x Raíces Raíces = 0 Raíces = 3x Raíz = = 2x = 6x = 0 m) (triple), = 5x n) 5x 3x IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Transcripción

1 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso: a) 8 ) Raíz {} b) ) Raíz {} c) ) Raíz {} d) a a e) Raíz Raíz f) 8 g) h) i) Raíz Raíz 0 j) ) Raíces { 0,} Raíz k) 8 ) Raíces {0,} 8 Raíz l) ) Raíces {0 doble), } m) Raíces 0, n) Raíces 0 triple), o) p) Raíces 0, Raíces 0 q) ) Raíces {0 doble), }, r) ) Raíces { 0 doble), } s) ) Raíces { 0 triple), }

2 . Factoriza los siguientes polinomio a) 0 º) Hallamos las raíces del polinomio ) 0 0 º) Factorización: 0 b) 8 º) Hallamos las raíces del polinomio ) 0 8 º) Factorización: 9 8 c) 9 º) Etraemos factor común º) Hallamos las raíces del polinomio ) ) ) 0 º) Factorización: 9 d) º) Hallamos las raíces del polinomio ) 0 º) Factorización: TEMA : POLINOMIOS Y ios e indica las raíces en cada caso: ) ) } {, Raíces 9 8) ) ) 9 } 9, { Raíces ) 9 ) ) ) ) }, { Raíces ), Raíces S Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B 9

3 e) º) Hallamos las raíces del polinomio ) 0 º) Factorización: ) es irred f) 0 º) Hallamos las raíces del polinomio ) 0 0 º) Factorización: ) 0 g) º) Hallamos las raíces del polinomio ) 0 º) Factorización: h) º) Hallamos las raíces del polinomio ) 0 º) Factorización: TEMA : POLINOMIOS Y no tie reducible ) ) ) }, { Raíces ), Raíces ) ), Raíces S Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B tiene solución real 9 9 0

4 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B i) 8 º) Etraemos factor común 8 ) º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio ) 0 ) ) ) ) 9 º) Factorización: 8 ) ) ) Raíces { 0 doble),, } j) º) Etraemos factor común º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio ) º) Factorización: ) ) ) ) ) ) ) Raíces 0,, k) 9 º) Etraemos factor común 9 )

5 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio ) ) ) ) ) º) Factorización: 9 ) ) 9 ) Raíces 0 triple),, l) º) Etraemos factor común ) º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio ) 0 ) ) ) ) º) Factorización: ) ) ) Raíces { 0,, }

6 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B. Factoriza los siguientes polinomios: a) 8 Posibles raíces enteras {divisores de 8} {,,, 8} es raíz ) es factor y P ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 8 0 ) ) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, 8 ) ) ) ) ) P ) ) ) ) Raíces {,,} b) Posibles raíces enteras {divisores de } {,,,,, } 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado:

7 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B ) ) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, ) ) ) ) ) P ) ) ) ) Raíces {,,} c) 8 Posibles raíces enteras {divisores de 8} {,,,, 9, 8} es raíz ) es factor y P ) ) 9) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar 9) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: ) Para factorizar 9) también podemos utilizar las identidades notables: 9 ) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, 8 ) 9 ) ) ) P ) ) ) Raíces {, doble)}

8 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B d) Posibles raíces enteras {divisores de } {,,, } 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f ) irreducible) resolvemos la ecuación de e º grado: 9 0 Luego, el proceso que hemos seguido ha h sido, ) ) ) ) ) ) P ) ) ) Raíces,, ) e) Posibles raíces enteras {divisores de } {,,,,, } 0 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 8

9 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B 0 ) ) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, ) ) ) ) ) P ) ) ) ) Raíces {,, } f) 9 8 Sacamos factor común ) Ahora continuamos factorizando el polinomio P ) Posibles raíces enteras {divisores de } {,,, } es raíz ) es factor y P ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para factorizar ) utilizamos las identidades notables, en concreto, A B) A B) A B ) ) ) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, 8 ) ) ) ) ) ) P ) ) ) ) Raíces {,, } 9

10 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B g) Posibles raíces enteras {divisores de e } {,,,,, } 9 0 es raíz ) es factor y P ) ) 9 ) Finalmente, para buscar las raíces y factorizar f 9 ) irreducible) resolvemos la ecuación de e º grado: Luego, el proceso que hemos seguido ha h sido, ) 9 ) ) ) ) ) P ) ) ) Raíces,, 9 polinomio de º grado 9 ) h) 8 Posibles raíces enteras {divisores de } {,,, } es raíz ) es factor y P ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado:

11 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B Luego, el proceso que hemos seguido ha h sido, 8 ) P ) ) Raíces,, ) ) ) i) Posibles raíces enteras {divisores de } {,,, } 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 0 Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, ) no tiene solución real ) es irreducible ) ) ) ) P ) ) ) ) Raíces {, }

12 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B j) 9 8 Posibles raíces enteras {divisores de 8} {,,,, 9, 8} es raíz ) es factor y P ) ) 9 8) es raíz ) es factor y P ) ) ) 9) Finalmente, para factorizar 9) utilizamos las identidades notables, en concreto, 9) ) ) polinomio de º grado A B) A B) A B Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, 9 8 ) 9 8) ) ) 9) ) ) ) ) P ) ) ) ) ) Raíces {,,, } k) Posibles raíces enteras {divisores de } {,,, } 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) ) no tiene solución real ) es irreducible polinomio de º grado

13 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, ) ) ) P ) ) ) Raíces {, } ) l) 9 Posibles raíces enteras {divisores de } {,, } 9 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) 8 0 es raíz ) es factor y P ) ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: ) Para factorizar ) también podemos utilizar las identidades notables: ) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, 9 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) P ) ) ) Raíces { triple), }

14 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B m) 0 º) Etraemos factor común y tenemos: P ) 0 0) º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q ) 0) Posibles raíces enteras {divisores s de 0} {,,, 0} es raíz ) es factor y Q ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 8 0 ) ) 9 Luego, Q ) 0) ) ) ) º) Por tanto, 0 0) ) ) ) P ) ) ) ) Raíces { 0,,, } n) º) Etraemos factor común y tenemos: P ) ) º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q ) ). Posibles raíces enteras {divisores s de } { }

15 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B 0 es raíz ) es factor y Q ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: ) ) ) Otra forma de factorizar ) es darnos cuenta que es una identidad notable ) Luego, Q ) ) ) ) º) Por tanto, ) ) ) P ) ) ) Raíces { 0 doble),, doble) } o) º) Etraemos factor común y tenemos: P ) ) º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q ) ). Posibles raíces enteras {divisores de } {,,, }

16 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B 0 es raíz ) es factor y Q ) ) ) Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: polinomio de º grado 0 ) ) Luego, Q ) ) ) ) ) º) Por tanto, ) ) ) ) P ) ) ) ) Raíces { 0,,, } p) 0 0 º) Etraemos factor común y tenemos: P ) ) º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q ) 0 0) Posibles raíces enteras {divisores s de 0} {,,,,, 0,, 0} es raíz ) es factor y Q ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado:

17 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B 0 ) ) Luego, Q ) 0 0) ) ) ) º) Por tanto, ) ) ) ) P ) ) ) ) Raíces {0 doble),,, } q) º) Etraemos factor común y tenemos: P ) ) º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q ) ) Posibles raíces enteras {divisores s de } {,,,,, 8,, } es raíz ) es factor y Q ) ) 0 ) 0 es raíz ) es factor y Q ) ) ) ) Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 0 ) ) polinomio de º grado

18 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ) P ) ) ) ) ) Raíces { 0 doble),,,, } r) 8 º) Etraemos factor común y tenemos: P ) 8 8 ) º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q ) 8 Posibles raíces enteras {divisores s de } {,,,,, } ) Luego, Q ) ) ) polinomio de º grado ) Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 0 Luego, Q ) ) ) ) ) 8

19 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B º) Por tanto, P ) Q ) ) ) P ) ) ) Raíces 0,,, doble), s) 0 Posibles raíces enteras {divisores de } {,,, } Luego, P ) ) ) ) ) polinomio de º grado Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 0 no tiene solución real ) es irreducible P ) ) ) ) ) Raíces { doble),, } 9

20 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B t) º) Etraemos factor común y tenemos: P ) ) º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q ) ) Posibles raíces enteras {divisores s de }{,,,,, 9;, 8, } Luego, Q ) ) ) polinomio de º grado 9) Finalmente, factorizamos 9 ). Se trata de una identidad notable, 9 ) ) Luego, Q ) ) ) ) º) Por tanto, P P ) ) ) Raíces ) ) { 0 triple),,, doble)} Q ) ) ) ) u) 0 8 º) Etraemos factor común y tenemos: P ) 0 8 8) º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio Q ) 8) Posibles raíces enteras {divisores s de 8} {,,, 8} 0

21 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B es raíz ) es factor y Q ) ) ) 0 es raíz ) es factor y Q ) ) ) ) Finalmente, para buscar las raíces y factorizar ) irreducible) resolvemos la ecuación de º grado: 0 8 º) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, 0 ) ) 8 9 8) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) polinomio de º grado P ) ) ) Raíces { 0, triple), } v) ) ) Los dos polinomios son identidadeses notables. ) ) ) Por tanto, ) ) ) ) ) ) ) w) 0 ) ) 0 ) 0 ) ) 8 8 ) )

22 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B Por tanto, 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 0 )) ) 9 8 ) ) 0 ) ) ) 9 no tiene solución real ) es irreducible Por tanto, ) ) ) ) ) y) ) ) Los dos polinomios son irreducibles z) ) ) ) ) ) ) es irreducible 0 ) Por tanto, ) ) ) ) ) ) 9 ) ) ) ) )

23 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B. Factoriza los siguientes polinomios etrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades notables: a) 8) b) ) ) c) d) e) 80 ) ) ) f) g) 8 ) ) 9) ) h) 9 9) ) i) ) ) ) ) ) j) 9 9 ) 9 ) ) 9 ) ) ) k) 0 0 ) ) l) m) n) ) ) ) 8 8 ) ) ) o) 0 8) p) ) ) ) ) ) q) ) ) 9) 9) ) ) ) ) ) ) 9) r) 0 ) 8) 8) 8) 8) 8 ) s) ) ) ) ) ) 8 t) ) ) u) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) v) 0 0 ) ) w) )

24 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B. Factoriza completamente los siguientes polinomios: a) ) 0 ) ) ) ) ) ) Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible b) ) ) 0 ) ) 9 ) ) ) ) ) Por tanto, ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) ) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables. ) d) ) ) 8) ) ) Es irreducible 8 0 ) 8) ) 8) Por tanto, ) ) 8) ) ) ) ) 8) e) ) ) 9 ) ) es irreducible 0 ) ) 0

25 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B ) ) 9 ) Identidad notable Por tanto, ) ) 9) ) ) ) ) f) ) 9) ) ) ) 9 ) ) Por tanto, ) ) ) ) 9) ) ) ) ) ) g) 8) ) ) 8 ) Es irreducible 0 ) no tiene solución real ) ) ) ) Por tanto, 8) ) ) ) )[ ) )] ) ) ) ) h) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Por tanto, ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )[ ) )]

26 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B i) 9) ) 9 ) ) ) Por tanto, 9) ) ) ) ) ) ) j) ) ) ) ) ) 0 ) 9 8 ) ) ) Por tanto, ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) a a a) a) a a ) a a ) con a R k) ) ) l) ) ) m) 8 ) ) n) 8 ) ) o) ) ) p) ) ) q) ) ) ) r) 8) 8) ) s) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) )

27 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B. Halla el c.d. y el c. de: a) P ) ) ) y Q) ) ) ) c. d. ) ) c. ) ) ) b) P ) ) ) y Q ) ) ) c. d. ) c. ) ) ) c) P ) ) ) y Q ) 0 ) ) c. d. ) c. 0 ) ) ) d) P ) ) ) Q) 8 ) ) y R ) ) ) ) c. d. ) ) c. ) ) ) e) P ) ) ) Q ) ) ) y R ) ) ) c. d. c. ) ) ) ) f) P ) y Q ) Factorizamos los polinomios: P ) ) ) Q ) ) ) 0 Por tanto, c. d. ) c. ) ) ) ) ) )

28 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B g) P ) 8 y Q ) Factorizamos los polinomios: P ) 8 ) 8 ) Q ) ) ) ) ) 8) 8 0 es raíz ) es factor 0 Por tanto, c. d. ) y Q ) ) ) no tiene solución real polinomio de º grado es irreducible c. ) 8) ) h) P ) y Q ) Factorizamos los polinomios: P ) ) Q ) Por tanto, c. d. ) c. ) ) ) ) ) ) ) ) i) P ) y Q ) Factorizamos los polinomios: P ) ) ) 8

29 TEMA : POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO Matemáticas B es raíz ) es factor 0 no tiene solución real y P ) ) ) polinomio de º grado es irreducible Q ) ) 0 es raíz ) es factor y Q ) ) ) 0 Por tanto, c. d. c. ) ) ) ) no tiene solución real polinomio de º grado es irreducible 9