Simulación Numérica de Yacimientos

Transcripción

1 Simulación Numérica de Yacimientos Dr. Fernando Rodríguez de la Garza Tel: , al 19 Capítulo 3. Diferencias Finitas 1

2 3.1 Diferencias Finitas Considerar que para cada en el intervalo existen la función y hasta su derivada, o sea: Entonces, la expansión de al rededor del punto contenido en el intervalo será: ξ 3.1 donde, ξ θ θ Diferencias Finitas Nótese que la expansión dada por la Ec. 3.1 contiene términos solamente y aun es exacta. Reemplazamos la acostumbrada serie infinita de Taylor por una serie finita. Esto es posible ya que como se puede apreciar, el término está evaluado no en el punto sino en el punto ξ que se desconoce pero que se sabe está contenido en el intervalo La Ec. 3.1 sirve de base en la aproximación de las derivadas que constituyen las ecuaciones de flujo de fluidos en medios porosos que nos ocupan, como se verá a continuación.

3 3. Aproximaciones de la primera derivada Diferencias Progresivas. Considerar en la Ec. 3.1: y. Esto es: De esta ecuación, se puede obtener la siguiente expresión para la aproximación de la primera derivada: ξ 3. ξ Diferencias Progresivas. Nótese que no existe manera de evaluar el último término de la Ec. 3.3 no se tiene información de la segunda derivada, y del punto donde debe evaluarse. Este término se elimina y constituye lo que se denomina error local de truncamiento de la aproximación. Su análisis es importante, pues da información sobre el orden de la Aproximación, que está definido por la potencia de término que Lo multiplica. 3

4 Diferencias Progresivas. En este caso la aproximación de mediante diferencias progresivas es de primer orden, o sea O. Es común reescribir la Ec. 3.3 como: Ο 3.4 Siendo Ο el Error Local de Truncamiento, definido como: Ο ξ Aproximaciones a la Primera Derivada. 3.. Diferencias Regresivas. Considerar en 3.1: y esto es: De aquí que: Ο ξ La aproximación de mediante diferencias regresivas es también de primer orden. Elerror local de truncamiento de la aproximación es: Ο ξ 3.8 4

5 3. Aproximaciones a la Primera Derivada Diferencias Centrales. Considerar en 3.1: y escribir en y : y ξ ξ Restando las Ecs.3.9 y 3.10, se tiene: ξ ξ Diferencias Centrales La Ec lleva a la siguiente aproximación de la primera derivada mediante diferencias centrales: Ο! con un error local de truncamiento de segundo orden Ο! ξ ξ! es decir: Comparando el error local de truncamiento de la aproximación anterior,! con los obtenidos previamente para diferencias progresivas y regresivas, se tiene que: " Ο #! < " Ο # 5

6 3..3 Diferencias Centrales El error de truncamiento de la aproximación de la primera derivada en diferencias centrales es menor que el correspondiente a diferencias progresivas o regresivas. Para abreviar la escritura de las aproximaciones es conveniente usar la notación que a continuación se muestra, en la que se considera que x es uniforme. Sea: Empleando esta notación se puede ahora escribir las aproximaciones anteriores de la siguiente manera: Diferencias progresivas, Ο Diferencias regresivas, Ο Diferencias centrales, Ο! 6

7 3.3 Aproximación de Términos de la Forma λ Suponer que y el coeficiente λλ Se desea aproximar el siguiente término diferencial: λ Considérese ahora el núcleo típico de celdas en D: Usualmente se emplea la siguiente notación: 3.3 Aproximación de Términos Si se define, & λ se puede entonces escribir la Ec como: & λ Empleando diferencias centrales, Ec. 3.17, en la aproximación de la Ec. 3.0 y apoyándose en los puntos ±%, que corresponden a las fronteras de la celda i,j en la dirección x, se obtiene: & & &

8 8 Sustituyendo u por su definición, Ec. 3.19: Se necesita ahora aproximar ' en las fronteras de las celdas. Usando de nuevo diferencias centrales y apoyándose ahora en los nodos, e se obtienen las siguientes aproximaciones: & λ λ 3.3 Aproximación de Términos Substituyendo las Ecs. 3.3 y 3.4 en la Ec. 3., se obtiene: λ λ λ 3.3 Aproximación de Términos 3.5

9 9 3.4 Aproximación de los Términos de la Forma Sea una función para la cual deseamos obtener aproximaciones en diferencias finitas de su derivada parcial con respecto al tiempo. Se tienen tres opciones: Diferencias regresivas esquema implícito en tiempo Diferencias progresivas esquema explícito en tiempo Diferencias centrales esquema CrankNicholson Ο Aproximación en diferencias regresivas Aproximación de 3.4. Aproximación en diferencias progresivas: Ο Ο Aproximación en diferencias centrales:

10 3.4 Aproximación de La aproximación de la primera derivada mediante diferencias centrales es más exacta que diferencias regresivas y progresivas. No se emplean diferencias centrales en tiempo en la SNY: Su aplicación requiere de mayor esfuerzo computacional y no se refleja en mayor estabilidad numérica del algoritmo resultante Se emplean diferencias regresivas en tiempo!!! No se emplean diferencias progresivas por la poca estabilidad numérica de la aproximación resultante. El empleo de DFP, DFR ó DFC en tiempo genera esquemas numéricos con características totalmente diferentes. 3.5 Notación de las Ecuaciones Aproximadas en Operadores de Diferencias. Sea el operador de diferencias centrales,, definido conforme a las siguientes propiedades: & & & & * 3.9 & & & 3.30 & & & 3.31 *& & &

11 11 Se define también el operador de diferencias regresivas en tiempo, t, como sigue: Empleando la notación de estos operadores es posible escribir las aproximaciones mostradas en las Ecs. 3.5 y 3.6 como sigue: y & & & λ λ Esquema CrankNicholson. La derivada parcial con respecto al tiempo, Ec. 3.40, se aproxima mediante diferencias finitas centrales, esto es:, η µ # Donde,

12 1 CrankNicholson Y, ,, µ µ Substituyendo 3.50 y 3.51 en 3.49 y aproximando las derivadas parciales mediante diferencias centrales, se obtiene:, µ η CrankNicholson Rearreglando, , ηµ # O bien,!

13 CrankNicholson CrankNicholson en Ec produce de nuevo un sistema algebraico de ecuaciones lineales en las incógnitas CN implica más trabajo que el Esquema Implícito. Nos preguntamos: 1. Cómo se comparan las soluciones obtenidas mediante cada uno de los métodos con la solución exacta?. Cuál de los métodos produce la mejor solución? 3. Cuál es el efecto de y sobre el desempeño numérico de los métodos y sobre la solución?. 3.7 Consistencia, Convergencia y Estabilidad de una Aproximación Numérica. Definamos el operador diferencial siguiente:. η Con lo que 3.36 se escribe como:. µ, Si consideramos la aproximación del Esquema Explícito: µ, µ,.! η { } Ο Ο #

14 Consistencia, Convergencia y Estabilidad Si se define el siguiente Operador de Diferencias { } η La Ec se puede escribir como: µ, µ,.! { } { } Ο Ο O bien: {.} { } Ο Ο ! Consistencia, Convergencia y Estabilidad La diferencia entre la representación exacta y aproximada del problema de flujo en cuestión, es el Error Local de Truncamiento o de Discretización, 0. Por lo que, un operador de diferencias L es consistente con el operador diferencial A, al cual aproxima, si el Orden Local de la Aproximación es mayor o igual que uno. Que L sea consistente con A implica que en el límite, cuando y la norma del vector de errores de discretización también tiende a cero,. Una aproximación numérica debe ser consistente para que tenga valor práctico. 0 14

15 Consistencia, Convergencia y Estabilidad Además de ser consistente, L debe ser convergente al operador A. Para el problema en cuestión, esto se prueba partiendo de 3.58:, { } µ se desconoce debe ser pequeño y por lo tanto se desprecia: µ, { } indica el carácter aproximado de la solución, comparada con la solución exacta de la Ec Consistencia, Convergencia y Estabilidad Se define el Error Global de la Solución como la diferencia entre las soluciones exacta y aproximada, ε y se dice que es convergente a. si ε cuando y Donde: ε Norma del Vector de Errores Globales 15

16 Consistencia, Convergencia y Estabilidad ε y 0 se relacionan, lo que se establece restando 3.60 y 3.61, { } { } { } { ε} O sea, ε ε ε ε ε η El comportamiento de ε y es descrito por la misma ecuación 0 en 3.64 equivale a en 3.56: Cumple sólo en problemas lineales. La Ec implica que: ε!& 0 Consistencia, Convergencia y Estabilidad En problemas prácticos es muy difícil probar directamente la convergencia de un operador de diferencias finitas. La convergencia de un operador, sin embargo, se puede establecer indirectamente probando la estabilidad de un esquema de aproximación. Esto es posible a partir del Teorema de Equivalencia de Lax: La estabilidad es una condición necesaria y suficiente para que exista la convergencia, cuando la aproximación es consistente. 16

17 Consistencia, Convergencia y Estabilidad El concepto Estabilidad aplica en problemas dependientes del tiempo: Un algoritmo numérico es estable si cualquier error, introducido en alguna etapa de los cálculos, no se amplifica en cálculos subsecuentes. Tipos de errores: ε afecta las soluciones de 1 Redondeo son fijos y depende de precisión de la computadora Discretización inherente a la solución numérica, t y x Series de Fourier Métodos para probar estabilidad Matricial Condición de Estabilidad de los Esquemas de Aproximación Método de las Series de Fourier Se representa el error global de la solución ε mediante una serie discreta de Fourier, como sigue: Donde, y ε ε 3. ε. Coeficientes que se obtienen a partir de C.F. Coeficientes que se obtienen a partir de C.I. 17

18 18 Condición de Estabilidad de los Esquemas de Aproximación ε [ ] 3 3 η Substituyendo ε en 3.64 con 0 # El crecimiento del mésimo componente está condicionado por, el Factor de Amplificación. ε ε Criterio de Criterio de Estabilidad Estabilidad Condición de Estabilidad de los Esquemas η [ ] 3 3 η O bien, Si se define, [ ] 3 Entonces,

19 19 Condición de Estabilidad de los Esquemas [ ] 56 Pero, y el término en corchetes de la anterior ecuación se escribe como: También, 4 Por lo que: Condición de Estabilidad de los Esquemas 4 η ε ε La condición general de estabilidad es, Condición de Estabilidad del Esquema Explícito, o bien, Se cumple para cualquier valor de 4 η η El Esquema Explícito es Condicionalmente Estable

20 Condición de Estabilidad de los Esquemas Procediendo de manera similar, se puede probar que el Esquema Implícito de aproximación, aplicado al problema de flujo en cuestión, es Incondicionalmente Estable. En este caso se obtiene que La C. E. implica: η 4 η 4 El Esquema Implícito es Incondicionalmente Estable Ambas desigualdades se cumplen para cualquier valor de!!! 3.8 Construcción de Mallas La solución numérica de las ecuaciones de flujo de fluidos en medios porosos consiste en obtener una representación aproximada de las ecuaciones diferenciales en puntos específicos del espacio y del tiempo: #,... para el problema unidimensional. El dominio del problema, en espacio y en tiempo, se segmenta o discretiza; se genera así una malla de cálculo, constituida de celdas y nodos, donde se obtiene la solución en etapas sucesivas de tiempo. 0

21 Construcción de Mallas Existen básicamente dos tipos de mallas en la simulación numérica: a Mallas de nodos distribuidos. b Mallas de bloques centrados. Los nodos y los bloques, o celdas, a su vez pueden ser distribuidos de manera uniforme o no uniforme. Las mallas no uniformes son necesarias cuando: Se simulan problemas con regiones que experimentan cambios fuertes en la presión y en las saturaciones, a lo largo del tiempo: Conificación de fluidos, representación de acuíferos, etc. Se tienen yacimientos geológicamente complejos: Arquitectura compleja, fallas, acuñamientos, etc Mallas de Nodos Distribuidos En un yacimiento lineal de longitud L, y área transversal al flujo A, una malla de nodos distribuidos uniformemente se construye colocando primeramente los nodos de las fronteras del yacimiento y entre ellos se distribuyen, con espaciamiento uniforme, el resto de los nodos. Una vez definida la posición de los nodos, se procede a definir la posición de las fronteras de las celdas, en el punto medio entre los nodos. ' 7 1

22 Malla de Nodos Distribuidos Si se considera un total de nodos, su espaciamiento,, es: Nótese que el volumen de las celdas situadas en las fronteras es la mitad del volumen de las celdas internas, es decir:. 8. La posición de los nodos es: y la posición de la frontera de las celdas es: Malla Uniforme de Bloques Centrados: Se construyen situando celdas de tamaño uniforme en el yacimiento y ubicando posteriormente los nodos en el centro de cada una de ellas. ' 7 8.

23 3.8.3 Construcción de una malla radial cilíndrica. Se requiere en el modelado del flujo de fluidos hacia un pozo generalmente se emplean coordenadas cilíndricas,,θ,* Para representar adecuadamente las fuertes variaciones de la presión y saturación de los fluidos en las vecindades del intervalo disparado del pozo, es necesario emplear una malla no uniforme en la dirección radial. La mejor representación del flujo radial en una malla se obtiene definiendo el tamaño de las celdas proporcionalmente a su caída de presión, lo que se consigue empleando una malla logarítmica de nodos distribuidos o de bloques centrados. Construcción de una malla radial cilíndrica Considerar: Flujo radial en régimen permanente Viscosidad y factor de volumen del fluido constantes El gasto del fluidos entonces se expresa como: Integrando, 6λ! 6λ

24 Construcción de una malla radial cilíndrica Ahora bien, la representación exacta del gasto en la frontera ' común a las celdas e, de acuerdo con 3.75 está dada por: ' 7 ' ' 9 λ Construcción de una Malla Radial Cilíndrica Ahora bien, 3.74 se puede aproximar numéricamente en ' mediante diferencias finitas centrales como sigue: Si hacemos que, : 6 λ 9 : y 3.77 en 3.78, 6λ 6 λ

25 Construcción de una Malla Radial Cilíndrica De 3.79 encontramos que para que 9 : es necesario que ' Promedio logarítmico de e 3.80 Por otro lado, de 3.76, tenemos que: 9 9 6λ 6λ Construcción de una Malla Radial Cilíndrica Puesto que en régimen permanente 9' 9 ' dividiendo 3.81 entre 3.8, 9 9 De 3.83, para que debe cumplirse, 3.83! 3.84 Lo que conduce a:

26 Malla Radial Cilíndrica de Nodos Distribuidos El desarrollo previo es común a las mallas radiales de nodos distribuidos y bloques centrados. Ahora se definirá la primera de estas: ' 7 ' ' Si en 3.85 se escribe ;, ; 3.86 Malla Radial Cilíndrica de Nodos Distribuidos Por lo tanto, ; 3.87 Donde, Factor de distribución geométrica de los radios de los nodos Radio de drene del pozo ; Radio del pozo Número de celdas en la dirección radial Entonces, el radio de los nodos de las celdas está dado como:

27 Malla Radial Cilíndrica de Bloques Centrados ' 7 ' ' En este caso, la ec aplica directamente, O bien, 3.89 Malla Radial Cilíndrica de Bloques Centrados De 3.80 y 3.88, ; De donde se obtiene que, Similarmente, ;

28 Malla Radial Cilíndrica de Bloques Centrados Por lo que, 3.91 Substituyendo 3.90 y 3.91 en 3.89, Por lo tanto, ; ; ; 3.9 Construcción de Mallas Radial Cilíndrica: Receta Datos: ; Nodos Distribuidos Blolques Centrados ; ; < 7 ; ' ; < ' ; 7 8