Métodos de elemento finito Formulación n de elemento finito en 2 dimensiones

Transcripción

1 Métodos de elemento finito Método de Galerkin Formulación n de elemento finito en dimensiones

2 Los métodos m de elemento finito (MEF) son una estrategia numérica alternativa muy popular para la simulación n de el fluo subterráneo. La teoría a de elemento finito es más m s abstracta que los métodos de diferencias finitas (MDF), el (MEF) tiene ventaas significativas sobre el (MDF) en algunas aplicaciones practicas. El (MEF) se basa en considerar al cuerpo o estructura dividido en elementos discretos, con determinadas condiciones de vínculo v entre sí, s, generándose ndose un sistema de ecuaciones que se resuelve numéricamente y proporciona el estado de tensiones y deformaciones.

3 Se utiliza la teoría de aproximación polinominal presentada en la sección 7. como punto de partida en el desarrollo del método, combinando las ecuaciones 7.5 y 7.6 de la sección 7. tenemos que: n f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n x x + E x = x f x E( x) = = fˆ + (7.65) f(x) es la función n buscada, que puede ser en este caso h(x) ĥ(x) (x) es la aproximación n polinominal de h(x). E(x) es el error de aproximación

4 La aproximación n clásica para el desarrollo de el método de elemento finito utiliza el concepto de residuos pesados. Para hacer este concepto tan abstracto más m s concreto, quizá ayude seleccionar una ecuación n a la cual se le aplique el (MEF). Si definimos un operador (x) como una ecuación n de fluo de agua subterránea en una dimensión n en estado estacionario con una fuente Q(x) tenemos que: d h x ( h( x) ) K Q( x) = (7.66) dx Ahora si definimos el residual R(x) como la diferencia entre el valor obtenido de la solución n exacta h(x) y el valor obtenido de sustituir ĥ(x). ( )

5 Obtenemos la ecuación: R ( ) ( x) ( h( x) ) ĥ( x) (7.67) Si consideramos que (h(x))= tenemos: R ( ) ( x) = ĥ( x) (7.68) Consideremos ahora, una función n de peso w(x) que es también n función n de x. El método m de residuos pesados puede ser simplemente definida como: ( ĥ( x) ) w( x) dx = x X (7.69) X

6 La ecuación n anterior afirma que se busca un valor de ĥ(x) (x),, tal que la integral en el dominio de X por la función w(x) sea igual a cero. La selección n de la función n de w(x) indica la naturaleza del método m de residuos pesados.

7 Método de Galerkin La función n de peso más m s comúnmente usada es la misma función n utilizada para aproximar la función n conocida, ĥ(x). Esta formulación n es conocida como el Método de Galerkin De la ecuación 7.65 podemos ver que es un polinomio de Lagrange, l n (x) y de la ecuación 7.69 tenemos que: n ĥ( x) x dx = i X ( ) ( ) x X i =,,, I (7.7)

8 El siguiente paso es sustituir la aproximación n de ĥ(x) dada por la ecuación 7.65 sin el termino del error. X n = = n n ( x) h( x ) ( x) dx i x X Hay que tener en cuenta que el valor de h(x ) es un número representando la función ĥ(x) con x=x = x. Si asumimos que I=n=, podemos utilizar esta información dada en la figura 7.8 con la cual la ecuación n anerior queda de la siguiente forma: x x = i =,,, I ( x) h( x ) ( x) dx = i i =,, (7.7) (7.7)

9 Si tomamos en cuenta la definición n de (x) y la sustituimos en la ecuación n obtenemos: x d K dx x = ( x) h( x ) ( x) Q( x) ( x) dx = i i i =,, (7.74) Pero conocemos de la ecuación n 7.33 que d dx = ( x) h( x ) = h ( x ) h( x ) + h( x ) Δx (7.75) Sustituyendo en la ecuación n resulta: x K h ( x ) h( x ) + h( x ) Δx ( x) Q( x) ( x) dx = i i i =,, (7.76) x

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11 Si consideramos para esta ecuación n la forma general de los polinomios de Lagrange ecuación n 7.3 obtenemos: i= i x x i x x Sustituyendo en la ecuación n para i= n = n i x K x h ( x ) h( x ) + h( x ) Δx ( x) Q( x) ( x) dx = (7.77) x K x h ( x ) h( x ) + h( x ) ( x x )( x x ) Δx ( x x )( x x ) ( ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) Q x dx = (7.78)

12 Si consideramos que la componente Q es constante en el espacio y no depende de x. K h ( ) ( )( ) x x x x Q x dx x = Δ ( x x )( x x ) x ( x ) h( x ) + h( x ) x (7.79) h ( x ) h( x ) + h( x ) Q x = Δx K ( ) (7.8) Pero esta ecuación n es la aproximación n de diferencias finitas para la ecuación.

13 Sin embargo, si consideramos los mismos 3 nodos pero ahora empleando polinomios lineales de Lagrange usando una estrategia ligeramente diferente, podemos obtener una nueva formulación n a partir de sustituir la definición n de (h(x)) dentro de la ecuación 7.7. K X d ĥ dx ( x) Q x x X i n ( ) ( x) dx = i =,,, I (7.8)

14 Ahora definimos ĥ(x) usando polinomios lineales de Lagrange como se muestra en la figura 7.9. La aproximación n a h(x) ahora se escribe como: ( x) = h( x ) + h( x ) + h( x ), ĥ (7.8) donde x x, x x x x x x x x =, x x x x x todas las otras x (7.83)

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16 La sustitución n de la ecuación n de la ecuación 7.8 en 7.8 produce, para ecuación n generada por la función n de peso l. d K [ h( x ) + h( x ) + h( x )] Q( x) ( x) dx = dx X (7.84) Inmediatamente surge un problema, puesto que la segunda derivada de una función n lineal es cero casi en cualquier lugar tal que la aproximación d h/dx tiende a cero excepto en los puntos nodales,, en donde esta es infinita.

17 Para esquivar este problema, se puede aplicar la integración n por partes de la segunda derivada, donde el resultado para una función n de peso, la cual es: X + K K d dx d dx ( ( x) h( x ) + ( x) h( x ) + ( x) h( x )) ( ( x) h( x ) + ( x) h( x ) + ( x) h( x )) d dx x= x x= x dx x [ x, ] x (7.85) X ( ) ( x) Q x dx = Nótese que l (x)= para x=x y también n para x=x, por lo que el segundo termino en la ecuación desaparece. Ir a 6

18 De la ecuación n 7.4 obtenemos la aproximación, y de la ecuación 7.83 tenemos que: d dĥ ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( x) h( x ) h( x ) x h x + x h x = = = x x, dx dx Δx d dx x Δ [ ] x De manera similar, dx dĥ dx ( x) h( x ) h( x ) d ( ( x) h( x ) + ( x) h( x )) = = Δx d dx = Δx x [ x, x ] Combinando las ecuaciones anteriores con la 7.85 obtenemos que: x h K x dx + K dx Q x = Δx Δx Δx Δx x x ( x ) h( x ) h( x ) h( x ) x x ( ) ( x) dx (7.9) h ( x ) h( x ) h( x ) h( x ) K ( ) Δx + K Q x Δx Δx = (7.9)

19 Si consideramos que Q es constante rescribimos la ecuación n anterior como: h ( x ) h( x ) + h( x ) K ( ) Q x = Δx (7.9) Si utilizamos el (MEF) o el (MDF), siempre terminaremos con la misma aproximación n numérica de la ecuación n de fluo de agua subterránea en estado estacionario en presencia de una fuente constante Q.

20 Formulación n de elemento finito en dimensiones La extensión n de la teoría a de elemento finito en -D requiere nuevos conceptos. Consideremos la ecuación n de fluo de agua subterránea en -D D independientes del tiempo. ( x, y) h( x, y) h( x, y) h Txx + Tyy Tyx = Q x x y y + y x (7.93) Extendemos la representación n de la carga hidráulica para -D D como ĥ(x,y) (x,y),, donde los elementos finitos están representados por rectángulos como se muestran en la figura 7..

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22 Donde l i (x,y) l i (x)l (y) y asumimos que los polinomios de Lagrange son lineales. = i, ( x, y) h( x, y ) ( x, y) ĥ i,,, I i i = =,,, J (7.94) La función l i (x,y) se muestra en la figura 7. para el elemento D y el nodo a. La función n es lineal para las dos direcciones x y y,, sin embargo la línea l que se dibua del nodo a al c no lo es.

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24 La ecuación n de residuos pesados la podemos escribir como: ( x, y) ( ĥ ) ( x, y) dxdy i = x, y Ω i = =,,, I,,,J (7.95) Ω Ω es el dominio en -D D que representa el área. El operador (ĥ(x)) (x)) lo definimos ahora como: ĥ ( ( )) ( x, y) ĥ( x, y) ĥ( x, y) ĥ x, y T T T xx yy yx x x + y y + y x Q (7.96) Introducimos la notación xyĥ ( x, y) ( x, y) ĥ( x, y) i ĥ x + y (7.97)

25 Podemos escribir la ecuación 7.96 como: ( ĥ( x, y) ) = T ĥ( x, y) Q xy xy (7.98) donde T es el tensor de transmisividad Combinando la ecuación n de residuos pesados (7.95( 7.95) ) y la definición n de la ecuación n 7.98 obtenemos: Ω ( x, y) ( T ĥ Q) ( x, y) dxdy xy xy kl = k =,,,K x, y Ω l =,,,L (7.99)

26 Aplicando el segundo teorema de Green xy xy kl kl xy = Ω ( T ĥ( x, y) ) ( x, y) Q ( x, y) dxdy + T ĥ( x, y) Ω x, y Ω ( ) ndl k =,,, K l =,,, L (7.) Aunque la ecuación n anterior es análogo a la ecuación 7.85, si expandimos el primer termino de la integral de superficie en la ecuación n 7. por una función n de peso localizada en un punto (x( k,y l ) esta dada por Ω ( T ĥ( x, y) ) ( x, y) xy xy kl T Ω + T xx yy ( x, y) ĥ( x, y) ( x, y) ĥ x ( x, y) ĥ( x, y) ( x, y) kl dxdy ĥ y + T + T xy yx y x dxdy = kl x y (7.)

27 Sustituyendo la función ĥ(x) obtenemos: Ω Ω ( T ĥ( x, y) ) ( x, y) T xx + T yy xy h i, h i, ( x, y ) i ( x, y ) i xy kl i dxdy = ( x) ( y) i x ( x) ( y) y + T xy + T yx h i, h i, ( x, y ) i ( x, y ) i i ( x) ( y) i y ( x) ( y) x l ( y) k ( x) k x ( x) l ( y) dxdy Esta ecuación n no puede ser fácilmente f simplificada a causa de los productos de los de varios polinomios de Lagrange y sus derivadas. y (7.) En -D D la formulación n de elemento finito no corresponden a la forma de diferencias finitas, aún a cuando T xy =T yx = Ir a 34

28 Como se menciono en el capitulo anterior existen 3 tipos de condiciones de frontera que pueden potencialmente se consideradas. La condición n de frontera tipo Dirichlet,, que se define como una condición n de carga constante en la frontera. El resultado sustituir valores constantes de la carga conocida en la frontera es, una reducción n en el número n de filas en la matriz. La matriz final contiene el número n de ecuaciones no conocidas, que son el número n de nodos menos el número de condiciones de frontera Dirichlet

29 El segundo tipo es la condición n de frontera tipo Neumann Para los nodos localizados en la frontera de la región de fluo dentro del elemento puede especificarse, asumiendo que una condición Dirichlet no esta definida a lo largo del segmento de frontera. Para esto se remplaza el termino T xy ĥ(x,y) por un valor de fluo conocido. Así se crea el termino que representa el fluo a través de la frontera en el perímetro.

30 La forma más m s popular y por lo tanto la más m s utilizada para elementos finitos en -D D son los triángulos en comparación n con los rectángulos. La ventaa de los triángulos en -D D y tetraedros en 3-D 3 en la flexibilidad para la localización n de nodos. Para los elementos triangulares no conviene utilizar la notación i utilizada para los rectángulos. Por el contrario, cada nodo es numerado como se muestra en la figura 7..

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32 La ecuación n (7.( 7.) ) y la teoría a presentada en este capítulo, tomada para elementos triangulares, difiere solo en la definición n de funciones de peso y base φ i (x,y). Si usamos φ i (x,y) en vez de l i (x,y) reconociendo que esta función n no es un polinomio de Lagrange en el sentido clasico. Por lo que podemos considerar que a φ i (x,y) como una pieza plana del polinomio de Lagrange.

33 Si consideramos el elemento A en la figura 7... La función n base identificada con el nodo se asemea a la figura 7.3.

34 Puesto que la integración n que esta en la ecuación 7. esta sobre un triángulo, una transformación n coordenada se aplica para facilitar los cálculos. c Consideremos un eemplo para ver las ventaas de la flexibilidad de elementos finitos triangulares contra mallas rectangulares. En la figura 7.4 se muestra una malla rectangular generada por la aplicación n de diferencias finitas. En la figura 7.5 se muestra una malla triangular generada por la aplicación n de elemento finito.

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37 La comparación n de las mallas ilustra dos características: La primera, en la vecindad de la localización n de un pozo, ambas mallas requieren una gran densidad de nodos. Para el caso de la malla rectangular, las consideraciones geométricas requieren que una línea l de nodos una vez empezado debe ser continua en la frontera del modelo. En contraste, la malla de elemento finito, triángulos pequeños reflean el gran número n de nodos cerca del pozo, pero es un decrecimiento gradual en la densidad de nodos.

38 La segunda característica se puede observar en la parte superior derecha, donde la frontera es oblicua. El número n de nodos en la malla rectangular son cerca de 6 y en la malla triangular son cerca 4. Para el maneo computacional, el considerar mallas triangulares es más m s eficiente que las mallas rectangulares. Cuando se generan líneas l de fluo, se puede utilizar el hecho de que, para un triangulo, el gradiente es constante. Así se construyen las líneas l de fluo de un punto arbitrario.