viga de Timoshenko cuadrático

100 Funciones de forma e incógnitas nodales del elemento de Timoshenko de tres nodos

101 Cálculo de la curvatura

102 Cálculo de la deformación por cortante

103

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105 Matrices de rigidez para el elemento de viga de Timoshenko de tres nodos obtenidas con una cuadratura de Gauss-Legendre de dos puntos Con Kc, tres puntos produce la matriz exacta, pero sufre esta de shear locking

106 Evaluación de los momentos flectores y las fuerzas cortantes para el elemento de Timoshenko de tres nodos

107 Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones 107

108 Alternativas para desarrollar elementos de viga de Timoshenko sin bloqueo por cortante Integración reducida Uso de interpolaciones para los desplazamientos verticales y para la rotación de diferentes grados Interpolación acoplada Asumir el campo de deformaciones angulares γxz

109 Uso de interpolaciones para los desplazamientos verticales y para la rotación de diferentes grados Ejemplos: grado w = 1/ grado t = 0 (const) grado w = 2/ grado t = 1 grado w = 3/ grado t = 2 En el libro de Oñate se discuten algunos problemas de este elemento con respecto a la convergencia de los esfuerzos cortantes. Toca programarlo para verificar que es lo que pasa.

110 Elemento con w cúbico y Ɵ cuadrático

111 Interpolación acoplada

112 Asumiendo el campo de deformaciones angulares γxz