Lección 1.2: Factorización de polinomios

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Gabriel Escobar Miranda
hace 6 años
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1 Unidad 8.4: Expresiones polinómicas Tema 1: Propiedades de los polinomios Lección 1.2: Factorización de polinomios Qué es factorización? La factorización es el proceso por el cual se consigue una expresión equivalente utilizando la operación matemática de multiplicación. En otras palabras, es lo opuesto de la propiedad distributiva. Veamos un ejemplo de propiedad distributiva y uno de factorización, para ver la relación entre ambas. Propiedad distributiva: 2 (x + 6) = 2x + 12 Factorización: 2x + 12 = 2 (x + 6) Como puedes ver, siempre que realizamos una factorización el resultado incluye un producto o multiplicación de factores. Ahora bien, existen varios tipos de factorizaciones. A continuación, estudiaremos ejemplos de cada tipo de factorización. Factorización por factor común En la factorización por factor común, buscamos el factor mayor que los términos del polinomio tienen en común. Por lo general, podemos buscar este factor mayor común de forma mental. Sin embargo, de tener dificultades podemos usar la factorización prima de cada término, ello nos facilitará la búsqueda. Veamos un ejemplo: 10m m 2 5 m El factor común es 5, el factor que se repite. 1

2 10m + 15 = 5(2m + 3) Veamos otro ejemplo: 27x + 9y 9 27x x 9y 3 3 y El factor común es x + 9y 9 = 9 (3x + y 1) Recuerda, las variables también pueden ser factores comunes, si está la misma cantidad y tipo de variable en cada término del polinomio. Siempre puedes comprobar una factorización de factor común utilizando la propiedad distributiva. Factorización de diferencia de cuadrados En la factorización de diferencia de cuadrados lo primero que hacemos es identificar la forma de un binomio cuadrado perfecto, a 2 b 2. Donde, a y b son números o variables distintos de cero. Veamos un ejemplo: x 2 y 2 su forma factorizada es (x y)(x + y) Como puedes ver lo que hacemos es que creamos el producto de ambos cuadrados por separado. Ambos paréntesis son iguales, excepto su operación matemática. Veamos otro ejemplo: La factorización prima te puede ayudar: 4x 2 16y 2 4x 2 = 2 2 x x 16y 2 = 4 4 y y (2x 4y)(2x + 4y) 2

3 Factorización de binomio al cuadrado En esta factorización obtenemos un binomio elevado al cuadrado. Cuándo utilizamos este tipo de factorización? Cuando tengamos un trinomio de la forma: a 2 + 2ab + b 2, el resultado de la factorización es un binomio elevado al cuadrado de la forma (a + b) 2. Utilicemos este tipo de factorización, veamos un ejemplo: x 2 + 2xy + y 2 Los monomios de mayor grado tienen un coeficiente igual a 1, que por regla general no se escribe. (x + y) 2 forma factorizada Comprobar si estamos correctos en la forma factorizada es sencillo, usas la propiedad distributiva y debes obtener la expresión del ejercicio original. Hagámoslo con el ejemplo anterior. Factorización de un trinomio 3

4 En esta factorización obtenemos el producto de dos paréntesis, y cada uno de los paréntesis contiene un binomio diferente. Cuándo utilizamos este tipo de factorización? Cuando tengamos un trinomio de la forma x 2 + bx + c, la factorización que se obtiene está formada por dos binomios distintos. Veamos un ejemplo: x x + 10 Recuerda que la variable del termino principal tiene un coeficiente 1, que por regla general no se escribe. Para factorizar debes dividir cada término lateral, es decir: x 2 = x x 10 = 10 1 Ahora creamos los dos paréntesis con ambas combinaciones: (x + 10)(x + 1) Comprobar si estamos correctos en la forma factorizada es sencillo, usas la propiedad distributiva y debes obtener la expresión del ejercicio original. Hagámoslo con el ejemplo anterior. 4

5 Existen muchas otras formas de factorización, pero las estudiaremos más adelante. Por ahora, practicar estas formas de factorización es la clave. En adición, las formas de factorizar nos ayudan a encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática. Recordemos que encontrar las soluciones de una ecuación es buscar aquellos valores de las variables que hacen cierta la expresión algebraica. Veamos un ejemplo: x 2 + 3x 10 = 0 Primero factorizamos, para esto buscamos qué productos nos da el tercer término: 10 = (5)( 2) 10 = ( 5)(2) Ahora bien, cuál es la correcta? La combinación correcta es aquella que al sumar los factores se obtenga el coeficiente del segundo término del trinomio, en este caso 3. (5) + ( 2) = 3 ( 5) + (2) = 3 La correcta es: (5) + ( 2) = 3 Entonces, la factorización es: (x + 5)(x 2) = 0 Para encontrar las soluciones, lo que tenemos que hacer es igualar cada paréntesis de la forma factorizada a 0. Luego, despejar para la variable. Las soluciones son: 5 y 2. x + 5 = 0 x 2 = 0 x = 5 x = 2 5

6 Para comprobar que ambas sean soluciones reales del trinomio, solo tenemos que sustituir el valor de las soluciones en la variable. Veamos la comprobación; el resultado de la comprobación siempre es cero. x = 5 x 2 + 3x 10 = ( 5) 2 + 3( 5) 10 = = 0 x = 2 x 2 + 3x 10 = (2) 2 + 3(2) 10 = = 0 Significa que ambas son soluciones reales del trinomio. Para ver que todo tiene conexión, te recomiendo que realices las actividades de cada lección. Verás cómo podemos aplicar los conceptos estudiados en esta unidad. Si deseas conocer más sobre las lecciones puedes pulsar en los siguientes enlaces: Factorización cuadrática Referencias Foster, A., Gordon, B., Winters, L., Rath, J. & Gell. J. (1992). Algebra 1: Applications and Connections. USA: Glencoe McGraw-Hill. Bittinger, M., Ellenbogen, D. & Johnson, B. (2010). Pre-álgebra. México: Pearson Educación (5ta edición). 6

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