Los Axiomas de Kolmogorov. Parte II.

Transcripción

1 Los Axiomas de Kolmogorov. Parte II. 1 Sucesiones infinitas de Eventos y el problema de la Medida de Probabilidad Hasta el momento hemos estudiado modelos de probabilidad cuya clase de eventos incluye composiciones finitas de eventos, es decir, eventos que pueden construirse con uniones e intersecciones finitas de otros eventos. Sin embargo, hay ocasiones, tanto en la práctica como en la teoría, en donde es necesario considerar modelos de probabilidad con eventos compuestos de uniones e intersecciones de sucesiones infinitas de eventos, así como sus probabilidades. Ejemplo 1. Supongamos que una población inicial de cierta cantidad de bacterias, produce descendencia del mismo tipo. La descendencia de la población inicial es llamada segunda generación, y así sucesivamente. Los científicos están interesados en conocer ciertos procesos de reproducción y de muerte de esta población. En particular, tienen interés en la eventualidad de que la población se extinga completamente en algún momento. En este caso, podemos considerar, para cada n 1, el evento E n como la población está extinta en la generación n y la unión E := E n, que podemos interpetrar como el evento la población se extingue en alguna generación. Suponiendo que se conoce PE n, cómo podríamos calcular PE? Ejemplo 2. Supongamos que lanzamos una moneda una infinidad de veces. Cuál es el evento: la moneda cae en sol una infinidad de veces? Si definimos S n como el evento cae sol en el n-ésimo lanzamiento, para cada n 1, entonces el evento la moneda cae en sol una infinidad de veces está determinado por lim sup S n = n S k. Suponiendo que este conjunto es un evento, cómo podemos calcular su probabilidad? 1

2 2 σ-álgebra de eventos. Resulta evidente que el concepto de álgebra es ya insuficiente. De los ejemplos anteriores, se intuye que el concepto de álgebra debe ser extendido a un concepto más general que incluya la propiedad de que si A n F para todo n 1 entonces A n F. Exponemos entonces de manera formal la definición siguientes. Definición 1 σ-álgebra. Sea F una familia de subconjuntos de un conjunto Ω. Decimos que F es un σ-álgebra sobre Ω si σ1 Ω F. σ2 Si A F, entonces Ω\A F. σ3 Si {A n } n 1 es una sucesión de elementos en F, entonces A n F. Ejemplo 1. Sobre cualquier espacio no vacío Ω, las familias PΩ = {A A Ω} y P 0 = {, Ω} son σ-álgebras sobre Ω. Si F es cualquier σ-álgebra sobre Ω, entonces P 0 F PΩ. Ejemplo 2. Sea Ω el pequeño espacio {1, 2, 3, 4}. Y consideremos las familias A = {, Ω, {2, 3, 4}, {1}}, B = {, Ω, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}} y C = {, Ω, {1, 3, 4}, {2}}. Mediante una inspección visual notamos que todas ellas poseen estructura de σ-álgebra sobre el mismo espacio Ω. Sin embargo, las familias D = {{1}, {2}, } y E = {{1}, {2}}, no son σ-álgebras sobre Ω. Ejemplo 3. Por convención entenderemos como subconjunto contable, aquel subconjunto o espacio de cardinalidad finita o a lo sumo infinito numerable. Sea Ω un espacio no contable. Consideremos la familia Entonces F es σ-álgebra. F = {A Ω A es contable o A c es contable}. 2

3 Evidentemente, un σ-álgebra es también un álgebra, y por tanto es cerrado bajo cualquier operación finita de subconjuntos. Sin embargo, una familia cerrada bajo uniones finitas no necesariamente es un σ-álgebra. Ejemplo 4. Sea Ω = 0, 1]. La familia { n } G = A i n N, A i C i = 1,..., n, y A i A j = si i j, donde i=1 C = {x, y] 0 x y 1}, es cerrada bajo uniones finitas. De hecho G es un álgebra. Sin embargo no es σ-álgebra. Por ejemplo, los intervalos 1/2n, 1/2n 1] pertencen a G de hecho pertenecen a C, pero, dado que son ajenos, su unión no puede ser expresada como una unión finita de intervalos en A. Hay otras formas equivalentes de describir un σ-álgebra, una de las más útiles es la siguiente. Teorema 1. La familia F es un σ-álgebra sobre Ω, si y sólo si, σ1 F. σ2 Si A F, entonces, A c F. σ3 Si {A n } es una sucesión de elementos de F, entonces A n F. Demostración. Si F es σ-álgebra sobre Ω, entonces Ω F, según σ1, pero por σ2, = Ω c F, esto prueba σ1. Ahora, la condición σ2 es exactamente la condición σ2 de la Definición 1. Por último, para una sucesión {A n } n N contenida en F se tiene que {A c n} n N también está contenida en F por la propiedad σ2, entonces Ac n F, por σ3, pero de nueva cuenta por σ2, c A n = An c F, lo cual prueba σ3. Se deja al estudiante el resto de la prueba. 3

4 3 σ-álgebra generada por una clase de subconjuntos Teorema 2. Sea F una familia arbitraria de σ-álgebras definidas sobre un conjunto Ω. Entonces la familia es σ-álgebra sobre Ω. E = { A Ω : A F, F F } Observación 1. El conjunto F es una clase de segunda categoría, esto es, es una clase de clases: Una clase cuyos elementos son a su vez clases. Notamos entonces, E = F, F F En palabras, este resultado establece que la intersección arbitraria de σ-álgebras definidas sobre un mismo espacio, es de nueva cuenta un σ-álgebra sobre dicho espacio. Demostración. Es claro que Ω F para toda F F, entonces Ω E. Si A E, entonces A F para toda F F, por tanto A c F para toda F F, de donde, A c E. Por último, si una sucesión {A n } n N está contenida en E, entonces está contenida en toda F F, por ello A n F para toda F F, esto prueba que A n E. Teorema 3. Sea C cualquier familia no vacía de subconjuntos del espacio Ω. Entonces existe un único σ-álgebra definida sobre Ω, denotado por σc, tal que i C σc y ii Si F es una σ-álgebra en Ω tal que C F entonces σc F. Decimos que σc es el σ-álgebra generado por la clase C. Demostración. Definimos C = {F PΩ : C F, F es σ-álgebra en Ω}. Esto es, C es la clase que reúne todos los σ-álgebras que contienen a las clase C. Dado que C PΩ y PΩ es σ-álbebra sobre Ω, tenemos que PΩ C. Por tanto nuestra familia de σ-álgebras C es no vacía. 4

5 Existencia. Definimos σc := F C F. Por el teorema anterior, sabemos que σc es un σ-álgebra. Como C F para toda F C por definición, se tiene entonces que C σc. Por último, para cualquier σ-álgebra F en Ω, si C F entonces F C, y por la propia definición de σc, se tiene σc F. Unicidad. Si F es un σ-álgebra que cumple con i y ii, entonces F σc, Pero también σc verifica estas dos propiedades, como probamos, y por ende Luego σc = F. σc F. Proposición 1. Supongamos que C y C son familias de subconjuntos de un espacio no-vacío Ω. Si C C entonces σc σc. En particular, si F es un σ-álgebra, entonces F = σf. Demostración. Por hipótesis y por i del teorema anterior, C C σc. Nuevamente, por ii del teorema anterior, σc σc. 4 Restricción de un σ-álgebra. Proposición 2. Sea F un σ-álgebra sobre un conjunto Ω y sea Ω 0 Ω. Entonces la clase F Ω 0 := {F Ω 0 : F F}, es un σ-álgebra sobre Ω 0. Demostración. Como Ω F, Ω 0 = Ω Ω 0 F Ω 0. Si E F Ω 0, entonces para algún F F, E = F Ω 0, de donde Ω 0 \E = Ω 0 \F Ω 0 = Ω 0 \F = Ω\F Ω 0 F Ω 0, 5

6 puesto que Ω\F F. Finalmente, si E n F Ω 0, para todo n 1, entonces existe una colección F n F, n 1, tal que E n = F n Ω 0. Por lo tanto E n = F n Ω 0 = F n Ω 0 F Ω 0, dado que F n F. Proposición 3. Sea C una clase de subconjuntos de Ω y sea Ω 0 Ω. definimos la clase C Ω 0 := {C Ω 0 : C C}, entonces Si σc Ω 0 = σc Ω 0. Demostración. Dado que C σc, entonces C Ω 0 σc Ω 0, de donde Ahora, definimos la clase σc Ω 0 σc Ω 0. F 0 = {F σc : F Ω 0 σc Ω 0 }. Entonces F 0 es un σ-álgebra sobre Ω y C F 0. Por consiguiente σc F 0. Esto prueba que para todo F σc, F Ω 0 σc Ω 0, esto es, σc Ω 0 σc Ω 0. 5 Espacio de Probabilidad Con el concepto de σ-álgebra podemos establecer la definición más general de medida de probabilidad y de espacio de probabilidad. Definición 2. Sea Ω un conjunto no vacío y sea F un σ-álgebra sobre Ω. Una medida de probabilidad es una función conjuntista P definida sobre F tal que P1 PA 0, para todo A F. P2 PΩ = 1. P3 σ-aditividad. Si A n F, n 1, es una colección de eventos ajenos, entonces P A n = PA n. 6

7 Un espacio de probabilidad es una terna Ω, F, P, donde Ω es un conjunto no-vacío, llamado espacio muestral, F es un σ-álgebra sobre Ω, llamado σ-álgebra de eventos y cuyos elementos son llamados eventos, y P es una medida de probabilidad definida sobre F. Esta definición envuelve la primera definición que hemos estudiado, debido a que todo σ-álgebra es también un álgebra, y al resultado siguiente, cuya prueba es casi inmediata y se deja al estudiante. Proposición 4. Una medida de probabilidad P es finitamente aditiva. Esto es, si A i F, i = 1,..., n es una colección finita de eventos ajenos, entonces n n P A i = PA i. i=1 i=1 Las siguiente propiedades también son inmediatas de la definición. prueba se deja al estudiante. La Teorema 4. Sea Ω, F, P un espacio de probabildad. i Si A, B F son eventos tales que A B, entonces PB\A = PB PA y PA PB. ii 0 PA 1, para todo evento A F. iii PA + PA c = 1, para todo evento A F. iv P = 0. Ejemplo 5. Sea Ω un conjunto no vacío y sea ω 0 un elemento fijo de Ω. Sobre el potencia PΩ, definimos { 1 si ω 0 A, PA = 0 si ω 0 / A. Entonces P es una medida de probabilidad. Ejemplo 6. Si F es un álgebra de cardinalidad finita sobre algún conjunto Ω, entonces F es de hecho un σ-álgebra. En este caso, si P es una función conjuntista sobre F que satisface P1, P2 y es finitamente aditiva, entonces P es una medida de probabilidad. En particular, la medida de probabilidad clásica es una medida de probabilidad. 7

8 Ejemplo 7 Espacios de probabilidad discretos. Sea Ω un conjunto y supongamos que Ω 0 = {ω 1, ω 2,...} es un subconjunto contable de Ω. Sea {p i } i=1 una sucesión de números reales tales que 0 p i 1, para todo i 1 y i p i = 1. Sobre PΩ definimos PA = i Γ A p i, donde Γ A = {j 1 : ω j A Ω 0 }. Entonces P es una medida de probabilidad. Note que la naturaleza discreta de este espacio depende de las características de P, más que de las Ω o F. Como consecuencia, la propiedad de σ-aditividad implica que una medida de probabilidad es continua para sucesiones monótonas de eventos. Teorema 5. Sea Ω, F, P un espacio de probabilidad y sea A n F, n 1, una colección de eventos. i Si A n A n+1 entonces P ii Si A n+1 A n, entonces P A n = lim n PA n. A n = lim n PA n. Demostración. Supongamos que A n A n+1. Definimos, B 1 = A 1 y para n > 1, B n = A n \A n 1. Entonces B n F para todo n > 1, B n B m = si n m, y A n = B n. Por lo tanto, P A n = P B n = PB n = lim m = lim m m PB n = lim m PA m. m [PA n PA n 1 ] + PA 1 8

9 Para la segunda parte, si A n+1 A n, entonces A c n A c n+1. Por lo anterior, P A n = 1 P A c n = 1 lim n PAc n = lim n PA n. Una medida de probabilidad es además sub-aditiva. Proposición 5 Desigualdad de Boole. Sea Ω, F, P un espacio de probabilidad y sea A n F, n 1, una colección de eventos. Entonces P A n PA n. Demostración. Si definimos B n = n k=1 A k, entonces B n F, B n B n+1 para todo n 1 y n A n = n B n. Además, por inducción, PB n n PA k, para todo n 1. k=1 Por lo tanto, P A n = P B n = lim n PB n PA n. Corolario. Sea Ω, F, P un espacio de probabilidad y sea A n F, n 1, una colección de eventos. Si PA n = 0 para todo n 1, entonces P A n = 0. Demostración. Por la desigualdad de Boole, P A n PA n = 0, de donde se sigue el corolario. 9

10 Para concluir esta sección demostraremos, como corolario de la continuidad de P, un de resultado bastante relevante. Teorema 6 Lema de Borel-Cantelli. Sea Ω, F, P un espacio de probabilidad y {A n } n 1 F un colección de eventos. Si entonces PA n <, P lim sup A n = 0. n Demostración. Dado que PA n <, entonces, lim n PA k = 0. Ahora, P lim sup A n = lim P A k n n lim PA k = 0. n 6 Independencia y Ley 0-1 de Borel-Cantelli. Definición 3. Sea Ω, F, P un espacio de probabilidad. eventos A F y B F son independientes si Decimos que dos PA B = PAPB. En general, decimos que los eventos A i F, i = 1,..., n, son independientes, si para cualquier subconjunto J {1,..., n}, P A j = PA j. j J j J 10

11 Definición 4. Sea Γ un conjunto de índices arbitrario no-vacío. Supongamos que {A γ } γ Γ F es una colección de eventos. Decimos que los eventos A γ, γ Γ, son independientes si para cualquier sub-colección finita A γ1,...,a γn, n P i=1 A γi = n PA γi. Recordemos que para cualquier conjunto A y un número a {0, 1}, definimos { A a A si a = 1, = A c si a = 0. Proposición 6. Sea Γ un conjunto de índices arbitrario no-vacío, y sea {A γ } γ Γ F una colección de eventos. Entonces, los eventos A γ, γ Γ, son independientes, si y sólo si, para cada α = a γ γ Γ {0, 1} Γ, los eventos A aγ γ, γ Γ, son independientes. Demostración. Es suficiente el caso Γ finito. Haremos únicamente el caso Γ = {1, 2}. Si A 1 y A 2 son eventos indeoendientes, entonces PA 1 A c 2 = PA 1 PA 1 A 2 = PA 1 1 PA 2 = PA 1 PA c 2. Por lo tanto A 1 y A c 2 son independientes. De aquí, con un argumento análogo, se sigue que A c 1 y A c 2 son independientes. De nueva cuenta, imitando el argumento se tiene entonces que A c 1 y A 2 son independientes. Pero esto implica que A 1 y A 2 son independientes, copiando el mismo argumento. Teorema 7 Ley 0-1 de Borel-Cantelli, segundo Lema de Borel-Cantelli. Sea Ω, F, P un espacio de probabilidad y sea {A n } n 1 una colección de eventos independientes. Entonces P lim sup A n = n i=1 { 0 si, y sólo si, 1 si, y sólo si, PA n < PA n =. Demostración. Por el Lema de Borel Cantelli, si n PA n <, entonces Plim sup n A n = 0. Supongamos ahora que n PA n =. Para cada n 1, N P = PA c n = 1 PA n = lim 1 PA k, A c k n N 11

12 y usando que 1 x exp{ x}, para todo número real x, { } n n 1 PA k exp PA k, de donde, P A c k por lo tanto, k=n k=n { } { } N lim exp PA k = exp PA k = 0, n N P lim sup A n = 1 P n lim inf n A c n = 1 P A c k = 1 12