Factorización de Polinomios con Coeficientes Enteros

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1 Para comenzar la presentación mantenga presionado Ctrl y marque L Factorización de Polinomios con Coeficientes Enteros Mate 141: Álgebra y Trigonometría I Preparado por: Departamento de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico Colegio de Ciencias Programa Título V - TSI 2011 Página anterior próxima página Página 1

2 Instrucciones para utilizar el módulo Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba 1 Marque Ctrl+l para comenzar la presentación en formato de pantalla completa. 2 Marque Esc para salir del formato en pantalla completa. 3 Hacer la Pre-prueba. 4 Estudiar el contenido del módulo: Definiciones, fórmulas y hacer lo problemas de práctica. 5 Hacer la Post-prueba Página anterior próxima página Página 2

3 Tabla Contenido Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba 1 Tabla de Contenido, objetivos y Preprueba Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba 2 Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Forma x 2 +bx+c Forma x 2 +bx c Forma x 2 bx+c Forma x 2 bx c 3 Forma ax 2 bx+c, (a > 0) 4 Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba 5 Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Página anterior próxima página Página 3

4 Objetivos Instruccionales Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba Objetivo general El objetivo de este módulo es presentar los conceptos y las destrezas que se requieren para factorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando la técnica de tanteo. Objetivos específicos Al finalizar el estudio de este módulo las personas usuarias podrán: Definir y dar ejemplos de polinomios mónicos y no mónicos. Factorizar polinomios mónicos de la forma: x 2 +bx+c, x 2 +bx c, x 2 bx+c y x 2 bx c donde b y c son números enteros positivos. Factorizar un polinomio de la forma: ax 2 +bx+c donde a, b, c son números reales con a 0. Identificar cuando un trinomio de grado 2, factoriza tanteando. Página anterior próxima página Página 4

5 Pre-prueba Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1 x 2 +3x+2 2 x 2 10x+16 3 x 2 +9x 36 4 x 2 2x 8 5 x 2 +3x+2 6 2y 3 +12y 2 +18y 7 10x 2 +11x+3 8 7w 2 +20w x 15x x 2 39xy +6y t 4 246t 3 63t 2 12 (x+3) 2 +3(x+3) 4 Solución de la Pre-prueba Página anterior próxima página Página 5

6 Pre-prueba Instrucciones para utilizar el módulo Tabla de Contenido Objetivos Instruccionales Preprueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1 x 2 +3x+2 2 x 2 10x+16 3 x 2 +9x 36 4 x 2 2x 8 5 x 2 +3x+2 6 2y 3 +12y 2 +18y 7 10x 2 +11x+3 8 7w 2 +20w x 15x x 2 39xy +6y t 4 246t 3 63t 2 12 (x+3) 2 +3(x+3) 4 Solución de la Pre-prueba Página anterior próxima página Página 6

7 Factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c En este módulo se presentará la técnica de tanteo para factorizar polinomios de la forma ax 2 +bx+c donde a, b y c son números enteros diferentes de cero. A este trinomio se le da el nombre de trinomio cuadrático. Cuando a = 1, se le llama Mónico y cuando a 1 se le llama No Mónico. Un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a, b y c son números reales diferentes de cero factoriza como un producto de dos polinomios lineales con coeficientes reales si y solo si b 2 4ac es un número real. De lo contrario decimos que es irreducible sobre el conjunto de los números reales. La factorización tiene la forma: ax 2 +bx+c = (mx+t)(nx+w) para m,n,t,w números reales Fórmula para factorizar un polinomio de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Si b 2 4ac es un número real, entonces ( )( ) ax 2 +bx+c = a x b+ b 2 4ac x b b 2 4ac 2a 2a Página anterior próxima página Página 7

8 Factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Ejemplo: Factorice el polinomio 15x 2 17x 4 Note que 15 x }{{} 2 17x 4. Al sustituir a = 15, b = 17 y c = 4 en la fórmula de la página }{{} }{{} a b c anterior obtenemos: 15x 2 17x 4 = 15 ( 17)+ ( 17) x 2 4(15)( 4) ( 17) ( 17) 2(15) x 2 4(15)( 4) 2(15) } {{ } } {{ } 4/3 1/5 ( 15x 2 17x 4 = 15 x 4 )( x 1 ) 3 5 ( = (3)(5) x 4 )( x+ 1 ) 3 5 ( = (3) x 4 ) ( (5) x+ 1 ) 3 5 = (3x 4)(5x+1) Página anterior próxima página Página 8

9 Factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c La fórmula de factorización utilizada en el ejemplo anterior se puede evitar y utilizar lo que conocemos como el. Cuándo puedo utilizar el? Un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a, b y c son enteros factoriza utilizando el método de tanteo si y solo si b 2 4ac es un número racional. En forma general el tanteo se efectuaría de la siguiente manera: ax 2 +bx+c = (mx+t)(nx+w) donde a = mn, c = tw y b = mw +tn. Además, m, n, t y w tienen que ser números enteros. Para facilitar este tipo de factorización dividimos el estudio en polinomios Mónicos y No Mónicos, es decir, en polinomios de la forma x 2 +bx+c o ax 2 +bx+c donde a 0, b y c números enteros. Antes de comenzar con los diferentes casos, veamos un ejemplo donde apliquemos la técnica de tanteo. Página anterior próxima página Página 9

10 Ejemplo: Factorice el polinomio 6x 2 19x 7 Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Solución: Note que ( 19) 2 4(6)( 7) = 23, esto implica que el polinomio factoriza tanteando como un producto de dos factores lineales, es decir, donde 6 = mn, 7 = tw y 19 = mw +tn. 6x 2 19x 7 = (mx+t)(nx+w) En otras palabras necesitamos encontrar dos enteros m, n que su producto sea 6 y dos enteros t y w que su producto sea -7 de tal manera que 19 = mw +tn. Esta es la razón por la cuál le llamamos el método de tanteo, ya que se requiere probar con diferentes valores. Utilizando m = 3, t = 1, n = 2 y w = 7, note que 6 x }{{} 2 19 x 7 = ( 3 }{{} }{{} }{{} mn mw+nt tw m x+ 1 }{{} t )( 2 Por lo tanto, la factorización es: 6x 2 19x 7 = (3x+1)(2x 7) x 7) }{{} }{{} n w Página anterior próxima página Página 10

11 Polinomio de la Forma x 2 +bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Como factorizar un polinomio de la forma x 2 + bx + c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x 2 +bx+c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n tal que su producto sea c y la suma de ellos dos sea igual a b. Luego la factorización tendría la forma x 2 +bx+c = (x+m)(x+n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio m n mn m + n Factorización x 2 +8x (x+5)(x+3) x 2 +13x (x+12)(x+1) t 2 +9t (t+6)(t+3) y 2 +36y (y +24)(y +12) Página anterior próxima página Página 11

12 Polinomio de la Forma x 2 +bx c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Como factorizar un polinomio de la forma x 2 + bx c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x 2 +bx c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n con m > n tal que su producto sea c y la diferencia (m n) de ellos dos sea igual a b. Luego la factorización tendría la forma x 2 +bx c = (x+m)(x n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio m n mn m n Factorización x 2 +10x (x+12)(x 2) x 2 +17x (x+20)(x 3) t 2 +4t (x+7)(x 3) y 2 +13y (y +15)(y 2) Página anterior próxima página Página 12

13 Polinomio de la Forma x 2 bx+c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Como factorizar un polinomio de la forma x 2 bx + c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x 2 bx+c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n tal que su producto sea c y la suma de ellos dos sea igual a b. Luego la factorización tendría la forma x 2 bx+c = (x m)(x n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio m n mn m + n Factorización x 2 8x (x 5)(x 3) x 2 13x (x 12)(x 1) t 2 9t (t 6)(t 3) y 2 36y (y 24)(y 12) Página anterior próxima página Página 13

14 Polinomio de la Forma x 2 bx c Introducción a la factorización de polinomios de la forma ax 2 + bx + c Forma x 2 + bx + c Forma x 2 + bx c Forma x 2 bx + c Forma x 2 bx c Como factorizar un polinomio de la forma x 2 bx c donde b y c son enteros positivos? Si el polinomio tiene la forma x 2 bx c donde b y c son enteros positivos, entonces necesitamos encontrar dos enteros positivos m y n con m > n tal que su producto sea c y la diferencia (m n) de ellos dos sea igual a b. Luego la factorización tendría la forma x 2 bx c = (x m)(x+n) Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Polinomio m n mn m n Factorización x 2 10x (x 12)(x+2) x 2 17x (x 20)(x+3) t 2 4t (x 7)(x+3) y 2 13y (y 15)(y +2) Página anterior próxima página Página 14

15 Forma ax 2 bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 + bx + c Ejemplos Polinomio de la Forma ax 2 bx+c donde a,b,c son números enteros Cómo factorizar un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a,b,c son números enteros? El factorizar un polinomio No Mónico de la forma ax 2 +bx+c requiere un poco más de trabajo, especialmente, cuando los valores de a, b, c son números enteros grandes. Tenemos dos opciones para factorizar un polinomio cuadrático No Mónico. Opción 1: Utilizar la fórmula: ax 2 +bx+c = a ( x b+ b 2 4ac 2a )( x b b 2 4ac 2a ) Opción 2: : Encontrar enteros m,n,t,w tal que mn = a, tw = c y mt+nw = b. Luego la factorización tiene la forma: ax 2 +bx+c = (mx+t)(nx+w) Veamos algunos ejemplos utilizando la opción 2:. Página anterior próxima página Página 15

16 Forma ax 2 bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 + bx + c Ejemplos Ejemplos: Factorización de polinomios de la forma ax 2 +bx+c Antes de presentar los ejemplos recordemos los pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a,b,c son números enteros. Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 +bx+c donde a,b,c son números enteros Pasos 1: Verificar si el polinomio tiene una constante como factor común. De ser asi, se factoriza y se le aplica el paso dos al polinomio cradrático que obtenemos de la factorización. Pasos 2: Verificar que b 2 4ac sea un número racional. De no serlo se concluye que no se puede factorizar utilizando coeficientes enteros, o sea, es irreducible sobre los números enteros. Pasos 3: Encontrar enteros m,n,t,w tal que mn = a, tw = c y mw +nt = b. Luego la factorización tiene la forma: a x }{{} 2 + b x+ c = (mx+t)(nx+w) }{{} }{{} mn mw+nt tw Página anterior próxima página Página 16

17 Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios Forma ax 2 bx + c, (a > 0) Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax 2 + bx + c Ejemplos Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mw + tn (mx + t)(nx + w) 14x 2 +23x (2x+3)(7x+1) 8x 2 23x (x 4)(8x+9) 48x 2 136x (12x+5)(4x 13) 42x x ( 6x+1)(7x 30) 9x 2 +6x (3x+1)(3x+1) 22x 2 +37x ( 11x+2)(2x 3) 16x 2 72x (4x 1)(4x 17) 5x 2 +28x ( x+5)(5x 3) Página anterior próxima página Página 17

18 Ejercicios de Práctica Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Factorice los siguientes polinomios Mónicos Polinomio m n Factorización x 2 +7x+6 x 2 +2x 15 t 2 7t+12 y 2 8y 33 x 2 +25x+100 x 2 +2x 35 t 2 22t+21 y 2 70y 144 Solución de los problemas Página anterior próxima página Página 18

19 Ejercicios de Práctica Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Factorice los siguientes polinomios Mónicos Polinomio m n Factorización x 2 +7x+6 x 2 +2x 15 t 2 7t+12 y 2 8y 33 x 2 +25x+100 x 2 +2x 35 t 2 22t+21 y 2 70y 144 Solución de los problemas Página anterior próxima página Página 19

20 Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mw + tn (mx + t)(nx + w) 8x 2 53x 21 7x 2 +10x 8 3x 2 4x+2 6x 2 +7x 20 12x 2 x 6 12x 2 29x+15 21x 2 +41x+10 4x 2 20x+25 Respuestas a los problemas Página anterior próxima página Página 20

21 Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mw + tn (mx + t)(nx + w) 8x 2 53x 21 7x 2 +10x 8 3x 2 4x+2 6x 2 +7x 20 12x 2 x 6 12x 2 29x+15 21x 2 +41x+10 4x 2 20x+25 Respuestas a los problemas Página anterior próxima página Página 21

22 Post-prueba Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1 x 2 +3x+2 2 x 2 10x+16 3 x 2 +9x 36 4 x 2 2x 8 5 x 2 +3x+2 6 2y 3 +12y 2 +18y 7 10x 2 +11x+3 8 7w 2 +20w x 15x x 2 39xy +6y t 4 246t 3 63t 2 12 (x+3) 2 +3(x+3) 4 Solución de la Post-prueba Página anterior próxima página Página 22

23 Post-prueba Ejercicios de Práctica (Polinomios Mónicos) Ejercicios de Práctica (Polinomio No Mónico) Post-prueba Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios. Factorice completamente los siguientes polinomios. 1 x 2 +3x+2 2 x 2 10x+16 3 x 2 +9x 36 4 x 2 2x 8 5 x 2 +3x+2 6 2y 3 +12y 2 +18y 7 10x 2 +11x+3 8 7w 2 +20w x 15x x 2 39xy +6y t 4 246t 3 63t 2 12 (x+3) 2 +3(x+3) 4 Solución de la Post-prueba Página anterior próxima página Página 23

24 Solución de la Pre-prueba Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) x 2 +3x+2 = (x+2)(x+1) (2) x 2 10x+16 = (x 8)(x 2) (3) x 2 +9x 36 = (x+12)(x 3) (4) x 2 2x 8 = (x 4)(x+2) (5) x 2 20x+100 = (x 10)(x 10) = (x 10) 2 (6) 2y 3 +12y 2 +18y = 2y(y +3)(y +3) = 2y(y +3) 2 (7) 10x 2 +11x+3 = (2x+1)(5x+3) (8) 7w 2 +20w 3 = (w +3)(7w 1) (9) 6 x 15x 2 = (3 5x)(2+3x) (10) 33x 2 39xy +6y 2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y) (11) 24t 4 246t 3 63t 2 = 3t 2 (4t+1)(2t 21) (12) (x+3) 2 +3(x+3) 4 = ((x+3)+4)((x+3) 1) = (x+7)(x+2) Regresar a la Pre-prueba Página anterior próxima página Página 24

25 Solución de la Pre-prueba Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) x 2 +3x+2 = (x+2)(x+1) (2) x 2 10x+16 = (x 8)(x 2) (3) x 2 +9x 36 = (x+12)(x 3) (4) x 2 2x 8 = (x 4)(x+2) (5) x 2 20x+100 = (x 10)(x 10) = (x 10) 2 (6) 2y 3 +12y 2 +18y = 2y(y +3)(y +3) = 2y(y +3) 2 (7) 10x 2 +11x+3 = (2x+1)(5x+3) (8) 7w 2 +20w 3 = (w +3)(7w 1) (9) 6 x 15x 2 = (3 5x)(2+3x) (10) 33x 2 39xy +6y 2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y) (11) 24t 4 246t 3 63t 2 = 3t 2 (4t+1)(2t 21) (12) (x+3) 2 +3(x+3) 4 = ((x+3)+4)((x+3) 1) = (x+7)(x+2) Regresar a la Pre-prueba Página anterior próxima página Página 25

26 Solución Ejercicios de Práctica Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice los siguientes polinomios Mónicos Polinomio m n Factorización x 2 +7x (x+6)(x+1) x 2 +2x (x+5)(x 3) t 2 7t (t 4)(t 3) y 2 8y (y 11)(y +3) x 2 +25x (x+20)(x+5) x 2 +2x (x+7)(x 5) t 2 22t (t 21)(t 1) y 2 70y (y 72)(y +2) Regresar a los problemas de práctica Página anterior próxima página Página 26

27 Solución Ejercicios de Práctica Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice los siguientes polinomios Mónicos Polinomio m n Factorización x 2 +7x (x+6)(x+1) x 2 +2x (x+5)(x 3) t 2 7t (t 4)(t 3) y 2 8y (y 11)(y +3) x 2 +25x (x+20)(x+5) x 2 +2x (x+7)(x 5) t 2 22t (t 21)(t 1) y 2 70y (y 72)(y +2) Regresar a los problemas de práctica Página anterior próxima página Página 27

28 Solución de los ejercicios de práctica Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mt + nw (mx + t)(nx + w) 8x 2 53x (8x+3)(x 7) 7x 2 +10x (7x 4)(x+2) 3x 2 4x+2 Irreducible 6x 2 +7x (3x 4)(2x+5) 12x 2 x (3x+2)(4x 3) 12x 2 29x (3x 5)(4x 3) 21x 2 +41x (3x+5)(7x+2) 4x 2 20x (2x 5)(2x 5) Regresar a los problemas Página anterior próxima página Página 28

29 Solución de los ejercicios de práctica Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice los siguientes polinomios de la forma ax 2 +bx+c (a 0) Polinomio m n t w mn tw mt + nw (mx + t)(nx + w) 8x 2 53x (8x+3)(x 7) 7x 2 +10x (7x 4)(x+2) 3x 2 4x+2 Irreducible 6x 2 +7x (3x 4)(2x+5) 12x 2 x (3x+2)(4x 3) 12x 2 29x (3x 5)(4x 3) 21x 2 +41x (3x+5)(7x+2) 4x 2 20x (2x 5)(2x 5) Regresar a los problemas Página anterior próxima página Página 29

30 Solución de la Post-Prueba Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) x 2 +3x+2 = (x+2)(x+1) (2) x 2 10x+16 = (x 8)(x 2) (3) x 2 +9x 36 = (x+12)(x 3) (4) x 2 2x 8 = (x 4)(x+2) (5) x 2 20x+100 = (x 10)(x 10) = (x 10) 2 (6) 2y 3 +12y 2 +18y = 2y(y +3)(y +3) = 2y(y +3) 2 (7) 10x 2 +11x+3 = (2x+1)(5x+3) (8) 7w 2 +20w 3 = (w +3)(7w 1) (9) 6 x 15x 2 = (3 5x)(2+3x) (10) 33x 2 39xy +6y 2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y) (11) 24t 4 246t 3 63t 2 = 3t 2 (4t+1)(2t 21) (12) (x+3) 2 +3(x+3) 4 = ((x+3)+4)((x+3) 1) = (x+7)(x+2) Regresar a la Post-prueba Página anterior próxima página Página 30

31 Solución de la Post-Prueba Solución de la Pre-prueba Solución problemas de práctica Factorice completamente los siguientes polinomios. (1) x 2 +3x+2 = (x+2)(x+1) (2) x 2 10x+16 = (x 8)(x 2) (3) x 2 +9x 36 = (x+12)(x 3) (4) x 2 2x 8 = (x 4)(x+2) (5) x 2 20x+100 = (x 10)(x 10) = (x 10) 2 (6) 2y 3 +12y 2 +18y = 2y(y +3)(y +3) = 2y(y +3) 2 (7) 10x 2 +11x+3 = (2x+1)(5x+3) (8) 7w 2 +20w 3 = (w +3)(7w 1) (9) 6 x 15x 2 = (3 5x)(2+3x) (10) 33x 2 39xy +6y 2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y) (11) 24t 4 246t 3 63t 2 = 3t 2 (4t+1)(2t 21) (12) (x+3) 2 +3(x+3) 4 = ((x+3)+4)((x+3) 1) = (x+7)(x+2) Regresar a la Post-prueba Página anterior próxima página Página 31