SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE
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- Juan Antonio Quiroga Iglesias
- hace 7 años
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1 Pág. 1 Página 44 Conviene recordar que: V CILINDRO πr 2 h A TOTALDEUNCILINDRO 2πr h + 2πr 2 Expresa, mediante un polinomio, el volumen de cada una de las velas cilíndricas en función del radio de su base, r. Nos dan como dato que h 12 cm. Por tanto: V CILINDRO 12πr 2 Expresa, mediante otro polinomio, la superficie total de cada una de las velas cilíndricas. A TOTAL CILINDRO 24πr + 2πr 2 Da un tercer polinomio que exprese el volumen de cada vela cúbica en función de su lado, l. V CUBO l 3 Página 45 1 Efectúa los siguientes productos de polinomios: a) (3x 2 5x + 10) (x 3 4x) b) (2x 4 3x 3 2x + 5) (2x 2 5x + 1) c) (3x 2 5x + 10) (3x 2 + 5x 10) d) (4x 3 5x + 3) 2 a) 3x 2 5x + 10 x 3 4x 12x x 2 40x 3x 5 5x 4 +10x 3 3x 5 5x 4 2x x 2 40x b) 2x 4 3x 3 2x + 5 2x 2 5x +1 2x 4 3x 3 2x +5 10x x x 2 25x 4x 6 6x 5 4x x 2 4x 6 16x x 4 7x x 2 27x + 5
2 Pág. 2 c) 3x 2 5x x 2 + 5x 10 30x x x 3 25x x 9x 4 15x x 2 9x 4 25x x 100 d) 4x 3 5x + 3 4x 3 5x x 3 15x +9 20x 4 +25x 2 15x 16x 6 20x x 3 16x 6 40x x x 2 30x +9 2 Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables: a) (5x 2 2) 2 b) (3x + 2x 2 ) 2 c) ( 3 2 ) ( ) d) ( 3 x 2 2 x) ( 3 x x) a) (5x 2 2) 2 (5x 2 ) 2 2(5x 2 ) x 4 20x b) (3x + 2x 2 ) 2 (3x) 2 + 2(3x) 2x 2 +(2x 2 ) 2 9x x 3 + 4x 4 c) ( 3 2 )( ) ( 3 ) 2 ( 2 ) d)( 3 x 2 2 x) ( 3 x x) ( 3 x 2 ) 2 ( 2 x) 2 3x 4 2x 2 3 Expresa como un cuadrado o como producto de dos binomios cada uno de los polinomios siguientes: a) 36x x x 2 b) 36x 4 60x x 2 c) 81x 4 x 2 d) 3x 4 4x 2 (Ojo: 3 también es un número) e) 3x 4 2 6x 3 + 2x 2 f) 3x 2 5 a) (6x 2 + 5x) 2 b) (6x 2 5x) 2 c) (9x 2 x)(9x 2 + x) d) ( 3 x 2 2x)( 3 x 2 + 2x) e) ( 3 x 2 2 x) 2 f) ( 3 x 5 )( 3 x + 5 )
3 Pág. 3 Página 46 1 Sacando factor común e identificando productos de binomios, factoriza estos polinomios: a) P 1 (x) 490x 3 420x x b) P 2 (x) 20x x x 2 a) P 1 (x) 10x(49x 2 42x + 9) 10x(7x 3) 2 b) P 2 (x) 5x 2 (4x x 2 + 9) 5x 2 (2x 2 + 3) 2 2 Factoriza, tras detectar el factor común, los siguientes polinomios: a) P 1 (x) 81x 4 36x 2 b) P 2 (x) 4x 100x 5 a) P 1 (x) 9x 2 (9x 2 4) 9x 2 (3x 2)(3x + 2) b) P 2 (x) 4x(1 25x 4 ) 4x(1 5x 2 )(1 + 5x 2 ) Página 47 1 Efectúa las siguientes divisiones y expresa el resultado así: P(x) Q(x) C(x) + R(x) Indica en qué casos la división es exacta y, por tanto, el dividendo se ha factorizado: a) (x 5 7x 4 + x 3 8) : (x 2 3x + 1) b) (4x x 4 18x 3 28x x 6) : (x 2 + 5x 3) c) (6x 4 + 3x 3 2x) : (3x 2 + 2) d) (45x x x) : (3x 2 + 4) a) x 5 7x 4 + x 3 8 x 2 3x + 1 x 5 + 3x 4 x 3 x 3 4x 2 12x 32 C(x) 4x 4 4x 4 12x 3 + 4x 2 12x 3 + 4x 2 12x 3 36x x 32x x 32x 2 96x x + 24 R(x) x 5 7x 4 + x 3 8 (x 2 3x + 1)(x 3 4x 2 12x 32) x
4 Pág. 4 b) 4x x 4 18x 3 28x x 6 x 2 + 5x 3 4x 5 20x x 3 4x 3 6x + 2 C(x) 6x 3 6x x 2 18x 2x x 2x 2 10x R (x) DIVISIÓN EXACTA 4x x 4 18x 3 28x x 6 (x 2 + 5x 3)(4x 3 6x + 2) c) 6x 4 + 3x 3 2x 3x x 4 4x 2 2x 2 + x 4 3 C(x) 3x 3 4x 2 3x 3 2x 4x 2 4x 4x 2 + 4x + 8 R(x) 3 6x 4 3x 3 2x (3x 2 + 2)( 2x 2 + x 4 ) x d) 45x x x 3x x 5 60x 3 15x x C(x) 60x 3 60x 3 80x 0 R(x) DIVISIÓN EXACTA 45x x 3 +80x (3x 2 + 4)(15x x) 8 3 Página 48 1 Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones: a) (5x 4 + 6x 2 11x + 13) : (x 2) b) (6x 5 3x 4 + 2x) : (x + 1) c) (3x 4 5x 3 + 7x 2 2x + 13) : (x 4) d) (6x 4 + 4x 3 51x 2 3x 9) : (x + 3)
5 Pág. 5 a) Resto C(x) 5x x x + 41 b) Resto C(x) 6x 4 9x 3 +9x 2 9x + 11 c) Resto C(x) 3x 3 + 7x x d) Resto C(x) 6x 3 14x 2 9x En cada una de las divisiones efectuadas en el ejercicio anterior, expresa el resultado de estas dos formas distintas: P(x) (x a) C(x) + R P(x) C(x) + x a a) (5x 4 + 6x 2 11x + 13) (x 2) (5x x x + 41) x 4 + 6x 2 11x + 13 x 2 5x x x b) (6x 5 3x 4 + 2x) (x + 1) (6x 4 9x 3 + 9x 2 9x + 11) 11 6x 5 3x 4 + 2x x + 1 6x 4 9x 3 + 9x 2 9x + 11 c) 3x 4 5x 3 + 7x 2 2x + 13 (x 4) (3x 3 + 7x x + 138) x 4 5x 3 + 7x 2 2x + 13 x 4 3x 3 + 7x x d)6x 4 + 4x 3 51x 2 3x 9 (x + 3) (6x 3 14x 2 9x + 24) 81 6x 4 + 4x 3 51x 2 3x 9 x x + 1 6x 3 14x 2 9x x 2 R x a 565 x 4 81 x + 3
6 Pág. 6 Página 49 3 Utiliza la regla de Ruffini para hallar P(a) en los siguientes casos: a) P(x) 7x 4 5x 2 + 2x 24, a 2, a 5, a 10 b)p(x) 3x 3 8x 2 + 3x, a 3, a 1, a 8 a) Calculamos P(2), P( 5) y P(10) aplicando la regla de Ruffini: P(2) 72 P( 5) P(10) b) Calculamos P( 3), P(1) y P(8) mediante la regla de Ruffini sabiendo que ha de coincidir con el valor del resto en cada caso: P( 3) 162 P(1) 2 P(8) Página Q(x) 3x 3 11x 2 81x a) Describe el proceso operativo para calcular Q(a) para una a cualquiera. b) Calcula Q( 5), Q(5,8968) y Q(2,7699). a) a Proceso seguido con calculadora introduciendo en la memoria el valor a.
7 Pág. 7 b) Q( 5) Q( 5) 0 Q(5,8968) 5, Q(5,8968) 5, Q(2,7699) 2, Q(2,7699) 2, P(x) x 4 3x 2 + 5x 11. Calcula P( 0,824). (Ten en cuenta que no hay término en x 3 ). 0, Luego, P( 0,824) 16, Usando la calculadora, descompón factorialmente los siguientes polinomios: a) P(x) x 3 x 2 19x + 4 b) P(x) x 3 9x + 6x 2 54 c) P(x) x 4 + 4x 3 x 4 d) P(x) x x x x a) P(x) x 3 x 2 19x + 4 Probamos con x 4: Por tanto: x 3 x 2 19x + 4 (x 2 5x + 1) (x +4) b) P(x) x 3 9x + 6x 2 54 Probamos con x 3: Luego, P(x) (x 2 +9x + 18) (x 3) Factorizamos, a continuación, x 2 + 9x Probamos con x 3: Luego, x 2 + 9x + 18 (x + 6) (x + 3). Así: P(x) (x + 6) (x + 3) (x 3)
8 Pág. 8 c) P(x) x 4 + 4x 3 x 4 Probamos con x 1: x 4 + 4x 3 x 4 (x 3 + 5x 2 + 5x + 4) (x 1) Probamos con x 4 para factorizar x 3 + 5x 2 + 5x + 4: x 4 + 4x 3 x 4 (x 2 + x + 1) (x + 4) (x 1) d)p(x) x x x x Probamos con x 2: Así, P(x) (x x x + 192) (x + 2). Probamos con x 4 para factorizar x x x + 192: Así, x x x (x + 4) (x x + 48) Factorizamos x x + 48 probando con 6: Así, x x + 48 (x +8) (x + 6). Luego: P(x) (x +8) (x + 6) (x + 4) (x + 2) Página 51 1 Factoriza los siguientes polinomios: a) x 4 + 2x 3 23x 2 60x b) x 5 + 8x x x 2 c) 10x 4 3x 3 41x x + 4 d) 9x 4 36x x 2 + 4x 3 e) x x x x x + 30
9 Pág. 9 a) x 4 + 2x 3 23x 2 60x x(x 3 + 2x 2 23x 60) Descomponemos en factores x 3 + 2x 2 23x 60: Luego: x 4 + 2x 3 23x 2 60x x(x + 3) (x + 4) (x 5) b) x 5 +8x x x 2 x 2 (x 3 +8x x + 18) Descomponemos factorialmente x 3 +8x x + 18: Por tanto: x 5 +8x x x 2 x 2 (x + 2) (x + 3) 2 c) 10x 4 3x 3 41x x x 2 3x 1 10( ) x 1 ( ) x Luego: 10x 4 3x 3 41x x (x 2) (x + 2) ( ) ( ) x 1 x + 1 d)9x 4 36x x 2 + 4x x 2 1 (3x 1) (3x + 1) Así: 9x 4 36x x 2 + 4x 3 (3x 1) (3x + 1) (x 3) (x 1) 2 5
10 Pág. 10 e) x x x x x El polinomio x no se puede descomponer más, luego: x x x x x + 30 (x + 2) (x + 3) (x + 5) (x 2 + 1) Página 52 1 Descompón factorialmente: a) x 6 + 2x 5 2x 3 x 2 b) x 6 + 2x 5 14x 4 + 5x 3 + 4x x a) x 6 + 2x 5 2x 3 x 2 x x 5 + 2x 4 2x 2 x x x 4 + 2x 3 2x 1 x 1 x 3 + 3x 2 + 3x +1 x + 1 x 2 + 2x + 1 x + 1 x + 1 x Luego: x 6 + 2x 5 2x 3 x 2 x 2 (x 1)(x + 1) 3 b) x 6 + 2x 5 14x 4 + 5x 3 + 4x x x x 5 + 2x 4 14x 3 + 5x 2 + 4x + 20 x 2 x 4 + 4x 3 6x 2 7x 10 x 2 x 3 + 6x 2 + 6x +5 x + 5 x 2 + x + 1 x 2 + x Así: x 6 + 2x 5 14x 4 + 5x 3 + 4x x x(x 2) 2 (x + 5)(x 2 + x + 1) Página 53 2 Razona si existe alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares de polinomios:
11 Pág. 11 a) P(x) x 3 7x 2 Q(x) x 3 7x b) P(x) x 3 7x 2 Q(x) x 2 7x c) P(x) x 4 3x 10 Q(x) x 2 d) P(x) x 3 + 5x 2 + 5x + 4 Q(x) x 2 + x + 1 a) P(x) x 3 7x 2 Q(x) x 3 7x Observamos que P(x) x 2 (x 7) y Q(x) x(x 2 7); luego, P(x):Q(x) no es exacta, no hay relación de divisibilidad entre P(x) y Q(x). b) P(x) x 3 7x 2 Q(x) x 2 7x Como P(x) x(x 2 7x) x Q(x), P(x) es múltiplo de Q(x) o Q(x) es divisor de P(x). c) P(x) x 4 3x 10 Q(x) x 2 Veamos si x 2 es un factor de P(x): Luego, P(x) (x 3 + 2x 2 + 4x + 5)(x 2) Q(x) es divisor de P(x). P(x) es múltiplo de Q(x) o d)p(x) x 3 + 5x 2 + 5x + 4 Q(x) x 2 + x + 1 Descomponemos en factores el polinomio P(x): Así, P(x) (x +4)(x 2 + x + 1) P(x) es múltiplo de Q(x) o Q(x) es divisor de P(x). 3 a) Busca dos polinomios de cuarto grado que sean divisibles por x + 1, x 5 y x + 5. b)halla su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo. a) Por ejemplo: P(x) x(x + 1)(x 5)(x + 5) (x 2 + x) (x 2 25) x 4 + x 3 25x 2 25x Q(x) (x 1)(x + 1)(x 5)(x + 5) (x 2 1)(x 2 25) x 4 26x b) M.C.D. [P(x), Q(x)] (x + 1)(x 5)(x + 5) m.c.m. [P(x), Q(x)] x(x 1)(x + 1)(x 5)(x + 5)
12 Pág Si P(x) (x 2) 2 x 2, busca un polinomio de tercer grado, Q(x), que cumpla las dos condiciones siguientes: a) M.C.D. [P(x), Q(x)] x 2 2x b) m.c.m. [P(x), Q(x)] (x 2) 2 x 2 (x + 5) P(x) (x 2) 2 x 2 M.C.D. [P(x), Q(x)] x 2 2x x(x 2) m.c.m. [P(x), Q(x)] (x 2) 2 x 2 (x + 5) Para que estas dos condiciones se cumplan, debe ser Q(x) x(x 2)(x + 5). Desarrollando la expresión, Q(x) x 3 + 3x 2 10x. 5 Di cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles. Aquellos que no lo sean, descomponlos en factores: a) x 2 3x + 2 b) x 2 5x + 6 c) 3x 2 + 5x d) 3x 2 5x 2 e) 3x 2 5x + 3 f) 3x 3 5x 2 + 3x a) x 2 3x + 2 (x 2)(x + 1) b) x 2 5x + 6 (x 2)(x 3) c) 3x 2 + 5x x(3x + 5) d)3x 2 5x 2 (x 2)(3x + 1) e) 3x 2 5x + 3 Es irreducible: no se puede descomponer en factores de menor grado. f)3x 3 5x 2 + 3x x(3x 2 5x + 3) El polinomio no es irreducible; sí lo es uno de sus factores, 3x 2 5x +3, como se ha visto en el apartado anterior. 6 Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de cada pareja de polinomios: a) P(x) x 2 9 Q(x) x 2 6x + 9 b) P(x) x 3 7x x Q(x) x 4 3x 3 4x 2 c) P(x) x(x 3) 2 (x + 5) Q(x) x 3 (x 3)(x 2 + x + 2) d) P(x) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 Q(x) x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1 a) P(x) x 2 9 Q(x) x 2 6x + 9 P(x) (x 3)(x + 3) Q(x) (x 3) 2 b) P(x) x 3 7x x Q(x) x 4 3x 3 4x 2 P(x) x(x 2 7x + 12) x(x 4)(x 3) Q(x) x 2 (x 2 3x 4) x 2 (x 4)(x + 1) M.C.D. [P(x), Q(x)] x 3 m.c.m. [P(x), Q(x)] (x 3) 2 (x + 3) M.C.D. [P(x), Q(x)] x(x 4) m.c.m. [P(x), Q(x)] x 2 (x 4)(x 3)(x + 1)
13 12 Pág. 13 c) P(x) x(x 3) 2 (x + 5) Q(x) x 3 (x 3) (x 2 + x + 2) M.C.D. [P(x), Q(x)] x(x 3) m.c.m. [P(x), Q(x)] x 3 (x 3) 2 (x + 5)(x 2 + x + 2) d)p(x) x 3 + 3x 2 + 3x + 1 Q(x) x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1 P(x) (x + 1) 3 Q(x) (x + 1) 4 M.C.D. [P(x), Q(x)] (x + 1) 3 m.c.m. [P(x), Q(x)] (x + 1) 4 Página 55 1 Reduce a común denominador las fracciones siguientes y súmalas: 3x 1 ; x + 3 ; 2x + 5 x x 2 2x x 2 m.c.m. [x, x 2 2x, x 2] x(x 2) 3x 1 + x + 3 2x + 5 (3x 1)(x 2) + x + 3 x(2x + 5) x x 2 2x x 2 x(x 2) x(x 2) x(x 2) 3x 2 x 6x x + 3 2x 2 5x x(x 2) x 2 11x + 5 x 2 2x 2 Efectúa estas operaciones: a) x 2 2x + 3 2x + 3 b) x 2 2x + 3 : x 2 x + 5 x 2 2x + 3 x + 5 a) x 2 2x + 3 2x + 3 (x 2 2x + 3) (2x + 3) x 2 x + 5 (x 2) (x + 5) 2x 3 + 3x 2 4x 2 6x + 6x +9 x 2 2x + 5x 10 b) x 2 2x + 3 : 2x + 3 (x 2 2x + 3) (x + 5) x 2 x + 5 (x 2) (2x + 3) x 3 2x 2 + 3x + 5x 2 10x x 2 + 3x 4x 6 x 3 + 3x 2 7x x 2 x 6 2x 3 x 2 +9 x 2 + 3x 10
( x ) 2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD. 1 Saca factor común: 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio:
Pág. 1 Página 95 PRACTICA Factor común e identidades notables 1 Saca factor común: a) 9x 2 + 6x 3 b) 2x 3 6x 2 + 4x c) 10x 3 5x 2 d) x 4 x 3 + x 2 x a) 9x 2 +6x 3 = 3(3x 2 + 2x 1) b) 2x 3 6x 2 + 4x = 2x(x
Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicas 1
Tema Polinomios y fracciones algebraicas 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 1 : Desarrolla y simplifica: b) 4 1 a) 1 5 5 4 c) 1 4 1 d) 1 6 1 1 5 4 4 5 4 a) 1 5 1 5 5 6 5 4 4 5 4 4 b)
Calcular el cociente y el resto en las siguientes divisiones: 6x 3 + 5x 2 9x 3x 2. (b)
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