SEÑALES Y SISTEMAS Clase 4

Transcripción

1 SEÑALES Y SISTEMAS Clase 4 Carlos H. Muravchik 12 de Marzo de / 1 Habíamos visto: 1. Ejemplos audibles 2. Transformaciones de la variable independiente Y se vienen: Ejemplo audible de reflexión Energía, potencia, valor medio temporal Representación de SVIC con impulsos Inicio Repaso Probabilidades (sobrevuelo). Próxima Repaso Variables aleatorias. Distribuciones. Propiedades. Repaso Esperanza. Propiedades. Algunas distribuciones y densidades notables continuas. Algunas distribuciones y densidades notables discretas. 3 / 1

2 Reflexión - Ejemplo - I PASO 0: preparar Matlab para sonidos PASO I: Registrar una palabra con Matlab. Ver la secuencia. Graficarla. Reproducir PASO II: Reflejar la secuencia. Graficarla. Reproducir. PASO 0: preparar Matlab para registrar/reproducir. Detalles: más adelante en el curso N=16000; % número de muestras a tomar ai=analoginput( winsound ); ao=analogoutput( winsound ); addchannel(ai,1); addchannel(ao,1); set(ai, SamplesPerTrigger,N); set(ai, SampleRate,N/2); 5 / 1 Reflexión - Ejemplo - Cont. PASO I: registrar/graficar/reproducir. start(ai) % preparar para registrar entrada=getdata(ai,n); plot(entrada) % ver y ver con zoom putdata(ao,entrada) % poner la secuencia start(ao) % escuchar la secuencia 6 / 1

3 Reflexión - Ejemplo - Cont. PASO II: Reflejar/Graficar. entinv=entrada(n:-1:1); % reflejar plot(entinv) % ver y ver con zoom putdata(ao,entinv) % poner secuencia reflejada start(ao) % escuchar Jugar con los scripts: tomar; reflejar Palabra cualquiera Palíndrome 7 / 1 Energía Potencia instantánea: P i [n] = x[n] 2 para SVID y P i (t) = x(t) 2 para SVIC. Asimile a una tensión de valor x[n] (o x(t)) aplicada sobre un resistor de R = 1Ω) Cuando existe la suma o la integral, SVID: SVIC: E x E x x[n] 2 n= x(τ) 2 dτ Definición x[n] es SVID de energía si 0 E x < x(t) es SVIC de energía si 0 E x < Ejemplos: (t), e t u(t), (1/2) n u[n] son señales de energía cos(2πf 0 t), e t u(t), (1/2) n u[ n] no lo son 9 / 1

4 Potencia Hay señales que no son de energía, pero tienen potencia finita. P.ej.: las señales periódicas. Potencia media de señales periódicas: energía en un ciclo/largo del ciclo. En general SVID: SVIC: P x lím N P x lím T 1 2N T T T N x[n] 2 n= N x(τ) 2 dτ Definición x[n] es SVID de potencia si 0 P x < x(t) es SVIC de potencia si 0 P x < Ejemplos: Calcular la potencia de u[n] Calcular la potencia de Asen(2πf 0 t + φ) 10 / 1 Potencia Las señales de energía, claramente son de potencia; pero no viceversa. E P Todas las señales Las señales periódicas pueden tener potencia media finita; pero no siempre Muchas señales aleatorias veremos que son de potencia El llamado ruido blanco en VIC es una señal aleatoria que no es de potencia. Ya veremos. 11 / 1

5 Promedio Temporal Definición: SVID: x N [n] SVIC: x T (t) 1 2T 1 2N + 1 n+n k=n N t+t t T x[k] x(τ)dτ que depende del instante donde se mira el promedio n (t) y de la ventana en que se mide la señal ±N (±T ) Las siguientes definiciones son independientes del instante de toma del promedio y de su largo; pero no siempre existen Definición: SVID: SVIC: x lím N x lím T 1 2N T T T N k= N x(τ)dτ x[k] 12 / 1 Representación de SVID en términos de impulsos Cualquier secuencia se puede escribir como: x[n] = = x[k]δ[n k] (1) k= k= δ[k]x[n k] (2) Impactante? Recordar lo que significa la suma de (1): x[n] =...+x[ 1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n 1]+x[2]δ[n 2]+... armado de la secuencia muestra por muestra. 14 / 1

6 Representación de SVID en términos de impulsos x[n] =...+x[ 1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n 1]+x[2]δ[n 2]+... o, pictóricamente -3 x[-3] x[-1] x[-2] -2-1 x[0] x[1] x[2] x[3] x[n] x[0]δ[n] x[1]δ[n-1] x[2]δ[n-2] x[-3]δ[n+3] 15 / 1 Representación de SVID en términos de impulsos Resumen: podemos armar una secuencia punto a punto SVID como combinación lineal de secuencias elementales Espacio de secuencias: se puede definir un espacio de secuencias infinito -contable- dimensional. Base: las deltas de Kronecker desplazadas son las secuencias elementales o funciones de base {δ[n k]} k= Coordenadas: son los valores (x[k]) que multiplican a cada función de base 16 / 1

7 Representación de SVIC en términos de impulsos Un paralelo formal con las SVID. Compare. Cualquier función se puede escribir como: x(t) = x(σ)δ(t σ)dσ La ecuación hermana también es útil x(t) = x(t σ)δ(σ)dσ es una identidad trivial. Notar que x(t) = x(t) δ(t σ)dσ = x(t)δ(t σ)dσ y lleva a pensar en x(σ)δ(t σ) = x(t)δ(t σ); pero esta igualdad es sólo cierta en sentido distribucional a diferencia de SVID, no es posible interpretar como una suma de un número contable de términos! 17 / 1 Representación de SVIC en términos de impulsos x(t) = x(σ)δ(t σ)dσ Pictóricamente, x(σ) x(t) x(σ)δ(t-σ) σ t 18 / 1

8 Representación de SVIC en términos de impulsos Resumen: podemos armar una función punto a punto (pero de forma no-numerable y teniendo que recurrir a distribuciones: convénzase por qué) SVIC como combinación lineal de funciones elementales Espacio de funciones: se puede definir un espacio de funciones infinito dimensional. Base: no hay expectativas de que las deltas de Dirac desplazadas sean funciones de base (convencionales). P.ej.: no se pueden multiplicar como para intentar alguna definición de ortogonalidad. 19 / 1 Repaso de probabilidades 1 Ω: conjunto universal o colección de los resultados del experimento aleatorio (salidas ω i Ω). A, B o A k, k = 0, 1, 2...: eventos o colecciones de salidas de interés. A: colección de todos los posibles eventos A k A. A es una sigma-álgebra: mínimo conjunto que contiene todos los posibles eventos formables por unión, intersección o complemento una cantidad denumerable de veces. Axiomas: 1. 0 P{A} 1 2. P{Ω} = 1 (y P{ } = 0) 3. A, B disjuntos (A B = ) entonces P{A B} = P{A} + P{B}. Se extiende a un número infinito (contable) de eventos (versión 3b del axioma). 21 / 1

9 Repaso de probabilidades 2 Probabilidad condicional: P{A/B} = P{A B} P{B}, cuando P{B} 0. Interpretación de frecuencia. Independencia: A, B independientes cuando P{A B} = P{A}P{B} ó P{A/B} = P{A} 22 / 1 Repaso de probabilidades 3 Teorema de Bayes: P{B i /A} = P{A/B i }P{B i } P{A} conjuntos mutuamente excluyentes: Ω = n i=1 B i y B i B j ; i j, 1 (i, j) n Probabilidad Total: P{A} = n k=1 P{A/B k}p{b k } 23 / 1

10 Próxima Clase Repaso Variables aleatorias (VA) Repaso Esperanza Algunas distribuciones de VA continuas Algunas distribuciones de VA discretas Funciones de VA. Momentos, función característica. Distrib y densidad conjunta. Distrib Condicional. 25 / 1