UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Departamento de Matemáticas. Matemáticas. Manuel Fernández García-Hierro Badajoz, Febrero 2008

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2 UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Departamento de Matemáticas Matemáticas Manuel Fernández García-Hierro Badajoz, Febrero 2008

3 Capítulo X Integración numérica Introducción La integral definida I(f) = b a f(x) dx se define como el ĺımite de las sumas de Riemann. Bajo ciertas hipótesis sobre f(x) (por ejemplo, f(x) continua), se prueba

4 que I(f) = F (b) F (a) donde F es una primitiva de f, es decir, es una función tal que F (x) = f(x). Muchas integrales pueden ser calculadas usando esta fórmula. Sin embargo, la mayor parte de las integrales no pueden ser evaluadas mediante el procedimiento anterior, porque la primitiva, F de f, no se puede expresar en términos de funciones elementales (pólinómicas, exponenciales, trigonométricas, sus inversas, composiciones de las funciones anteriores,... ). Ejemplos de este tipo de integrales son 1 0 e x2 dx, π 0 x π sen( x) dx.

5 Así que se necesitan otros métodos para calcular estas integrales. En la primera sección del capítulo, se definen dos de los métodos más populares de cálculo aproximado de I(f): la regla de los trapecios y la de Simpson. En la segunda sección se analiza el error que se comete al usar dichos métodos. La regla del trapecio y de Simpson La regla del trapecio La idea central para calcular

6 aproximadamente I(f) = b a f(x) dx es reemplazar f(x) por una función que aproxima a f(x) y cuya integral sabemos calcular. En primer lugar vamos a usar el polinomio lineal de interpolación. De este modo aproximamos f(x) por P 1 (x) = (b x)f(a) + (x a)f(b) b a

7 que interpola a f(x) en a y b. Entonces b T 1 (f) = I(P 1 ) = P 1 (x) dx a ( ) f(a) + f(b) = (b a). 2 Si f(x) es parecida a un función lineal en [a, b], T 1 (f) debería ser una buena aproximación a I(f). T 1 (f) es el área del trapecio sombreado que se muestra en la figura siguiente.

8

9 Ejemplo 1. Aproximar la integral I = 1 0 dx 1 + x. El valor verdadero es I = ln 2 = Usando la fórmula del trapecio, se obtiene T 1 = 1 ( ) = = El error es I T 1. = Para mejorar la aproximación T 1 (f) cuando f(x) no es parecida

10 a una función lineal en [a, b], dividimos el intervalo [a, b] en subintervalos más pequeños a los que le aplicamos la regla del trapecio. Si los subintervalos son suficientemente pequeños, f(x) debe estar próxima a una función lineal en cada uno de ellos. Ver la figura segunda. Ejemplo 2. del trapecio Calcular aproximadamente mediante la fórmula I = 1 0 dx 1 + x

11 usando T 1 (f) sobre dos subintervalos de igual longitud. I = I. = 1 2 1/2 0 ( dx 1 + x + ) 1 1/2 dx 1 + x ) ( T 2 = = I T 2. = Se observa que I T 2 es aproximadamente la cuarta parte de I T 1

12 A continuación se deduce una fórmula general que usa n subintervalos de igual longitud. Sea h = b a n la longitud de cada subintervalo. subintervalos son Los extremos de los x j = a + jh, j = 0,..., n

13 Entonces I(f) = = b a x1 + f(x) dx = x 0 f(x) dx + xn x n 1 f(x) dx. xn x 0 x2 x 1 f(x) dx f(x) dx Se aproxima cada integral mediante la regla del trapecio y se tiene en cuenta que cada subintervalo [x j 1, x j ] tiene longitud

14 h, para obtener Y finalmente I(f). = h f(x 0) + f(x 1 ) 2 + h f(x 2) + f(x 3 ) 2 + h f(x 1) + f(x 2 ) h f(x n 1) + f(x n ). 2 T n (f) = ( 1 h 2 f(x 0) + f(x 1 ) + + f(x n 1 ) + 1 ) 2 f(x n) Esta fórmula se llama regla de integración numérica del

15 trapecio. El subíndice n indica el número de subintervalos que se utilizan. Los puntos x 0,..., x n se llaman nodos de integración numérica. Antes de presentar algunos ejemplos de T n (f) discutiremos sobre la elección de n. Usualmente una sucesión creciente de valores de n hará que T n (f) se aproxime cada vez más a I(f). Si elegimos la sucesión T 2 (f), T 4 (f), T 8 (f),... resulta que el cálculo de T 2n (f) utiliza todos los valores de f(x) del cómputo anterior. Para ilustrar la manera en la que los valores son reutilizados cuando se duplica n, consideremos

16 el cálculo de T 2 (f) y T 4 (f). ( f(x0 ) T 2 (f) = h 2 con También ( f(x0 ) T 4 (f) = h 2 + f(x 1 ) + f(x ) 2) 2 h = b a 2, x 0 = a x 1 = a + b 2 x 2 = b. + f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) + f(x ) 4) 2

17 con h = b a 4 x 1 = 3a + b 4 x 3 = a + 3b 4 x 0 = a x 2 = a + b 2 x 4 = b. En la fórmula para T 4 (f), sólamente f(x 1 ) y f(x 3 ) necesitan ser calculados, porque el resto de valores ya es conocido a partir del cálculo de T 2 (f). Por esta razón en todos los ejemplos que siguen se duplica n.

18 Ejemplo 3. I (1) = I (2) = I (3) = Calculamos las integrales π 0 e x2 dx. = dx 1 + x 2 = tan 1 (4) = dx 2 + cos x = 2π. = Los resultados se muestran en la tabla que sigue. Solo se dan los errores I(f) T n (f), puesto que es la magnitud que interesa conocer si queremos determinar la velocidad de convergencia de T n (f) a I(f). La columna con la etiqueta Ratio da la razón

19 entre errores sucesivos, es decir, el factor de decrecimiento del error cuando n se duplica. De la tabla se observa que el error al calcular I (1) e I (2) decrece con un factor de 4 cuando n se duplica. En el tercer ejemplo

20 se observa que I (3) decrece mucho más rápidamente. La regla de Simpson Con el fin de mejorar el error cometido al calcular T 1 (f) en lugar de I(f), se utiliza el polinomio cuadrático de interpolación para aproximar f(x) en el intervalo [a, b]. Sea P 2 (f) el polinomio cuadrático que interpola a f(x) en

21 a, c = (a + b)/2 y b. Se obtiene I(f). = = b a b + a P 2 (x) dx ( (x c)(x b) (x a)(x b) f(a) + (a c)(a b) (c a)(c b) f(c) (x a)(x c) (b a)(b c) f(b)) dx Esta integral se puede calcular directamente, pero es más fácil llamar h = b a 2

22 y hacer el cambio de variable u = x a en la integral. Entonces b a (x c)(x b) (a c)(a b) dx = 1 2h 2 = 1 2h 2 = 1 2h 2 a+2h a 2h 0 [ u 3 (x c)(x b) dx (u h)(u 2h) du u2 h + 2h 2 u ] 2h 0 = h 3.

23 De donde se obtiene S 2 (f) = h 3 ( f(a) + 4f ( ) a + b 2 ) + f(b) El método se ilustra en la figura siguiente

24

25 Ejemplo 4. Utilice la integral I = 1 0 dx 1 + x para calcular la aproximación S 2. En este caso h = (b a)/2 = 1 2, y S 2 = 1/2 3 = ( ( ) 2 3. = )

26 El error es I S 2 = ln 2 S 2. = Para comparar este error con el error en la regla de los trapecios, se debe usar T 2, puesto que el número de evaluaciones sobre f(x) es el mismo tanto para S 2 como para T 2. Puesto que I T 2. = el error usando Simpson es aproximadamente 12 veces menor que el error cometido usando la regla de los trapecios. La regla de Simpson S 2 (f) será una aproximación precisa de I(f) si f(x) es parecida a una función cuadrática en [a, b].

27 Cuando no es así, procedemos de la misma forma que en la regla de los trapecios. Sea n un entero positivo par, h = (b a)/n y definimos los puntos de evaluación para f(x) por x j = a + jh, j = 0, 1,..., n. Dividimos [a, b] en los subintervalos [x 0, x 2 ], [x 2, x 4 ],... [x 2n 2, x 2n ]. Nótese que cada uno de ellos contiene tres puntos de evaluación

28 para f(x). Entonces I(f) = = b a x2 f(x) dx = x 0 f(x) dx x2n x2n x 0 x4 x 2 x 2n 2 f(x) dx. f(x) dx f(x) dx

29 Aproximando cada integral por Simpson I(f). = h 3 (f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )) + h 3 (f(x 2) + 4f(x 3 ) + f(x 4 )) + + h 3 (f(x n 2) + 4f(x n 1 ) + f(x n )).

30 Simplificando S n (f) = h 3 (f(x 0) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + 2f(x 4 ) + + 2f(x n 2 + 4f(x n 1 ) + f(x n ))). A la fórmula anterior la llamaremos regla de Simpson. El índice n es el número de subdivisiones utilizadas para definir los nodos de integración x 0, x 1,..., x n.

31 Ejemplo 5. Calculamos las integrales I (1) = I (2) = I (3) = π 0 e x2 dx. = dx 1 + x 2 = tan 1 (4) = dx 2 + cos x = 2π. = Los resultados usando la regla de Simpson se muestran en la tabla siguiente

32 Se observa que para las integrales I (1) e I (2) el factor de disminución del error es de aproximadamente 16, mientras que I (3) converge mucho más rápidamente. Fórmulas del error

33 Fórmula del error para la regla del trapecio En todo este apartado supondremos que las funciones son dos veces derivables con continuidad en su intervalo de definición. Se cumple que En T (f) := I(f) T n (f) = h2 (b a) f (c n ), 12 donde h = (b a)/n y c n [a, b]. la fórmula anterior se utiliza para acotar el error E T n (f), sustituyendo f (c n ) por su mayor valor posible en el intervalo [a, b]. Así se hará en el ejemplo que sigue. Nótese también que

34 la fórmula del error es consistente con los errores observados para las integrales I (1) e I (2) en la Tabla 1. Cuando n se duplica, h se divide por 2 y h 2 se divide por 4. Este es el factor de decrecimiento para el error trapezoidal observado en la Tabla 1. Ejemplo 6. Sea I = 1 0 dx 1 + x = ln 2. Aquí f(x) = x, f (x) = 2 (1 + x 3 ).

35 Sustituyendo en la fórmula del error trapezoidal, se obtiene E T n (f) = h2 12 f (c n ), 0 c n 1, h = 1 n. Esta fórmula no puede ser calculada de forma exacta, porque c n es desconocido. Pero podemos acotar el error de la siguiente manera: Puesto que max 0 x 1 2 (1 + x) 3 = 2, se tiene En T (f) h2 h2 (2) = 12 6.

36 Para n = 1 y n = 2, se obtiene E T 1 (f) 1 6. = 0.167, E T 2 (f) (1/2)2 6 Comparando estas cotas con los errores verdaderos I T 1. = , I T2. = , se observa que son de dos a tres veces mayores.. = Una estimación del error de la fórmula del trapecio La demostración de la fórmula del error En T (f) := I(f) T n (f) = h2 (b a) f (c n ), 12

37 se fundamenta en α+h α ( ) f(α) + f(α + h) f(x) dx h 2 (1) = h3 12 f (c), (2) donde c [α, α + h]. Supuesta probada esta fórmula,

38 demostraremos la fórmula del error. En T (f) = = = b a xn x 0 x1 + x 0 x2 x 1 f(x) dx T n (f) f(x) dx T n (f) ( ) f(x0 ) + f(x 1 ) f(x) dx h 2 ( ) f(x1 ) + f(x 2 ) f(x) dx h xn ( ) f(xn 1 ) + f(x n ) + f(x) dx h x n 1 2

39 Aplicando 1 a cada uno de los sumandos anteriores, se obtiene E T n (f) = h3 12 f (t 1 ) h3 12 f (t 2 ) h3 12 f (t n ) = h2 12 (hf (t 1 ) + hf (t 2 ) + + hf (t n )) = h2 12 (b a)f (t 1 ) + f (t 2 ) + + f (t n ) n = h2 12 (b a)f (c n ) Las constantes desconocidas t 1,..., t n están localizadas en los

40 intervalos respectivamente y c n [a, b]. [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ] La última igualdad es consecuencia del Teorema de los valores intermedios para funciones continuas, cuyo enunciado presentamos a continuación. Teorema. Sean Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b]. m = min x [a,b] f(x), M = max x [a,b] f(x). Entonces para cada valor y 0 que cumple m y 0 M, existe un valor c [a, b] tal que f(c) = y 0.

41 Ahora todo lo que hay que hacer es aplicar este resultado a la función f (x) que suponemos continua en [a, b]. En efecto, m = min x [a,b] f (x), M = max x [a,b] f (x). Entonces m f (t 1 ) + f (t 2 ) + + f (t n ) n M.

42 Por tanto existe c n [a, b] tal que f (c n ) = f (t 1 ) + f (t 2 ) + + f (t n ). n Para obtener una estimación del error trapezoidal, obsérvese que hf (t 1 ) + hf (t 2 ) + + hf (t n ) es una suma de Riemann para la integral b a f (x) dx = f (b) f (a) y que cuando n estas sumas de Riemann convergen a la

43 integral. Entonces E T n (f) = h2 12 (hf (t 1 ) + hf (t 2 ) + + hf (t n )). = h2 12 b a f (x) dx = h2 12 (f (b) f (a)) = ẼT n (f). Esta estimación del error se dice asintótica ya que mejora conforme n aumenta. Es tan fácil de calcular como lo sea f.

44 Ejemplo 7. Sea I = 1 0 dx 1 + x = ln 2. Entonces f (x) = 1/(1 + x) 2, h = 1/n y Ẽ T n (f) = h2 12 Para n = 1 y n = 2 se tiene ( 1 (1 + 1) 2 1 ) (1 + 0) 2 = h2 16. Ẽ T 1 (f) = 1 16 = , ẼT 2 (f) = ,

45 que son bastante próximos a los errores I T 1. = , I T2. = La estimación ẼT n (f) tiene varias ventajas sobre En T (f). En primer lugar confirma que cuando n se duplica, el error disminuye en un factor de 4, supuesto que f (b) f (a) 0. Esto coincide con los resultados para I (1) e I (2) de la Tabla 1. En segundo lugar, se observa que la convergencia de T n (f) es más rápida cuando f (b) f (a) = 0. Esto explica la mayor velocidad de convergencia para I (3) en la Tabla 1. Finalmente, la estimación ẼT n (f) conduce a una fórmula de integración más

46 precisa. Para ello basta tener en cuenta: I(f) T n (f). = h2 12 (f (b) f (a)) I(f). = T n (f) h2 12 (f (b) f (a)) = CT n (f). Esta última fórmula se llama regla del trapecio corregida. Fórmula del error para la regla de Simpson El tipo de análisis utilizado en la sección anterior también sirve para calcular el error y el error asintótico al usar la regla de Simpson. Supóngase que f(x) es cuatro veces derivable con

47 continuidad en [a, b]. Entonces En(f) S = I(f) S n (f) = h4 (b a) f (4) (c n ), 180 donde c n [a, b] y h = (b a)/n. Además, este error puede estimarse con la fórmula asintótica del error Ẽ S n(f). = h4 180 (f (b) f (a)). Nótese que la primera fórmula dice que la regla de Simpson es exacta para todas las f(x) que son polinomios de grado 3, mientras que la interpolación cuadrática en la que está basada

48 la regla de Simpson es exacta solo cuando f(x) es un polinomio de grado 2. este hecho, junto a la alta potencia de h en la fórmula del error y la sencillez del método, hacen que la fórmula de Simpson sea el método más popular de integración numérica. Al igual que se hizo con la regla del trapecio, se define la regla de Simpson corregida de la manera siguiente. CS n (f) = S n (f) h4 180 (f (b) f (a)). REFERENCIAS

49 Kendall Atkinson, Elementary Numerical Analysis, Second Edition, Jhon Wiley & Sons, Inc. New York, 1993 A. Cordero Barbero, J.L. Hueso Pagoaga, E. Martínez Molada, J.R. Torregrosa Sánchez, Problemas resueltos de Métodos Numéricos, Edit. Thomson, Madrid, 2006, ISBN

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