Lección 5: Factorización de Trinomios Cuadráticos de la forma ax 2 + bx + c con a 1. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

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Ricardo Villalobos Pérez
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1 Lección 5: Factorización de Trinomios Cuadráticos de la forma ax 2 + bx + c con a 1 Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

2 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Factorizarán trinomios cuadráticos de la forma ax 2 + bx + c, donde a 1

3 Introducción En la lección anterior estudiamos trinomios cuadráticos de la forma ax 2 + bx + c donde a = 1. En esta lección estudiaremos trinomios cuadráticos donde a 1, como los siguientes: x 2 + x x 2-6x x 2 + 2xy + 27y 2 6x xy + 8y 2 Para factorizar este tipo de trinomios cuadráticos usaremos el mismo método que aplicamos en la lección anterior. Veamos el proceso en la próximas pantallas.

4 Proceso para factorizar Tinomios Cuadráticos

5 Pasos a seguir para factorizar Trinomios Cuadráticos x 2-2x Buscar dos factores del primer término: ( x. x) 2. Buscar dos factores del tercer término:( -5. 1) ó (5. -1). Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término: (x. 5) + (x. -1) = 15x + -x = 14x (x. -5) + (x. 1) = -15x + x = -14x (x. -1) + (x. 5) = -x + 5x = 2x (x. 1) + (x. -5) = x + -5x = -2x Observa que la última combinación de factores es la que produce el término del medio: -2x

6 Demostración del proceso

7 Ejemplo 1:Factoriza el Trinomio Cuadrático 12x 2 + 2x + 10 = (x + 2) (4x + 5) 12x 2 + 2x ( x 2) ( ) 4x 2 5 8x + 15x 2x Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios. Paso 1: Buscar dos factores del primer término. Paso 2: Buscar dos factores del tercer término. Paso : Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.

8 Ejemplo 2:Factoriza el Trinomio Cuadrático x x 8 = (x 2) (x + 4) x x ( x -2 ) ( ) x 4-2x + 12x 10x Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios. Paso 1: Buscar dos factores del primer término. Paso 2: Buscar dos factores del tercer término. Paso : Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.

9 Reflexión Recuerda que al tantear las combinaciones de posibles factores debes considerar los signos de los términos del polinomio. En el ejemplo anterior, x x 8, al tantear otras posibilidades tenemos: x x 8 x x 8 x x 8 x -8-8x x 8 8x x 2 2x x 1 + x x x x x -5x 5x -10x Observa que ninguna de estas posibilidades nos da el segundo término: 10x.

10 Ejemplo : Factoriza el Trinomio Cuadrático 0x 2 + 2xy 11y 2 = (10x + 11y) (x y) 0x 2 + 2xy 11y x ( 11y) ( x -y ) xy + -10xy 2xy Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios. Paso 1: Buscar dos factores del primer término. Paso 2: Buscar dos factores del tercer término. Paso : Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.

11 Ejemplo 4: Factoriza: 6x 2 + 2xy + 20y 2 = (2x + 5y) (x + 4y) 6x 2 + 2xy + 20y 2 1 2x 4 2 5y 15xy 5 x 4y + 8xy 2xy

12 Ejemplo 5: Factoriza: 18x 6 57x 5 + 0x 4 Este polinomio no es un trinomio cuadrático, sin embargo puede factorizarse por factor común. El factor común es x 4. Sacamos el factor común y tenemos: 18x 6 57x 5 + 0x 4 = x 4 (6x 2 19x + 10) Ahora podemos factorizar el polinomio que está dentro del paréntesis ya que éste es un trinomio cuadrático. Veamos

13 Ejemplo 5: Factoriza: 18x 6 57x 5 + 0x 4 18x 6 57x 5 + 0x 4 = x 4 (6x 2 19x + 10) 6x 2 19x ( x -2) ( 2x ) -5-4x + -15x -19x Sacamos factor común primero y tenemos: Factorizando el trinomio cuadrático tenemos: Recuerda que debemos añadir el factor común que habíamos sacado previamente. Así que la factorización final es: 18x 6 57x 5 + 0x 4 = x 4 (x 2) (2x 5 )

14 Ejemplo 6: Factoriza: 5x 2 + x + 2 5x 2 + x x x x 5x 7x Al tratar esta combinación de factores no obtenemos el término del medio así que tratamos otra posibilidad. Veamos en la próxima pantalla.

15 Ejemplo 6: Factoriza: 5x 2 + x + 2 5x 2 + x x x x 10x 11x Al tratar esta otra posibilidad tampoco obtenemos el término del medio. Como no hay ninguna otra posibilidad, decimos que este polinomio es primo. 5x 2 + x + 2 = Polinomio Primo

16 Ejercicios de Práctica

17 Instrucciones Factoriza completamente los polinomios a continuación en tu libreta. Después de hacer el ejercicio, haz clic para ver resultados.

18 Factoriza Completamente: x 2-6x - 72 = Se saca el como factor común primero y obtenemos: (x - 6) (x + 4) x 2-1x + 10 = 8x 2-51x + 18 = (x - 10) (x - 1) (8x - ) (x - 6) 6x 2-11xy 10y 2 = (x + 2y) (2x 5y)

19 Factoriza Completamente: 2x 2-5x 12 = (2x + ) (x - 4) 2x 2 + 6x + 5 = No se puede factorizar 12x 2-19xy + 5y 2 = (4x - 5y) (x - y) 24x x 6 = 12 (2x - 1) (x + )

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