05 Problemas de elasticidad bidimensional. Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

Transcripción

1 05 Problemas de elasticidad bidimensional Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales 1

2 Convención para los esfuerzos positivos 2

3 Deformaciones 3

4 Ley de Hooke (relación esfuerzos deformaciones) 4

5 Ley de Hooke para materiales anisotrópicos (relación esfuerzos-deformaciones) D 1=x, 2=y, 3=z 5

6 Tensión plana 6

7 Deformación plana 7

8 Ley de Hooke para tensión plana 8

9 Ley de Hooke para deformación plana 9

10 Deformaciones iniciales 10

11 Deformaciones iniciales 11

12 Esfuerzos iniciales 12

13 Esfuerzos iniciales 13

14 Esfuerzos iniciales 14

15 Malla de elementos finitos 15

16 Numeración local vs numeración global de los nodos de la malla 16

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19 Reglas para la creación de la malla de elementos finitos Es importante reconocer que la malla de elementos finitos representa una idealización de la geometría real. Por consiguiente, el análisis por elementos finitos reproduce el comportamiento de la malla escogida, y no el de la estructura real. Solamente comprobando la convergencia de la solución podemos estimar el grado de aproximación de la solución de elementos finitos a la exacta. 19

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22 Selección del tipo de elemento En caso que se tenga una cierta idea de la forma polinómica de la solución, conviene utilizar elementos con funciones de forma del mismo grado que la solución conocida (rara vez ocurre en la práctica) En zonas donde se intuya que pueden existir gradientes de esfuerzos elevados es más adecuado utilizar elementos de mayor orden (método p) o mallas más tupidas (método h). 22

23 Selección del tipo de elemento Debe evitarse colocar un elemento pequeño contiguo a uno grande. La transición en tamaño debe ser gradual Se recomienda utilizar elementos finitos de pocos nodos (pero no tan pocos!) En el caso de elementos Lagrangianos, tener cuidado con el problema de Runge. Por lo tanto no es bueno escojer tantos nodos. 23

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25 Convergencia de la solución En lo posible, se deben hacer análisis con mallas cada vez más tupidas, de modo que podamos observar si la solución ha convergido. 25

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27 Funciones de forma globales 27

28 Funciones de forma locales 28

29 Elemento triangular de tres nodos 29

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31 31

32 Discretización del campo de deformaciones 32

33 33

34 Discretización del campo de deformaciones 34

35 Discretización del campo de tensiones 35

36 Fuerzas sobre un elemento triangular de tres nodos 36

37 Las fuerzas de superficie pueden ser de dos tipos: a) Debidas a fuerzas exteriores que actuan sobre los lados del elemento que forman parte del contorno exterior de la estructura b) Debidas a las fuerzas de interacción entre elementos que se transmiten a través de lados comunes. Estas últimas se ignoran desde un principio pues se anulan en el ensamblaje (ya que tienen igual magnitud y dirección, pero sentidos 37 opuestos).

38 PTV aplicado a un elemento 38

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41 Hay que destacar que estas expresiones son totalmente generales y, por consiguiente, aplicables a cualquier elemento bidimensional 41

42 Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos 42

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44 Vectores de fuerzas nodales equivalentes para un elemento triangular de tres nodos 44

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49 Ejercicio de programación Considere la viga mostrada, suponiendo que el peso del material es 7.8 kg/m3, E = 200GPa, el coeficiente de Poisson es 0.30 y el espesor de la viga es 10 cm. Calcule los campos de esfuerzos, desplazamientos y deformaciones de la viga 49

50 Elemento rectangular de 4 nodos 50

51 Elemento rectangular de 4 nodos 51

52 Elemento rectangular de 4 nodos 52

53 Elemento rectangular de 4 nodos Este elemento es muy bueno para problemas de tracción/compresión pura, pero es malo para problemas de flexión debido a su incapacidad natural de adoptar formas curvas. Por esta razón se necesitan mallas muy tupidas 53 para obtener resultados mínimamente aceptables.

54 Ejercicio de programación 54

55 Elemento rectangular de 4 nodos Nota: la matriz de rigidez que aparece en el libro de Oñate está mala. Esta es la correcta: 55

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57 El triángulo de Pascal 57

58 Triángulo de Pascal 58

59 Funciones de forma de un elemento rectangular de clase C0 y lados rectos Estos elementos están expresados en las llamadas coordenadas naturales o intrínsecas 59

60 Elemento rectangular lagrangiano vs Elemento rectangular serendípito 60

61 Polinomios de Lagrange 61

62 Funciones de forma 1D (2 nodos) 62

63 Funciones de forma 1D (3 nodos) 63

64 Funciones de forma 1D (4 nodos) 64

65 Elemento rectangular lagrangiano de 4 nodos 65

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67 Elemento rectangular lagrangiano de 9 nodos 67

68 68

69 Elemento rectangular lagrangiano de 16 nodos 69

70 Mostrar programa de MATLAB 70

71 Elemento rectangular cuártico lagrangiano 71

72 Tarea: determinar las funciones de forma de estos elementos: 72

73 Serendipia (chiripa) Una serendipia es un descubrimiento o un hallazgo afortunado e inesperado. Se puede denominar así también a la casualidad, coincidencia o accidente. El término serendipia deriva del inglés serendipity, neologismo acuñado por Horace Walpole en 1754 a partir de un cuento persa del siglo XVIII llamado «Los tres príncipes de Serendip», en el que los protagonistas, unos príncipes de la isla Serendip (que era el nombre árabe de la isla de Ceilán, la actual Sri Lanka), solucionaban sus problemas a través de increíbles casualidades. NOTA: chiripa si está en el diccionario, serendipia no lo está. Serendipity si existe en el diccionario inglés. 73

74 Elemento rectangular serendípito de 4 nodos Este elemento pertenece a ambas familias: Lagrangiana y Serendípita 74

75 Elemento rectangular serendípito de 8 nodos 75

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77 Elemento rectangular serendípito de 12 nodos 77

78 Elemento rectangular serendípito de 17 nodos 78

79 Funciones de forma de elementos triangulares de lados rectos Estas funciones de forma se caracterizan porque sus funciones de forma contienen exactamente todos los términos de un polinomio completo de un determinado grado. 1 término 3 términos (lineal) 6 términos (cuadrático) 10 términos (cúbico) 79

80 Coordenadas de área 80

81 Coordenadas de área Interpolación paramétrica de la geometría 81

82 Elemento triangular de 3 nodos 82

83 Elemento triangular de 6 nodos 83

84 Elemento triangular de 10 nodos 84 Mostrar programa de MATLAB

85 Coordenadas naturales del triángulo 85

86 Cuál elemento finito tiene más precisión? Los elementos rectangulares son más precisos que los triangulares para el mismo número de grados de libertad. No obstante, los elementos triangulares son mucho más versátiles que los rectangulares en la discretización de geometrías complejas. Los elementos de bajo orden son más sencillos de utilizar aunque en problemas con altos gradientes de esfuerzos la precisión sólo se alcanza a cambio de introducir un gran número de elementos sencillos, lo que puede hacer obligatorio, e incluso más rentable en ocasiones, el utilizar elementos de orden más elevado. 86

87 La matriz Jacobiana 87

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89 El teorema de la función inversa 89

90 El Jacobiano (determinante de la matriz Jacobiana) El Jacobiano se puede entender como la candidad de estiramiento que una impone una transformación de variables. 90

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92 Cambios de variable en integrales múltiples 92 Ver:

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94 La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. 94

95 Elementos isoparamétricos bidimensionales 95

96 The finite element method for engineers 96

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