INTEGRALES DE LA FORMA k dx

Transcripción

1 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c V INTEGRALES DE LA FORMA k ( ax + bx + c), con k ± 1, - Las nueve fórmulas estudiadas en el capítulo anterior son las que habrán de utilizarse en este tema. Simplemente habrá que agregar algunos pasos algebraicos que servirán para transformar un trinomio de la forma ax + bx + c a la forma (mx + n) + h, que, como se verá, se reduce a las fórmulas anteriores. Para esto, como es indispensable que el estudiante tenga la habilidad algebraica suficiente para realizar las transformaciones mencionadas, la primera parte de este capítulo se dedicará a ejercitar el paso de una forma algebraica a la otra requerida. Para deducir el procedimiento, se comenzará de atrás para adelante. Supóngase que se tiene la suma de un binomio al cuadrado más cualquier constante, que en términos genéricos se puede enunciar como (mx + n) + h, por ejemplo ( x + 7) + 9 binomio al cuadrado constante 37

2 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c Si se desarrolla (recordando que el binomio cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo) se obtiene: (x + 7) + 9 4x + 8x cuadrado del 1º doble producto del 1º por el º cuadrado del º ( ) x x + 8x+ 58 (A) trinomio No se pierda de vista que aquí del binomio al cuadrado más la constante se partió a obtener un trinomio cuadrático. Como en matemáticas toda operación o proceso tiene su inverso o camino de retorno, la igualdad (A) puede pensarse en desarrollarse a la inversa, es decir, a partir del trinomio obtener el binomio al cuadrado más la constante, al que equivale. Inicialmente habría que observar que del trinomio cuadrático: 38

3 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c a) 4x salió del cuadrado del primer término del binomio. Significa que su raíz cuadrada es el primer término del binomio. b) 8x salió del doble producto del primer término del binomio por el segundo. De aquí se puede calcular fácilmente el segundo término del binomio, pues el primero ya se conoce a partir del paso anterior. Entonces lo único que faltaría por saber es el valor de la constante que suma al binomio. Un razonamiento lógico conduce a su obtención, como se verá en los siguientes dos ejemplos. Por ejemplo, para transformar 9x + 30x + 41 a la forma (mx + n) + h, en donde m, n y h son números o constantes, se deduce que 9x es el cuadrado del primer término del binomio, por lo tanto dicho primer término es 3x. También, por lo dicho líneas arriba, 30x es el doble producto del primer término por el segundo y sabiendo que el primero es 3x, por simples divisiones se obtiene que el segundo término del binomio es 30x 3x 30x 3x 30x 3x 5 El binomio al cuadrado buscado es (3x + 5). Para deducir la constante que falta en el proceso se desarrolla (de preferencia mentalmente) el binomio y se compara con el trinomio original. Por comparaciones se sumará y/o restará lo que haga falta para que sean iguales. 39

4 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c ( ) 9x 30x 41 3x ? (a) ? 9x 30x 41 9x 30x 5 (b) no son iguales En realidad, lo que está escrito del lado izquierdo del signo igual () en el renglón (b) no es igual a lo que aparece del lado derecho. Basta observar que en ambos lados está 9x ; también está 30x, pero en el lado izquierdo hay un + 41 que no está en el derecho y en el derecho hay un + 5 que no está en el lado izquierdo. A veces es muy directo deducir lo que hace falta para que sean iguales, como en este ejemplo, con la simple pregunta Cuánto le falta al 5 para llegar al 41? Sumarle 16. Pero no siempre es tan directo, sobretodo cuando se tienen fracciones, como se verá en los ejemplos 4 y 5. Entonces un razonamiento genérico es el siguiente: Para que realmente sean iguales basta sumar en el renglón (a) en el lado derecho el + 41 que está en el lado izquierdo (para que así ya aparezca en ambos lados) y también restar en el lado derecho - 5 que es el equivalente a borrar el + 5 que está en el derecho y no en el izquierdo. De lo anterior, resulta: 9x + 30x + 41 (3x + 5) ( ) 9x + 30x+ 41 3x

5 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c Ejemplo : Transformar el trinomio 4x - 8x + 45 a la forma (mx + n) + h. Solución: Si 4x es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raíz cuadrada: x. Si 8x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es x) por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo - 8x x - 7. Ya se tiene el binomio al cuadrado: es (x - 7). Pero (x - 7) no es igual al trinomio original, es decir si se desarrolla el binomio al cuadrado se obtiene: ( ) 4x 8x + 45 x 7, ya que (x - 7) cuadrado del 1 er término; menos el doble producto del 1º por el º; más el cuadrado del º. 4x 8x x 8x + 49 que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 4x está en ambos lados; - 8x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 45 que no está en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un + 49 que no existe en el trinomio original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar - 49 y sumar + 45 simultáneamente en el lado derecho, obteniendo: ( ) 4x 8x+ 45 x

6 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c ( ) 4x 8x + 45 x 7 4 Ejemplo 3: Transformar el trinomio 5x - 18x + 35 a la forma (mx + n) + h. Solución: Si 5x es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raíz cuadrada: 5x. Si 18x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 5x) por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo 18x 5x Ya se tiene el binomio al cuadrado: es 5x. Pero 5x no es igual al trino- 5 5 mio original, es decir al cuadrado se obtiene: 9 5x 18x x 5, ya que si se desarrolla el binomio 9 5x 5 cuadrado del 1 er término; menos el doble producto del 1º por el º; más el cuadrado del º. 5x 18x x 18x

7 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 5x está en ambos lados; - 18x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 35 que no 81 está en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un + que no existe en el 5 81 trinomio original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar y sumar simultáneamente en el lado derecho, obteniendo: x 18x x x 18x x Ejemplo 4: Transformar el trinomio 9x + 7x - 6 a la forma (mx + n) + h. Solución: Si 9x es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raíz cuadrada: 3x. Si 7x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 3x) 7 por el segundo, este segundo término del binomio se obtiene dividiendo 7x 3x Ya se tiene el binomio al cuadrado: es 3x +. Pero 3x + no es igual al trinomio 6 6 original, es decir se obtiene: 7 9x + 7x 6 3x + 6, ya que si se desarrolla el binomio al cuadrado 43

8 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c 7 3x + 6 cuadrado del 1 er término; más el doble producto del 1º por el º; más el cuadrado del º. 9x + 7x 6 9x + 7x que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 9x está en ambos lados; 7x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un - 6 que no está 49 en el lado derecho; y además, en el lado derecho aparece un que no existe en el trinomio 36 original. Entonces, para que realmente sean iguales, se debe restar mente en el lado derecho, obteniendo: y sumar - 6 simultánea x + 7x 6 3x x + 7x 6 3x Ejemplo 5: Transformar el trinomio 6x + 5x + 8 a la forma (mx + n) + h. Solución: Si 6x es el cuadrado del primer término del binomio a construir, dicho primer término es su raíz cuadrada: 6 x. 44

9 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c Si 5x es el doble producto del primer término del binomio (que se acaba de deducir que es 5 6 x ) por el segundo, éste se obtiene dividiendo 5x 6 x Ya se tiene el binomio al cuadrado: es 6 x +. Pero 6 x + no es igual 6 6 al trinomio original, es decir binomio al cuadrado se obtiene: 5 6x + 5x x + 6, ya que si se desarrolla el 6 5 x + 6 cuadrado del 1 er término; más el doble producto del 1º por el º; más el cuadrado del º. 6x + 5x + 8 6x + 5x que al compararlo con el trinomio original para ver si son iguales, se ve que 6x está en ambos lados; + 5x también. Sin embargo, en el trinomio original (lado izquierdo) hay un + 8 que no está en el lado derecho (hay que agregarlo allí para que se sean iguales); y además, en el lado 5 derecho aparece un + que no existe en el trinomio original. Entonces, para que realmente 4 5 sean iguales, se debe restar y sumar + 8 simultáneamente en el lado derecho, obteniendo: 4 45

10 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c 5 5 6x + 5x x x + 5x x Ejemplo 6: Transformar el trinomio 48-4x - 9x a la forma (mx + n) + h. Solución: Obsérvese que en este ejemplo, a diferencia de los anteriores, el término cuadrático es negativo. En casos así, debe encerrarse primero en un paréntesis negativo el trinomio para que se vuelva positivo el término al cuadrado y a partir de allí repetir lo que se ha hecho en los ejemplos antecedentes. Se finaliza eliminando el paréntesis negativo cambiando de signo a todo lo que contiene. ( ) 48 4x 9x 9x + 4x 48 ( x ) ( ) 48 4x 9x 64 3x + 4 APLICACIÓN A LAS INTEGRALES Lo anterior es la práctica y habilidad algebraica que se requiere para poder realizar las integrales de la forma que se estudian en este capítulo. Entonces el procedimiento general para integrar funciones que contienen un polinomio cuadrático, ya sea con o sin raíz cuadrada, en el numerador o en el denominador, consiste en transformar dicho trinomio a la forma (mx + n) + h, y por un cambio de variable reducirla a una de las fórmulas vistas en el capítulo anterior. 46

11 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c Ejemplo 7: Integrar 4x + 36x + 85 Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginas anteriores, se tiene que x x x ( ) Haciendo los siguientes cambios: u (x + 9) u x + 9 du a 4 a, de donde Debe multiplicarse y dividirse simultáneamente por para obtener la diferencial du y para que no se altere la integral original: 1 1 du ( x + 9) + 4 u + a Se ha reducido a la fórmula (11) de la página 3. Aplicándola se obtiene: 1 du 1 1 u arc tan c + u + a a a y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral: 1 1 x + 9 arc tan + c 47

12 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c x x + 9 arc tan + c 4 COMPROBACIÓN: Simplemente para abreviar, sea Entonces derivando: 1 x + 9 I arc tan + c 4 (el resultado de la integral). di 1 d x + 9 d arc tan + 4 c d x x x + 36x x + 36x

13 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c x + 36x + 85 di 1 x x Ejemplo 8: Integrar 9x 6x + Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginas anteriores, se tiene que x x+ x + ( ) Haciendo los siguientes cambios: u (3x - 1) u 3x - 1 du 3 a 1 a 1, de donde Debe multiplicarse y dividirse simultáneamente por 3 para obtener la diferencial du y para que no se altere la integral original: du ( 3x 1) + 1 u + a 49

14 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c Se ha reducido a la fórmula (14) de la página 3. Aplicándola se obtiene: ( ) 1 du 1 ln u u a c u + a 3 y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral, en donde conviene considerar que en este tipo de integrales, siempre que exista originalmente una raíz cuadrada, al sustituir en la fórmula se obtiene la raíz cuadrada original, por lo que: x x ln ( 3x 1) + 9x 6x + + c 3 Ejemplo 9: Integrar 45 0x 5x Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en las páginas anteriores, ver ejemplo 6 de la página 46, se tiene que ( ) x x x Haciendo los siguientes cambios: u (5x + ) u 5x + du 5 a 49 a 7, de donde 50

15 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c Debe multiplicarse y dividirse simultáneamente por 5 para obtener la diferencial du y para que no se altere la integral original: 1 ( ) x + a u du 5 Se ha reducido a la fórmula (10) de la página 3. Aplicándola se obtiene: 1 1 u a u 5 a u du a u + arc sen + c 5 a y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral, en donde conviene considerar que en este tipo de integrales, siempre que exista originalmente una raíz cuadrada, al sustituir en la fórmula se obtiene la raíz cuadrada original, por lo que: 1 5x x x x arc sen c 5x x x x x x arc sen c Ejemplo 10: Integrar x + 5x + 3 Solución: Transformando el trinomio a la forma (mx + n) + h, conforme a lo practicado en los ejemplos 1 a 6, se tiene que 51

16 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c + + x + 8 x 5x Haciendo los siguientes cambios: u 5 x +, de donde u x + 5 du 1 a a ( ) Debe multiplicarse y dividirse simultáneamente por para obtener la diferencial du y para que no se altere la integral original: x + 8 du u a Se ha reducido a la fórmula (1) de la página 3. Aplicándola se obtiene: 5

17 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c 1 du 1 1 u a ln c + u a a u + a y sustituyendo los valores particulares que a u y a a le corresponden en esta integral: x + ln + c x x + ln + c 6 x + x + ln + c 3 x + Para eliminar los denominadores parciales que aparecen en el numerador y en el denominador del argumento del logaritmo natural, deben multiplicarse al mismo tiempo numerador y denominador por : x + ln + c 3 x + 53

18 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c + + x 5x 3 x + ln + c x + 3 COMPROBACIÓN: Simplemente para abreviar, sea derivando: x + I ln + c x + 3 (el resultado de la integral). Entonces di d x + x x + x + 3 ( x + ) ( x + ) ( x + 3) 3 x + x + 3 4x + 6 4x 4 ( x + 3) x + x + 3 ( x + 3) x + x

19 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c ( x + 3) ( x + 3) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) ( x + 3)( x + 1) di 1 x x EJERCICIO 3 Realizar las siguientes integrales: 1) ) 5x + 10x ) 4) 9x 4x x 4x 7 4x 0x ) 4x 8x 3 6) x x 55

20 Integrales de la forma ( + + ) ax bx c 7) 8) 36x + 60x 11 64x + 144x ) 10) 7 6x x x x 11) 1) x 9x 168 0x 100x 13) 5 x + 18 x 8 14) 15) 16) 16x 7x 4x 14x 1 49x + 9x 6 17) 3 x + x ) 19) 0) 7x + 11x + 5x + 11x 13 8x 19x 1) x 17x ) 1x + x 8 3) 4) 15x + 11x 7x