SUBPROYECTO: ROMPECABEZAS ÁLGEBRAICO O EL ÁLGEBRA CON PAPELITOS Y CUBOS (I)

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Adrián Hernández Lozano
hace 7 años
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1 GUIA DE TRABAJO # 19 PROYECTO: MAGIA MATEMÁTICA SUBPROYECTO: ROMPECABEZAS ÁLGEBRAICO O EL ÁLGEBRA CON PAPELITOS Y CUBOS (I) ESTRATEGIA: OBJETIVO: ELABORACIÓN DEL MATERIAL Y FACTORIZACIÓN. ELABORAR Y RECONOCER EL MATERIAL. RESPONSABLE: JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ MATERIALES: CARTULINA PLANA O PAPEL SILUETA DE DIFERENTES COLORES, LÁPIZ O MARCADOR, REGLA Y TIJERAS. El álgebra con papelitos y cubos. Objetivo: Concretizar lo abstracto del álgebra en el trabajo con papelitos (áreas): Armando y desordenando rompecabezas. Estrategia Nº 1: Construcción del material didáctico. Material recomendado: - Papel silueta de colores. - Icopor o Madera. - Marcadores diferentes. - Reglas. - Tijeras. Actividad: 1) Construya y recorte un cuadrado que será tomado como unidad Pasos: (1). Cuyo lado mide 1 entonces su área = Lado x lado =1x1= 1m

2 1 Recuerde: Área de un cuadrado = Lado x Lado = Área de un rectángulo = base x altura 2) Tomando como altura la unidad y como base o largo una medida cualquiera (Llamada X) construimos un Rectángulo cuya área será: Área = Largo x ancho Área = X.1 Área = X X 1 X 3) Construimos otro Rectángulo, cuya altura es la unidad (1) y cuya base es cualquier otra medida diferente de X para que al calcular su área obtenemos otra variable (Podría ser Y) Y 1 Área = Base X altura Y Área = Y.1 Área = Y 4. Podemos continuar así construyendo tantos Rectángulos como variables desee obtener cuidando que la altura sea siempre la unidad. (1) Z 1 U 1

3 Z U Área = Z.1 Área = Z Área = Base x altura Área = U.1 Área = U 5. Ahora nos disponemos a construir cuadrados cuya medida del lado corresponde a los Rectángulos ya construidos. X Y Z X Y Z 6. Construimos Rectángulos cuyas bases alturas (Largos y anchos) correspondan a las Variables (Rectángulos) previamente construidos: X XY XZ X YZ Y Y Z Z Área = Largo x ancho Área = Base x altura Área = Base x altura Área = Y. X A = Z. X A = Z. Y Área = XY A = X. Z A = YZ

4 7. Teniendo como base las figuras planas ya construidas podemos formar los cubos y no cubos (Paralelepípedos) que ilustra la figura. Volumen = Largo x ancho x altura V = 1 x 1 x 1 V = X.X.X V = Largo x ancho x altura V = 1 V = (arista) V = Y.Y.X V = V = XYZ Estrategia Nº 2: Factorización de polinomios. Para factorizar un polinomio dado proceda así: 1º) Tome dos tiras o cintas y en una tabla o en el suelo forme un plano cartesiano con las siguientes indicaciones:

5 Como puede observar, las cantidades positivas las podrá ubicar en el primer o tercer cuadrante mientras que las cantidades negativas podrá ubicarlas en el segundo o cuarto cuadrante. 2º) Seleccione las áreas (cuadrados o rectángulos) o los volúmenes (cubos o no cubos) dados en el polinomio y disponerlos (armar el rompecabezas) hasta obtener un Rectángulo o cuadrado (cubo o no cubo). 3º) Su factorización será el área (o volumen) total de la figura (poliedro) formado. Veamos algunos ejemplos: A) Factorizar o descomponer en dos factores: +XY XY a) Tomamos las áreas correspondientes A y XY Área = base x altura A = (x+y).x b) Con todas ellas tratamos de armar un cuadrado o Rectángulo. A = x (x+y) c) La factorización será el área total de la figura que resulta. Entonces +XY = X (X+Y) Correspondiente al factor común.

6 B) Factorar: + 4Y + 4 = Como todas las piezas son positivas debo armar con ellas un cuadrado o Rectángulo en el I o III cuadrante. Se formo un cuadrado, lo cual indica que se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Ahora al obtener su área: A = base x altura o A = lado x lado + 4y + 4 = (y+2) (y + 2) + 4y + 4 = (y + 2) C) Descomponer en dos factores: + 5X + 6 1) Tomamos las áreas correspondientes a ; 5 veces X Y 6 veces 1. 2) Intentamos armar o construir un cuadrado o Rectángulo.

7 3) El resultado de la factorización será el área total de la figura que resultó. Se obtiene un rectángulo de dimensiones (x+3) y (x+2), lo cual indica que se trata de un Trinomio de la forma + bx + c. Luego: + 5x + 6 = base x altura + 5x + 6 = (x+3) (x+2) D) Factorar: 2 + 7x + 5 Con este ejercicio, el estudiante va aumentando el grado de complejidad en el raciocinio que debe aplicar para poder armar el cuadrado, rectángulo o cubo.

8 Se obtiene un rectángulo de base: 2x+5 y altura: x+1. Luego se área y factorización es: 2 + 7x + 5 = (2x + 5) (x + 1) Nota: - Si al factorizar un Trinomio, se obtiene como figura final un cuadrado entonces se trata de un trinomio cuadrado perfecto. - Si se obtiene un Rectángulo con un solo cuadrado en su interior, se trata de un Trinomio de la forma - Si se obtiene un Rectángulo con varios cuadrados en su interior se trata de un trinomio de la forma E) Factorizar: - 4 1) Selecciono las áreas correspondientes y las ubico en el plano cartesiano, intentando formar un cuadrado o rectángulo. 2) Si observas bien, se hace necesario completar el cuadrado con 2 piezas X positivas, y 2 piezas negativas, que se anularían entre ellas mismas.

9 3) Luego - 4 = (x+2) (x-2) F) Factorizar: - x + 1 1) Selecciono las áreas ; 2x y 1 y ubíquelas en el cuadrante correspondiente tratando de formar un cuadrado o rectángulo. 2) Obtenemos un cuadrado, lo que indica que es un trinomio cuadrado perfecto. ó - 2x + 1 = (x-1) (x-1) G) Factorizar: - 2x + 1 = (x-1) 1) Como hay piezas negativas, debo utilizar cuadrante II ó IV e intentar formar un cuadrado o rectángulo. 2) Si observas bien, tendríamos que completar la figura agregando un número par de piezas (es este caso 2 veces) y; una positiva y otra negativa que se anulan así:

10 Luego: (2Y + 1) (Y 2) EVALUACIÓN Y SUGERENCIAS:

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