Probabilidad Condicional. Dr. José Dionicio Zacarias Flores

Transcripción

1 Probabilidad Condicional Dr. José Dionicio Zacarias Flores

2 Introducción Sea E un experimento aleatorio con espacio de probabilidad (Ω,F,P). Algunas veces podemos poseer información incompleta sobre el resultado real de E sin conocer exactamente este resultado. Por ejemplo, si lanzamos un dado, y e estamos interesados en el evento A = {6}. Cuál es la probabilidad de A? Cuál es la probabilidad de cualquier resultado? Ahora, si una persona nos dice que se está mostrando un número par, Cuál es la probabilidad de A conociendo la información anterior? Podemos concluir que esta información afecta todos nuestros cálculos de probabilidades.

3 Introducción Por ejemplo, si lanzamos un dado y una persona nos dice que se está mostrando un número par, entonces esta información afecta todos nuestros cálculos de probabilidades. En general, si A y B son eventos de F, y queremos calcular la probabilidad de que A ocurra, y se nos dice que B está ocurriendo, entonces, a la luz de esta información, la probabilidad de A ya no puede ser P(A), si B está relacionado con A. Claramente, en esta nueva circunstancia, A ocurre si y solo si ocurre A n B, sugiriendo que la nueva probabilidad de A es proporcional a P(A B).

4 Definición Si A, B F, y P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B, denotada por P(A B) se define por P(A B) = P(A B) P(B)

5 Teorema Si B F y P(B) > 0, entonces (Ω,F,Q) es un espacio de probabilidad donde Q: F es definida por Q(A) = P(A B). Demostración. i) Claramente, Q(A) 0 para todo A F. ii) Q(Ω) = P(Ω B) = P(Ω B) P(B) = 1 iii) Supongamos que A1, A2, son eventos disjuntos en F. Entonces Q ڂ i A i = 1 P ڂ 1 P(B) i A i B = P ڂ 1 P(B) i(a i B = σ P(B) i P A i B = σ i Q A i #

6 Ejemplo Tenemos dos urnas, I y II. Urna I contiene 2 bolas negras y 3 bolas blancas. La Urna II contiene 1 bola negra y 1 bola blanca. Se saca una urna al azar y se elige una bola al azar de ella. Podemos representar el espacio muestral de este experimento como las rutas a través de un diagrama de árbol. Sea B el evento una bola negra es extraída, e C el evento la urna I es elegida. Calcular P(B C).

7 Ejercicios Si (Ω,F,P) es un espacio de probabilidad y A, B y C son eventos, demostrar que P A B C = P A B C P B C P C. Demostrar que P(B A) = P(A B) P(B) P(A), si P(A) y P(B) > 0. Considérese el experimento de lanzar una moneda 7 veces. Encontrar la probabilidad de obtener un número primo de soles dado que las soles ocurren en al menos 6 de los lanzamientos.

8 Eventos independientes A menudo sucede que el conocimiento de que ha ocurrido un cierto evento E no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que haya ocurrido algún otro evento F, es decir, que P (F E) = P(F). Uno esperaría que en este caso, la ecuación P (E F) = P(E) también fuera cierta. De hecho, cada ecuación implica a la otra (ver Ejercicio al final). Si estas ecuaciones son verdaderas, podríamos decir que F es independiente de E.

9 Eventos independientes Por ejemplo, no esperaría que el conocimiento del resultado del primer lanzamiento de una moneda cambie la probabilidad que asignaría a los posibles resultados del segundo lanzamiento, es decir, no esperarías que el segundo lanzamiento dependa del primero. Esta idea se formaliza en la siguiente definición de eventos independientes.

10 Definición Sean E y F dos eventos. Decimos que son independientes si cualquiera de los dos: 1) ambos eventos tienen probabilidad positiva y P(E F) = P(E) y P(F E) = P(F), o ya sea 2) al menos uno de los eventos tiene probabilidad cero.

11 Teorema Dos eventos E y F son independientes si y sólo si P(E F) = P(E) P(F). Demostración. Caso 1: si cualquiera de los 2 tiene probabilidad 0, se cumple inmediatamente. Caso 2: si asumimos que ambos eventos tiene probabilidad positiva, entonces ) Supongamos que E y F son independientes. Entonces P(E F) = P(E), pero P(E F) = P(E F) P(F) = P(E) P(F). ) Supongamos que P(E F) = P(E) P(F). Entonces P(E F) = P(E F) P(F) = P(E), recíprocamente P(F E) = P(F) #

12 Ejemplo Supongamos que tenemos una moneda que sale sol con probabilidad p, y águila con probabilidad q. Ahora supongamos que esta moneda se arroja dos veces. Usando una interpretación de frecuencia de la probabilidad, es razonable asignar al resultado (H, H) la probabilidad p 2, al resultado (H, T) la probabilidad pq, y así sucesivamente. Sea E el evento que representa el primer turno y F el evento de que las águilas aparezcan en el segundo lanzamiento. Ahora comprobaremos que con las asignaciones de probabilidad anteriores, estos dos eventos son independientes, como se esperaba.

13 Definición Podemos generalizar la idea de independiente de la siguiente manera: a) Si A o B tienen probabilidad cero, podemos generalizar a cualquier número de eventos. b) Una familia A = {A i : i I} de eventos, es llamada independiente si, para cualesquiera subconjuntos finitos J de I, P ځ i ε J A i = ς i ε J P A i (*) La familia A es llamada independiente por pares si (*) se cumple siempre que J = 2.

14 Nota Tres eventos A, B y C son independientes si y sólo si se cumple lo siguiente: Hay familias de eventos los cuales son independientes por pares pero no independientes.

15 Ejemplo Supongamos que se lanza un dado de cuatro caras. Entonces Ω = {1,2,3,4}, donde cada ω Ω es igualmente probable de ocurrir. Sean A = {1,2}, B = {1,3}, C = {1,4}. Son independientes?

16 Ejercicios de clase Si A y B son eventos los cuales son disjuntos e independientes, qué puede decirse de las probabilidades de A y B? Demostrar que los eventos A y B son independientes si y sólo si A y Ω\B son independientes. Sean A y B eventos que satisfacen P(A), P(B) > 0, y tal que P(A B) = P(A). Demostrar que P(B A) = P(B). Demostrar que los eventos A 1, A 2,, A m, son independientes si y sólo si Ω\A 1, Ω\A 2,, Ω\A m son independientes. Si A 1, A 2,, A m, son independientes y P(Ai) = p para i = 1, 2,, m, encontrar la probabilidad de que a) Ninguno de los A s ocurre. b) Un número par de los A s ocurre.

17 Condiciones para el Teorema de la partición Sea (Ω,F,P) un espacio de probabilidad. Una partición de Ω es una colección {B i : i I} de eventos disjuntos (así que B i F para cada i y B i B j = si i j) con ڂ i B i = Ω.

18 Teorema de la partición Si {B 1, B 2, } es una partición de Ω tal que P(B i ) > 0 para cada i, entonces P A = σ i P A B i P B i para todo A F Nota. A este teorema también se le conoce como el Teorema de la Probabilidad Total.

19 Demostración P A = P A ڂ i B i = P ڂ i A B i = σ i P A B i = σ P A B i P B i #

20 Teorema de Bayes Si A es cualquier evento y B1, B2,, Bn son eventos mutuamente excluyentes, con probabilidades distintas de cero, cuya unión es Ω o contiene a A, entonces para i = 1, 2,, n.

21 Ejemplo Mañana habrá lluvia o nieve pero no ambas; la probabilidad de lluvia es 2/5 y la probabilidad de nieve es 3/5. Si llueve, la probabilidad de que llegue tarde a mi conferencia es 1/5, mientras que la probabilidad correspondiente en caso de nieve es 3/5. Cuál es la probabilidad de que llegue tarde? R = 11/25

22 Ejemplo Problema de rutina sobre bolas en urnas. Te presentan dos urnas. La Urna I contiene 3 bolas blancas y 4 negras y la Urna II contiene 2 bolas blancas y 6 negras. Escoges una bola al azar de la Urna I y la colocas en la Urna II. A continuación, elige una bola aleatoriamente desde la Urna II. Cuál es la probabilidad de que esta bola sea negra? R =

23 Ejemplo Una prueba de sangre, cuando se administra a una persona con cierta enfermedad, muestra la presencia de la enfermedad con probabilidad de.99 y no la muestra con probabilidad de También produce un resultado falso positivo para personas sanas, con una probabilidad de.02. También sabemos que.1% de la población tiene la enfermedad. Cuál es la probabilidad de que una persona realmente tenga la enfermedad si la prueba lo dice? R 0.047