INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. Algunas bases.

Transcripción

1 INTROUIÓN L MÉTOO L LMNTO FINITO lgunas bases.

2 l método del elemento finito es una herramienta de análisis muy poderosa que permite obtener soluciones aproximadas a una amplia variedad de problemas de mecánica en el continuo. La premisa básica es que una región de solución puede ser modelada analíticamente reemplazándola con un arreglo de elementos discretos. sto permite reducir un número infinito de incógnitas del problema a uno con un número finito de incógnitas. X Y Z F F G F G H F G F H G H F G F G F

3 sto se hace dividiendo la región de solución en elementos y expresando las variables de campo incógnitas en términos de funciones aproximadas dentro de cada elemento. n turno, las funciones aproximadas se expresan en términos de valores de la variable de campo para ciertos puntos llamados nodos o puntos nodales. l conjunto de nodos configura una malla o rejilla de solución para el problema. sta malla puede o no seguir la configuración física del campo. Por ejemplo, se puede trasladar el problema al campo de solución matemático, cuyas fronteras pueden no coincidir con las orillas del cuerpo físico. Mala discretización iscretización adecuada

4 xisten básicamente cuatro maneras de formular las ecuaciones del sistema: 1. proximación directa. Las ecuaciones del sistema se ensamblan directamente de las ecuaciones que gobiernan el problema. esventaja: Sólo se pueden analizar elementos de formas o geometrías simples. 2. proximación Variacional. n esta alternativa, se requieren usar funciones obtenidas del cálculo variacional, es decir, encontrando los valores extremos de un funcional (por ej. la nergía Potencial). Ventaja: Se pueden usar formas de elementos tanto simples como complejas.

5 3. proximación de Residuales Pesados (Weighted Residuals). n esta forma se traslada el problema del campo de solución físico al campo de solución puramente matemático. Ventaja: Puede aplicarse en problemas donde no se cuenta con un funcional adecuado. 4. proximación de alance de nergía. (Muy empleado en casos de mecánica de sólidos) Se basa en el balance de la energía térmica o mecánica del sistema. Ventaja: Igual al anterior.

6 n una aproximación de solución a los desplazamientos, el error de discretización introducido al suponer un polinomio como función de interpolación es del orden de: donde h es el tamaño del elemento y p es el orden del polinomio.

7 Lo anterior se debe a que mientras mayor sea el número de elementos empleado (reduciendo, por tanto, el tamaño de los mismos) tendremos una mejor aproximación a la solución exacta del problema. Por ejemplo, en el caso de problemas de elasticidad plana (podría un caso ser deformación plana), donde se puede suponer una expansión lineal (p = 1) podemos esperar una convergencia del orden de: es decir, el error en desplazamiento se reduciría a 1/ 4, al reducir el espacio entre nodos a la mitad.

8 Los esfuerzos y las deformaciones, los cuales corresponden a la mésima derivada del desplazamiento, convergen con un error del orden de:

9 Pasos a seguir (de manera general y a manera de receta) para encontrar la solución a un problema del continuo usando el MF. 1. iscretizar el continuo 2. Seleccionar funciones de interpolación apropiadas 3. ncontrar las propiedades de los elementos (ecuaciones que relacionan las condiciones de los elementos con la solución buscada, p.ej. ecuaciones fuerza-desplazamiento en caso de elasticidad), se emplea uno de los cuatro procedimientos. 4. nsamblar las propiedades de los elementos para formar las ecuaciones del sistema (trasladar las ecuaciones del esquema local, por elemento, al esquema global, del sistema) 5. Modificar las ecuaciones del sistema para tomar en cuenta las condiciones de frontera. 6. Resolver el sistema de ecuaciones. 7. esplegar los resultados en manera gráfica conveniente

10 JMPLOS

11 Programa Shells por Peter ird

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15 Verificación de la convergencia hacia una buena solución

16 Salidas del modelo

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18 Referencias para programas y ligas interesantes: 1. Programa shells para modelar casos de tectónica por elementos finitos (tal vez sea la mejor opción): (ver para la Guía interactiva) 2. Programa FLIP: 3. Página de la Universidad de olorado, oulder, con varias referencias al MF: 4. Página llamada The Finite lement Method Site : dattaraj_rao.tripod.com/fm/