Los Axiomas de Kolmogorov. Parte I.

Transcripción

1 Los Axiomas de Kolmogorov. Parte I. 1 El problema de la clase de eventos y de la medida de probabilidad La paradoja del Círculo máximo de Bertrand El matemático francés Joseph Bertrand, planteó en diversos problemas, llamados paradojas, que hacían creer que no era posible llegar a una teoría matemática de la probabilidad, a la manera como las geometrías o el álgebra por ejemplo. Uno de ellos sucitó muchas controversias entre los matemáticos de la época y de algunos años posteriores. El problema. En una esfera se elige un par de puntos. Cuál es a probabilidad de que la distancia entre ellos sea menor de 10 minutos? 2 Dice Bertrand, Le premier point peut être supposé connu, la position qu iloccupe, quelle qu elle soit, ne change rien à la probabilité chercée. Esto es, podemos suponer que la posición de uno de los puntos elegidos es conocida. Solución geométrica. Esta es la segunda solución que ofrece Bertrand. Con el primer punto fijo, lo que debemos calcular es la proporción, con relación a la superficie total de la esfera, de la región de la superficie de todos los puntos que se encuentran a menos de 10 minutos del punto fijado. Esta región es un casquete esférico, cuyo arco mide 20 minutos, por lo que, si R es el radio de la esfera, la altura del casquete es 2R sin = 2R sin2 5 = 2R sin 2 π 2, 160 = 2R( ), de modo que la proporción buscada es ( ) 3. Esta es la solución clásica. 1 Bertrand, Joseph. Calcul des Probabilités. Gauthier-Villars, Paris, Págs. 6 y 7. El libro completo puede bajarse en 2 Cantidades sexagesimales: 1 (1 grado=1 hora)=60 minutos(60 ), 1 minuto=60 segundos(60 ). Como arco, 1 minuto es π/10, 800 radianes. 3 La superficie de la esfera es 4πR 2. La superficie de un casquete esférico de arco θ es 2πRh, donde h = 2R sin 2 θ es la altura. 4 El error de Bertrand. Sin embargo Bertrand no dio esta solución. Escribe, La rapport de la surface de cette zone à celle de la sphère est 0, = Esto es 2 ( ). No se sabe con certeza porqué Bertrand cometió este descuido, según Glenn Shafer y Vladimir Vovk, The formula Bertrand gives is correct, and it evaluates to this number. Unfortunately, he then gives a numerical value that is twice as large, as if the denominator of the ratio being calculated were the area of a hemisphere rather than the area of the entire sphere. (Later in the book, on p. 169, he considers a version of the problem where the point is drawn at random from a hemisphere rather than from a sphere.) Bertrand composed his book by drawing together notes from decades of teaching, and the carelessness with which he did this may have enhanced the sense of confusion that his paradoxes engendered. 4 Solución alternativa de Bertrand. Esta es la solución controvertida. De nueva cuenta, después de fijar uno de los puntos, escribe Bertrand, Vovk. Le grand cercle qui réunit les deux points peut être égalment supposé connu, les chances possibles sont les mèmes dans toutes les directions. Es decir, según Bertrand, podemos asumir que el círculo máximo que une ambos puntos es conocido, dado que el azar de escoger cualquier círculo máximo es igualmente probable. Es este argumento la fuente de la polémica. Desde el punto de vista geométrico, la superficie de cualquier círculo sobre la esfera es nula en proporción con la superficie total de la esfera. Así, el azar de elegir cualquiera de ellos tiene probabilidad cero. Qué sentido tiene entonces considerar eventos de probabilidad cero, y más aún, cómo resolver un problema suponiendo conocido uno de tales eventos de probabilidad cero? Al parecer Bertrand pretendía extender la idea del modelo clásico de probabilidad, no sólo como una proporción 4 The origins and legacy of Kolmogorov s Grundbegriffe. Glenn Shafer and Vladimir 1 2

2 (que es el caso de las probabilidades geométricas), sino desde el concepto de que cada muestra es igualmente probable, y dar una solución desde esta perspectiva que le parecía igualmente válida. La solución de Bertrand continua del siguiente modo: El arco del círculo máximo que une ambos puntos tiene 360 grados, o bien, 2, 160 arcos de 10 cada uno. Si pensamos el punto fijado previamente como un polo de la esfera, entonces el segundo punto debe ser elegido únicamente de alguno de los dos arcos vecinos (de 10 cada uno), si la distancia entre estos ha de ser menor a 10. Luego, la probabilidad buscada es 2/2160, o equivalentemente, Un número considerablemente mayor que el obtenido en la solución geométrica. El problema radica en dos cosas. Una, Bertrand no precisa lo que debe entenderse por elección al azar de un punto en la esfera, de la misma manera que sus famosas paradójas geométricas (la cuerda y el triángulo inscrito), por lo que las dos interpretaciones las considera igualmente válidas. En segundo lugar, y más importante, no hay una clara definición del concepto de evento, sin este, puede cometerse el equívoco conceptual de Bertrand. Modelos de probabilidad con información incompleta El dado cargado. Supongamos que al lanzar un dado cargado, la probabilidad de obtener 1 ó 6 es 1/5, mientras que la probabilidad de obtener 1 ó 5 es 1/4. No contamos con ninguna otra información. Es posible calcular con esta información la probabilidad de que el dado caiga en 1? Es posible calcular la probabilidad de que el dado caiga en número par, o número impar? Supongamos ahora que obtenemos la información extra de que la probabilidad de obtener número impar es la misma para 1, 3 y 5, y es igual a algún número p. Es posible resolver las mismas preguntas? Es posible calcular el número p? Es posible calcular la probabilidad de que el dado caiga en 2? Este problema, en apariencia inocente, toca ciertas cuestiones bastante profundas. En primer lugar nos hace ver las limitaciones de la teoría de la probabilidad. En segundo lugar, nos remite al problema de qué entendemos por evento, por modelo de probabilidad y cómo construir modelos de probabilidad cuando solo contamos con información incompleta. Análisis del problema El problema anterior puede expresarse así: Al lanzar un dado, la probabilidad del evento 1, 6} es 1/5, la probabilidad del evento 1, 5} es 1/4. Con esta información, podemos construir un modelo de probabilidad para este fenómeno? Si es así, se trata de un modelo clásico? Es un modelo finito? Más aún, qué es un modelo de probabilidad? En primer lugar, el espacio muestral de este fenómeno es Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ahora bien, hasta donde sabemos, si las preguntas anteriores tienen respuesta afirmativa, debería ser entonces posible calcular la probabilidad de eventos tales como 2, 4, 6}, o 2, 5}, y de hecho para cualquier subconjunto A Ω. Digamos que P es esta supuesta medida de probabilidad. Definimos A = 1, 6} y B = 1, 5}. Además de que P( ) = 0 y P(Ω) = 1, las probabilidades triviales son P(A c ) = P(2, 3, 4, 5}) = = 4 5. P(B c ) = P(2, 3, 4, 6}) = = 3 4. Sin embargo, resulta casi obvio notar que es imposible deducir la probabilidad P(A B) = P(1}), solo con la información original sobre las probabilidades de los eventos A y B. Por otro lado, con la información extra, tenemos, P(1}) = P(3}) = P(5}) = p, de donde 1 = P(1, 5}) = P(1}) + P(5}) = 2p, 4 y por tanto p = 1/8. De este modo, P(6}) = = 3 40 y P(2, 4}) = P(2, 4, 6}) P(6}) = = Luego, con la regla de la aditividad finita, es posible calcular la probabilidad de cualquier evento que pueda escribirse como una unión disjunta de los eventos, Por ejemplo, 1}, 3}, 5}, 6} y 2, 4}. (1) P(2, 3, 4, 5}) = P(2, 4}) + P(3}) + p(5}) =

3 Notamos además que las probabilidades de los eventos (1) son consistentes. En efecto, P(Ω) = P(1}) + P(3}) + P(5}) + P(6}) + P(2, 4}) = 1. Por otra parte, no hay modo de obtener probabilidad para 2} ó 4}. No obstante, si decidimos excluir los conjuntos 2} y 4}, el modelo sigue siendo consistente, en el sentido descrito anteriormente: cualquier evento que pueda expresarse como uniones de los conjuntos (1), tiene probabilidad. Como conclusión, dada la información adicional, es posible determinar de forma única un modelo de probabilidad, siempre y cuando los conjuntos 2} y 4} no sean tomados como eventos, es decir, no sujetos de probabilidad. Sin esta información, no es posible deducir un modelo de probabilidad para el fenómeno en cuestión, aunque vale la pena señalar que esto no significa que no exista ningún modelo apropiado, sino más bien que no es posible determinarlo de forma única. 2 El sexto problema de Hilbert Los conceptos de evento y de modelo de probabilidad deben ser ahora más precisos. Este problema fue planteado por Hilbert, como parte del sexto problema: Mathematical Treatment of the Axioms of Physics, en el famoso International Congress of Mathematicians, de Paris en Hilbert plantea, The investigations on the foundations of geometry suggest the problem : To treat in the same manner, by means of axioms, those physical sciences in which mathematics plays an important part ; in the first rank are the theory of probabilities and mechanics. 5 Hubo muchos matemáticos, antes y después de esta exposición de Hilbert, centrados en esta tarea, en cuanto a la probabilidad. En 1933, Kolmogorov culmina este trabajo con la publicación de su pequeño libro Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 6 5 David Hilbert. Mathematical problems. Bulletin of American Mathematical Society, Vol 8. Págs , El texto completo puede encontrarse en 6 El libro completo en su segunda edición inglesa puede bajarse en bskyrms/bio/readings/kolmogorov theory of probability small.pdf 3 Los Axiomas de Kolmogorov Sea Ω un conjunto. Recordemos que una clase de subconjuntos de Ω es un conjunto que reúne subconjuntos de Ω. Es un conjunto de conjuntos. Por ejemplo, en R la clase de todos los intervalos abiertos es la familia I = (a, b) R : a b}. El conjunto potencia P(Ω) es también un ejemplo de clase de subconjuntos de un conjunto Ω. Otras clases típicas (sobre todo en lógica matemática) son los conjuntos }, }}, }}}, etc. El concepto de clase de subconjuntos juega un papel fundamental en la teoría de la probabilidad moderna. Definición 1 (Campo de conjuntos). Una clase de conjuntos F es llamada campo de conjuntos si para cualesquiera dos conjuntos A y B en F, los conjuntos A B, A B, y A\B, pertenecen también a la clase F. En particular, cualquier campo no vacío contiene al conjunto nulo. Axiomas de Kolmogorov para la Teoría de la Probabilidad. Sea Ω un conjunto, cuyos elementos serán llamados eventos elementales y sea F una clase de subconjuntos de Ω, cuyos elementos serán llamados eventos aleatorios. Axioma I La clase F es un campo de conjuntos. Axioma II Ω F. Axioma III Para cada evento aleatorio A F, existe un número real nonegativo P(A). Este número es llamado la probabilidad del evento A. Axioma IV P(Ω) = 1. Axioma V (Aditividad finita) Si A y B son eventos aleatorios mutuamente excluyentes, entonces P(A B) = P(A) + P(B). 5 6

4 Un sistema compuesto por el conjunto Ω, la clase F y la asignación P(A) que satisfacen los axiomas I-V es llamado campo de probabilidad. Observaciones La clase F es no vacía, puesto que Ω F. Con ello F y en general, para cualquier otro evento aleatorio A F, A c = Ω\A F. Por otro lado, es fácil probar por inducción que para cualquier colección finita de eventos aleatorios A 1,...,A n, esto es A i F, i = 1,..., n, los conjuntos A 1 A 2 A n y A 1 A 2 A n, son también eventos aleatorios, esto es, están en F. Interpretación de los axiomas. Supongamos que Ω es el espacio muestral de un fenómeno aleatorio. Ya hemos visto que no siempre es posible considerar todo subconjunto A de Ω como un evento, es decir, no todos los resultados posibles forman sucesos sujetos de probabilidad. Nos preguntamos entonces qué características deben satisfacer los subconjuntos que pueden ser considerados eventos. Obviamente, la respuesta depende de las condiciones particulares del fenómeno en cuestión. Esta pregunta no es relevante si queremos llegar a un modelo abstracto de probabilidad. La cuestión importante no debe estar relacionada directamente con las características particulares de un fenómeno o experiemento aletorio. Suponiendo que podemos reunir en una sola colección todos los eventos, y con ello excluir aquellos conjuntos que no lo son, debemos pensar sobre cuáles son las condiciones mínimas que dicha colección cumple. Podemos entonces interpretar los axiomas del siguiente modo. Axioma I La clase de eventos F es un campo: Si tenemos en cuenta que F reúne los sucesos considerados como eventos, entonces cualquier composición entre ellos debe ser a su misma vez un evento. Consideremos el ejemplo sencillo de las condiciones meterelógicas del día de hoy. Pensemos en los siguientes eventos: o bien llueve o bien hay tormenta eléctrica; hay tormenta eléctrica y no llueve; llueve y hay tormenta eléctrica. Todos ellos son composiciones de un par de eventos relacionados con el mismo fenómeno, razón suficiente para ser ellos mismos eventos del mismo fenómeno. En lenguaje conjuntista la descripción de esta propiedad corresponde a las propiedades de campo de la clase F. Axioma II Ω F. Esta condición es una mera formalidad lógica. El modelo matemático debe ser autorreferente. En otras palabras, si Ω es 7 la descripción muestral de un fenómeno aleatorio, es en sí mismo una posibilidad aleatoria, es decir un evento que puede suceder o no. Axioma III Para cada evento aleatorio A F, existe un número real nonegativo P(A). Este número es llamado la probabilidad del evento A. Un modelo matemático de un fenómeno real debe proporcionar medidas cuantitativas (probabilidades, en nuestro caso) de hechos cualitativos (fenómenos aleatorios, en nuestro caso). Una buena eleción es considerar números no-negativos. Axioma IV P(Ω) = 1. Ciertamente, muchos modelos matemáticos contienen variables cuantitativas infinitas. Sin embargo, a la luz de la experiencia empírica (Principio de Regularidad de las Frecuencias Relativas), una probabilidad debería por lo menos estar acotada por 1. De modo que un evento A es muy poco probable si P(A) es cercano a cero, y es muy probable si este número es muy cercano a 1. Esta idea corresponde a la interpretación del modelo. Que la probabilidad de Ω sea 1, significa que algo está en proceso. Algo sucede con toda seguridad. No tendría sentido modelar fenómenos donde nada sucede. Quizá ni siquiera tiene sentido hablar de ellos. Axioma V Aditividad finita. Recordemos que dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la ocurrencia del otro. Luego si debemos medir la probabilidad de que uno u otro eventos suceda, ésta debe ser la probabilidad del uno más la probabilidad del otro. Esta idea también es consecuencia de la experiencia. Algunos Ejemplos. Ejemplo 1. Si Ω es un conjunto no vacío, entonces es fácil notar que la clase F =, Ω} es un campo de subconjuntos de Ω. De hecho es la mínima clase de subconjuntos no vacía que satisface el Axioma I. Esta clase satisface también el Axioma II. Por otro lado, si definimos 1 si A = Ω, P(A) = 0 si A =, entonces P satisface el resto de los axiomas. Esta medida de probabilidad es conocida como medida de probabilidad trivial, ya que es el modelo más sencillo que satisface los Axiomas I-V. Sin embargo, puede tener algún referente empírco, aunque singular. Pensemos por ejemplo el fenómeno de lanzar una 8

5 moneda que tiene sol en ambas caras. Por otro lado, note que Ω es cualquier conjunto, incluso puede ser infinito. Ejemplo 2. Para cualquier conjunto Ω, el conjunto potencia P(Ω) es de hecho un campo de subconjuntos de Ω. En particular, si Ω es un conjunto finito no vacío, entonces los modelos de probabilidad discretos que hemos estudiado (el modelo clásico y su generalización en los modelos finitos) satisfacen los axiomas de Kolmogorov. Ejemplo 3. La idea de los modelos finitos de probabilidad puede extenderse a espacios muestrales numerables. Un vector de probabilidad es una sucesión p i, i N, de números no negativos tal que p i = 1. i=1 Sobre el conjunto de los números naturales Ω = N, y su potencia F = P(N), definimos la probabilidad, p i si A, P(A) = i A 0 si A =, para todo conjunto A Ω. 4 Versión moderna de los axiomas de Kolmogorov Definición 2 (Álgebra de conjuntos). Sea Ω un conjunto no vacío. Decimos que una clase F de subconjuntos de Ω es un álgebra de subconjuntos si a1) Ω F. a2) Si A F entonces A c F. a3) Propiedad de cerradura. Si A y B son elementos de F, entonces A B F. Algunos textos toman la anterior definición como campo (field). En estas notas solo usaremos la definición que usa Kolmogorov (Definición 1) para campo. Definición 3. Sea Ω un conjunto no vacío, llamado espacio muestral y cuyos elementos serán llamados muestras o eventos elementales. Supongamos que F es un álgebra de subconjuntos de Ω, llamado álgebra de eventos o clase de eventos y cuyos elementos son llamados eventos. Una función P definida sobre F es una medida de probabilidad si P1) 0 P(A) 1, para todo A F. P2) P(Ω) = 1. P3) Aditividad finita. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A B) = P(A) + P(B). Las propiedades de un álgebra de conjuntos así como las axiomas P1-P2-P3 tienen una clara interpretación práctica, de la misma forma que los axiomas originales de Kolmogorov. Lo que debe ser claro es que ambas axiomáticas son equivalentes. Para ver esto con mayor certeza, probamos un resultado importante sobre las características de un álgbra de conjuntos. Proposición 1. Si F es un álgebra de subconjuntos de Ω (según la Definición 2), entonces es también un campo (según la Definición 1). Esto es, para cualesquiera dos conjuntos A y B en F, A B F y A\B F. Inversamente, si la clase F satisface las propiedades de campo (Definición 1) y Ω F, entonces F es un álgebra (Definición 2). 9 10

6 Demostración. Por la propiedad a2), A c F y B c F, de donde A c B c F en vista de a3). Finalmente, por a2) de nueva cuenta, A B = (A c B c ) c F. De aquí es claro también que A\B = A B c F. Por consiguiente, un álgebra de eventos es también un campo, Axioma I de Kolmogorov, y por la propiedad (a1) de álgebra, el Axioma II es válido también. Inversamente, si una clase F satisface los Axiomas I y II, entonces es un álgebra. El resto de los axiomas de Kolmogorov son exactamente los axiomas P1-P2-P3. Ejemplo 4. En general, sobre cualquier conjunto Ω, el conjunto potencia P(Ω) es el más grande álgebra de subconjuntos. Los modelos clásicos y su generalización en el modelo finito de probabilidad son ejemplos de modelos de probabilidad en donde la medida P está definida sobre el conjunto potencia. Ejemplo 5. Sea Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6}. La siguiente clase F =, Ω, 1}, 2, 3}, 4, 5, 6}, 1, 2, 3}, 1, 4, 5, 6}, 2, 3, 4, 5, 6} } es un álgebra de subconjuntos de Ω (lo que puede comprobarse por simple inspección). Observamos que F = 8. Sea el vector de probabilidad de dimensión seis p = (p 1,..., p 6 ), dado por 2 si i es par, 9 p i = 1 si i es impar. 9 Definimos P(A) = i A p i, para cada A F. Entonces P es una medida de probabilidad sobre F. Por ejemplo, P(2, 3}) = = 1 3. Ejemplo 6. Sea Ω un conjunto (como N o R). Definimos la clase F = A Ω : A es finito ó bien A c es finito }. Entonces F es un álgebra de subconjuntos de Ω. Sobre F definimos 1 si A c es finito, P(A) = 0 si A es finito. Entonces P es una medida de probabilidad sobre F. Ejemplo 7. Sea Ω un conjunto (como N o R). Sea x Ω un punto fijo (y arbitrario). Sobre el conjunto potencia P(Ω) definimos 1 si x A, P(A) = 0 si x / A. Entonces P es una medida de probabilidad, llamada masa puntual. Para concluir esta sección apuntamos un resultado que generaliza la propiedad a3) de álgebra. Proposición 2. Sea Ω un conjunto no vacío. Si F es un álgebra de subconjuntos de Ω (Definición 2), y A i F para todo i = 1,..., n, entonces A 1 A 2 A n F y A 1 A 2 A n F. La prueba es por inducción y se deja al estudiante como ejercicio. Propiedades de P a partir de los axiomas Teorema 1. Para una medida de probabilidad P sobre un álgebra de eventos F de un espacio muestral Ω, se cumple a) P(A c ) = 1 P(A), para todo evento A F. b) P( ) = 0. c) Si A y B son eventos aleatorios y A B, entonces P(B\A) = P(B) P(A) y P(A) P(B). d) Si A 1,...,A n son eventos aleatorios mutuamente exlcuyentes, P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ). e) Si A y B son eventos, entonces P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

7 Es posible verificar todas las demás propiedades que hemos establecido para las medidas de probabilidad discretas que hemos estudiado para este modelo de probabilidad más general. Es posible incluso definir probabilidades condicionales del mismo modo y verificar sus propiedades. Las pruebas de tales hechos son exactamente iguales. Ahora bien, como modelo matemático, lo axiomas permiten definir nuevos espacios de probabilidad in abstracto, sin necesidad de referencia alguna de la experiencia, como ya hemos visto en los ejemplos anteriores. 5 Cómo construir un álgebra de eventos a partir de algunos conjuntos dados y cómo determinar medidas de probabilidad sobre estas álgebras. Primeros casos particulares. Caso I. Sea Ω un conjunto y sea A Ω un subconjunto. Entonces la clase F = Ω,, A, A c }, es el álgebra más pequeño (o mínimo) que puede formarse con el conjunto A, en el sentido siguiente: si G es algún otro álgebra sobre Ω tal que A G, entonces A c G, y por supuesto y Ω también están en G, por lo tanto F G. Decimos que F es el álgebra generado por el conjunto A. Para definir una medida de probabilidad sobre este álgebra, es suficiente elegir un número p [0, 1] y definir p como la probabilidad de A, es decir, P(A) = p, en cuyo caso P(A c ) = 1 p. Caso II. Sea Ω un conjunto y sean A, B Ω un par de subconjuntos. Cómo formar un álgebra de subconjuntos de Ω que contenga a los conjuntos A y B? Llamemos F a este álgebra. Primero, los conjuntos y Ω deben ser parte de esta clase. Segundo, los conjuntos A y B deben ser parte también de esta clase. Tercero, composiciones y complementaciones de estos eventos son también partes de la clase F. Esto es, F = Ω,, A, B, A c, B c, A B, A B, A B c, A B c, A c B, A c B, A c B c, A c B c, (A B c ) (A c B), ((A B c ) (A c B)) c }. (2) Decimos que F es el álgebra generado por los conjuntos A y B (o bien, por la clase A, B}), dado que F es el álgebra más pequeño que puede formarse con los conjuntos A y B, en el sentido de que si G es algún otro álgebra sobre Ω tal que A G y B G, entonces F G. Aunque podemos convencernos fácilmente de estos hechos, en realidad necesitamos una prueba formal para tener una idea adecuada de estos argumentos. Para ello es necesario hacer un par de observaciones fundamentales: Notamos que todos los conjuntos de la clase F pueden expresarse como uniones de los conjuntos o bien son estos mismos conjuntos. A B, A B c, B A c y A c B c, (3) 13 14

8 Veamos, A = (A B) (A B c ), B = (A B) (A c B), A c = (A c B) (A c B c ), B c = (A B c ) (A c B c ), A B = (A B c ) (A c B) (A B), A c B = (A c B c ) (A B) (A c B), A B c = (A B) (A c B c ) (A B c ), A c B c = (A B c ) (A c B) (A c B c ), (A B c ) (A c B) = (A B c ) (A c B), ((A B c ) (A c B)) c = (A B) (A c B c ), Ω = (A B) (A B c ) (A c B) (A c B c ). Más aún, las uniones anteriores son, de hecho, todas las uniones que podemos formar con los conjuntos (3). Por otra parte, los conjuntos (3) forman una partición de Ω (son ajenos y la unión de todos ellos es Ω). Estos hechos son súmamente relevantes por dos razones: Uno, para establecer un método (de entre muchos otros) para definir probabilidades sobre el álgebra generado por dos subconjuntos A y B. Dos: para dar un argumento sólido de que F es en efecto el álgebra más pequeño que contiene a los subconjuntos A y B (es decir, el álgebra generado por A y B). Para definir una medida de probabilidad sobre el álgebra F es suficiente asignar probabilidades (adecuadamente) a cada conjunto de la partición (3), de manera que la propiedad de la aditividad finita definirá la probabilidad para el resto de los elementos de F. Por ejemplo, supongamos que ninguno de los conjuntos (3) es vacío. Elegimos la siguiente asignación P(A B) = 3 12, P(A Bc ) = 6 12, P(Ac B) = 2 12, P(Ac B c ) = Entonces podemos calcular la probabilidad del resto de los elementos de la clase F. Por ejemplo, P(A) = P(A B) + P(A B c ) = 3 4, P(A c B c ) = 1 P(A B) = 3 4, P(A B) = P(A B c ) + (A c B) + P(A B) = (4) Obviamente, no es necesario remarcar que existe un gran número de medidas de probabilidad que pueden ser definidas sobre F. Un ejemplo trivial es el siguiente: Definimos 1 si A = Ω, P(A) = 0 si A Ω. Con estas consideraciones en mente, mostramos ahora que la clase F es en efecto el álgebra más pequeño que puede formarse con los subconjuntos A y B, a través del siguiente resultado. Proposición 3. Sea Ω un conjunto y A y B dos subconjuntos de Ω. Consideremos la clase de subconjuntos Entonces, Q = A B, A B c, A c B, A c B c }. i) Q es una partición de Ω (son ajenos y su unión es Ω). ii) La clase F dada en (2), es un álgebra y reúne todas las uniones que pueden formarse con los subconjuntos en Q y al conjunto vacío. iii) La clase F dada en (2), es el álgebra más pequeño que puede formarse con los subconjuntos de la partición Q, en el sentido de que si G es otro álgebra que contiene a todos los subconjuntos de la partición Q, entonces F Q. iv) La clase F dada en (2), coincide también con el álgebra más pequeño que puede formarse con los subconjuntos A y B. Demostración. Es claro que los conjuntos de la clase Q son ajenos, y como hemos visto en (4), Ω = (A B) (A B c ) (A c B) (A c B c ). Por lo tanto Q es una partición de Ω. Ahora bien, dado que Q solo tiene 4 conjuntos, solo podemos formar uniones de 1 conjunto, de dos conjuntos, de tres conjuntos y de 4 conjuntos, las cuales son los propios conjuntos de la partición Q (es decir, las uniones de 1 conjunto) y las restantes uniones están dadas por las igualdades (4). Por lo tanto, la clase que reúne todas las uniones que pueden formarse con los conjuntos de Q y al conjunto vacío, es precisamente la clase F dada por (2). 16

9 Ya hemos visto también, por simple inspección, que F es un álgebra. Sin embargo, el siguiente argumento nos permite dar una prueba más sólida de este hecho. Además, con esta explicación, podremos ilustrar la idea que permite hacer la prueba para los casos más generales tratados más adelante. Aquí resulta fundamental que Q es partición y que F reúne todas las uniones que pueden formarse con esta partición. En primer lugar, y Ω están en F. Por otra parte, si tomamos cualquier subconjunto que está en F, distinto de y Ω, debe ser entonces un conjunto de la partición Q, o bien es una unión de dos o tres conjuntos de Q. Por lo tanto, si se trata de un elemento de Q, su complemento es la unión de los tres restantes elementos de Q (pues Q es partición), si se trata de la unión de dos conjuntos, su complemento es también la unión de los otros dos conjuntos restantes (pues Q es partición), y si se trata de la unión de tres conjuntos, su complemento es igual al conjunto no incluido en dicha unión (de nueva cuenta porque Q es partición). Por último, resulta casi inmediato que la clase F es cerrada para uniones finitas, pues estás uniones son de nueva cuenta uniones de los elementos de la partición Q. Hay que probar ahora que F es el álgebra más pequeño que contiene a los conjuntos de la partición Q. Supongamos que G es otro álgebra que contiene a los conjuntos de la partición Q. Por supuesto G (por ser álgebra). Como G es cerrado para uniones finitas (por ser álgebra), entonces contiene a cualquier unión formada con subconjuntos de Q, es decir F G. Resta probar que F coincide con el álgebra más pequeño que se puede formar con los subconjuntos A y B. Con todo lo anterior esta prueba es casi trivial. Supongamos que H es otro álgebra tal que A H y B H. Entonces, por las propiedades de álgebra de H, todos los subconjuntos de la partición Q están en H y por lo tanto F H, puesto que F es el álgebra más pequeño que contiene a la partición Q. Este resultado nos dice incluso de qué tamaño es el álgebra F generado por los subconjuntos A y B. Corolario. Sea Ω un conjunto y A y B dos subconjuntos de Ω. Si F es el álgebra más pequeño que puede formarse con los conjuntos A y B (esto es, el álgebra generado por A y B), entonces F La igualdad es válida sólo si todos los conjuntos de la partición son no vacíos. Q = A B, A B c, A c B, A c B c }, Demostración. Por la proposición anterior, el álgebra F está formada por todas las uniones de los conjuntos de la partición Q y el conjunto vacío Ω. 17 Tomando en cuenta entonces, que algunos conjuntos de Q pueden ser vacíos, el tamaño de F es necesariamente menor o igual a = = (1 + 1) 4 = Por otra parte, si F = 2 22 es claro que ninguno de los conjuntos de la partición Q es vacío (de lo contrario, el conjunto vacío estaría repetido al menos dos veces). Por último, apuntamos formalmente el esquema que permite definir un modelo de probabilidad sobre el álgebra generado por los subconjuntos A y B. Corolario. Sea Ω un conjunto no vacío y A y B dos subconjuntos de Ω, y sea F el álgebra más pequeño que puede formarse con los conjuntos A y B (esto es, el álgebra generado por A y B). Para definir un modelo de probabilidad sobre F, es suficiente elegir adecuadamente 4 números p i [0, 1], i = 1, 2, 3, 4, tales que p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 1, definir las probabilidades P(A B) = p 1, P(A B c ) = p 2, P(A c B) = p 3 y P(A c B c ) = p 4, y asumir la propiedad de la aditividad finita. Notamos que si alguno de los conjuntos anteriores es vacío, obliga definir su probabilidad como cero. Demostración. Solo hay que observar que las probabilidades de los elementos restantes de F podemos obtenerlas con la propiedad de la aditividad finita. Debemos hacer hincapié en que el corolario anterior solo define un esquema suficiente y general para construir un modelo de probabilidad sobre el álgebra generado por dos subconjuntos A y B. En cada situación podemos tener más de una forma de construir modelos de probabilidad. Los tres casos siguientes son ejemplos de ello. Caso III. Observe que si A B =, entonces F = Ω,, A, B, A c, B c, A B, A c B c }. En este caso, es suficiente definir P(A) = p 1 y P(B) = p 2 para cualquier elección (adecuada) de un par de números p 1, p 2 [0, 1], tal que p 1 + p 2 1, para tener un modelo de probabilidad sobre F (asumiendo la propiedad de la aditividad finita). 18

10 Caso IV. Si A B = y A B = Ω, esto es, los conjuntos A y B forman una partición de Ω, entonces F = Ω,, A, B}. En este caso, la elección p = P(A), con p [0, 1], obliga la elección 1 p = P(B). De hecho, B = A c. Este es el mismo caso que el primero. Caso V. Si A B, entonces F = Ω,, A, B, A c, B c, B A c, A B c }. Podemos definir un modelo de probabilidad de diferentes formas. Una de las más simples es elegir P(A) = p = P(B), para cualquier p [0, 1] adecuado. Si alguno de los conjuntos es vacío, elegimos p = 0 necesariamente. Sin embargo, notamos que la elección de p > 0 no es obligada. En efecto, si p = 0, entonces tenemos un modelo de probabilidad trivial dado por 1 si F = Ω ó F = A c ó F = B c ó F = A B c, P(F ) = 0 en otro caso, para todo F F. En cualquier caso, para una elección adecuada del número p, tenemos las siguientes probabilidades: P( ) = P(B A c ) = 0, P(A c ) = P(B c ) = 1 p, P(Ω) = P(A B c ) = 1. En estos momentos, debería ser claro para el estudiante que un evento de probabilidad nula, no implica necesariamente que sea vacío, y que un evento de probabilidad 1, no implica necesariamente que sea el total Ω. Caso VI. Sea Ω un conjunto no vacío y supongamos que A, B y C son tres subconjuntos de Ω. De nueva cuenta, la idea es mostrar dos cosas. En primer lugar, es claro que la familia de conjuntos A B C A B C c A B c C A B c C c A c B C A c B C c A c B c C A c B c C c. es una partición del espacio Ω (son ajenos y la unión de todos ellos es Ω). En segundo lugar, deberíamos mostrar que el álgebra generado por los subconjuntos A, B y C es justamente la clase que reúne todas las uniones de los conjuntos (5). Para ello, introducimos una notación más adecuada. Primero, si a es un número en 0, 1}, definimos A a A si a = 1, = A c si a = (5) Y de forma análoga definimos los conjuntos B a y C a. Entonces, para cada terna de ceros y unos (a 1, a 2, a 3 ) 0, 1} 3, definimos el conjunto Por ejemplo E (a1,a2,a3) = A a1 B a2 C a3. E (1,0,1) = A B c C, E (1,0,0) = A B c C c, E (0,0,0) = A c B c C c. Esta notación permite enumerar (o indexar) los conjuntos (5) con las 8 ternas ordenadas de ceros y unos que pueden formarse. La familia de conjuntos (5) es entonces la clase E = E α : α 0, 1} 3 }, y la clase que reúne todas las uniones posibles de estos conjuntos, es decir, el álgebra generado por los subconjuntos A, B y C, es la familia F = E α : D 0, 1} 3}. α D Aceptamos la convención de que la unión vacía es vacía, esto es, si D =, entonces definimos E α =. α D Por ejemplo, si D = (0, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}, entonces E α = [ A c B c C ] [ A B C c] [A c B C ]. α D Ahora bien, E 2 3 y la igualdad es válida sólo si ninguno de los conjuntos E α es no vacío. Y por tanto F 2 23, y la igualdad es válida sólo si ninguno de los conjuntos E α es vacío. Observe que 0, 1} 3 = 2 3 y P(0, 1} 3 ) = Todos estos hechos serán formalizados y probados con todo detalle en los dos apartados siguientes. 20

11 El álgebra de eventos generado por los conjuntos de una partición finita de subconjuntos de Ω Primero recordamos formalmente la definición de partición finita. Definición 4 (Partición finita). Sea Ω un conjunto y supongamos que la clase B = B i : i = 1,..., n} es una partición finita del conjunto Ω, esto es, (i) B i para todo i = 1,..., n. (ii) B i B j = si i j. (iii) n B i = Ω. i=1 Generalmente se prescinde de la propiedad i), y se asume únicamente las dos últimas propiedades como definición de partición. Ahora definiremos con mayor precisión lo que entenderemos como álgebra generado (o álgebra mínimo, o álgebra más pequeño). Definición 5 (Álgebra generado). Sea Ω un conjunto no vacío y sea B una clase de subconjuntos de Ω (finita o no). Decimos que un álgebra F de subconjuntos de Ω es el álgebra generado (o también álgebra mínimo o más pequeño) por la clase B, si i) B F, y ii) Si para algún otro álgebra G, tenemos B G, entonces F G. Probaremos a continuación que el álgebra mínimo formado por una partición finita B = B i : i = 1,..., n}, es la clase que reúne las uniones parciales de los conjuntos de la partición. Para ello hay que convenir una notación adecuada: Supongamos que I 1, 2,..., n}. Entonces, la unión de los conjuntos B i, con i I, se escribe i I B i. Por ejemplo, si I = 3, 8, 11, 12, 21}, entonces B i = A 3 B 8 B 11 B 12 B 21. i I Si I = k} para algún k 1,..., n}, entonces B i = B k. i I 21 Por último, convenimos en que la unión vacía es vacía. Esto es si I =, entonces definimos B i =. Teorema 2. Sea Ω un conjunto y supongamos que la clase i I B = B i : i = 1,...n} es una partición finita de tamaño n del conjunto Ω (es decir, satisface las propiedades (ii) y (iii) de la Definición 4), entonces la clase } F = B i : I 1, 2,..., n} i I que reúne todas las uniones de los conjuntos B i, es un álgebra y B i F para todo i = 1,..., n. Además, si G es otro álgebra de subconjuntos de Ω tal que B i G, para todo i = 1,..., n, entonces F G. En este sentido, decimos que F es mínimo (o que es el álgebra generado por la partición B). Además, F 2 n, y la igualdad es válida si, y sólo si, los conjuntos B i son todos no vacíos. Por otra parte, para definir un modelo de probabilidad sobre el álgebra F, es suficiente elegir n números p i [0, 1], adecuadamente, tal que p 1 + p p n = 1 y definir P(B i ) = p i, para todo i = 1, 2,..., n, asumiendo además la propiedad de la aditividad finita. Demostración. Probaremos primero que la clase F es un álgebra. En primer lugar es claro que Ω F, pues i 1,2,...,n} B i = n B i = Ω. Ahora bien, si I 1,..., n} y F = i I B i, es también claro que F c = i I c B i, de donde se sigue que F es cerrado bajo complementación. Finalmente, si I, J 1, 2,..., n} y F = i I B i y G = j J B j son elementos de F, entonces F G = k I J i=1 B k F. Luego, F es también cerrado para uniones finitas. Por lo tanto F es un álgebra. 22

12 Por otra parte, es claro que B F. Si G es otro álgebra tal que B i G, para todo i = 1,..., n, entonces es inmediato que F G (pues G es cerrado bajo uniones). Por lo que F es el álgebra generado por la partición B. Para contar los elementos de F, debemos contar cuantas uniones pueden formarse con los n conjuntos que conforman la partición B. Suponiendo que hay conjuntos en B que pueden ser vacíos, el número total de uniones que podemos formar con n conjuntos B 1,..., B n, es menor o igual a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n = (1 + 1) n = 2 n n 1 n (Esto es: la unión vacía, las uniones de 1 conjuntos, las de dos conjuntos, las de tres, etc. Hasta la unión de todos ellos). De donde F 2 n. La igualdad es válida sólo si B i para todo i = 1,..., n, pues todas las uniones son distintas. Finalmente, si elegimos n números p i [0, 1] tal que p 1 +p 2 + +p n = 1 y definimos P(B i ) = p i (donde elegimos p i = 0 si B i = ), entonces, asumiendo la propiedad de la aditividad finita, para cualquier F = i I B i F, definimos P(F ) = i I La medida P es entonces un modelo de probabilidad sobre F. Ejemplo 8. Si Ω es un conjunto finito, digamos Ω = 1, 2,..., n}, entonces si definimos la partición B i = i} para todo i = 1, 2,..., n, tenemos que el álgebra generada por esta partición es el conjunto potencia P(Ω). En este caso, cualquier modelo de probabilidad está únicamente determinado por un vector de probabilidad de dimensión n. Ejemplo 9. Sea Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Consideremos los subconjuntos p i. Podemos considerar por ejemplo la siguiente asignación: P(1}) = 1 3, P(9}) = 2 3 y P(0, 2, 4, 6, 8}) = 0 = P(3, 5, 6, 7}). Ejemplo 10. El teorema anterior no está restringido a conjuntos finitos, aunque en realidad es mucho más útil en estos casos. En el intervalo, (0, 1), definimos los conjuntos B i = x (0, 1) : el primer dígito de su expansión decimal es i}, para i = 0, 1, 2,..., 9. Claramente estos conjuntos forman una partición finita de (0, 1). Podemos elegir una asignación uniforme : P(B i ) = 1 10, para todo i = 1,..., n. Ejemplo 11. En este ejemplo planteamos las limitaciones del teorema anterior. Sobre R, los conjuntos singulares x}, x R, generan el álgebra F = A R : A es finito ó A c es finito}. En el álgebra F la única medida de probabilidad no trivial está definida por 1 si A c es finito, P(A) = 0 si A es finito. B 1 = 1}, B 2 = 0, 2, 4, 6, 8}, B 3 = 3, 5, 7} y B 4 = 9}. Entonces el álgebra generado por la partición B = B i : i = 1, 2, 3, 4} es F =, 1}, 0, 2, 4, 6, 8}, 3, 5, 7}, 9}, 0, 1, 2, 4, 6, 8}, 1, 3, 5, 6, 7}, 1, 9}, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 0, 2, 4, 6, 8, 9}, 3, 5, 7, 9}, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 0, 1, 2, 4, 6, 8, 9}, 0, 3, 5, 7, 9}, 1, 3, 5, 7, 9}, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Ω }

13 El álgebra generado por una familia finita de subconjuntos. Sea Ω un conjunto no vacío. La idea es construir una partición a partir de una familia de subconjuntos dada B = B i Ω : i = 1,..., n}, la cual no es necesariamente una partición. El modelo a seguir es exactamente el mostrado en algunos de los ejemplos particulares analizados al principio. Primero tenemos que definir algunas convenciones de notación. Definición 6. Sea Ω un conjunto no vacío y sea B Ω un subconjunto de Ω. Si a 0, 1}, defimos el conjunto B a B si a = 1, = B c si a = 0. Notamos que si a 0, 1} y ã 0, 1}, entonces para cualquier conjunto B Ω, si a ã, B a Bã = B c si a = ã = 0, B si a = ã = 1. Definición 7. Sea Ω un conjunto no vacío y sea B i Ω un subconjunto de Ω, para todo i = 1,..., n. Para cada n-ada α = (a 1, a 2..., a n ) 0, 1} n de ceros y unos, defimos el conjunto E α = B a1 B a2 B an. Proposición 4. Sea Ω un conjunto no vacío y sea B i Ω un subconjunto de Ω, para todo i = 1,..., n. Consideremos la familia E = E α Ω : α 0, 1} n }. Entonces la familia E es una partición de Ω. Además E 2 n y la igualdad se da si, y sólo si, ningún conjunto E α es vacío. Demostración. Sean α = (a 1,..., a n ) 0, 1} n y α = (ã 1,..., ã n ) 0, 1} n dos n-adas de ceros y unos distintas. Entonces, para algún índice j, a j ã j. Por lo tanto, E α E α B aj Bãj =. Lo que prueba que los conjuntos E α son ajenos. Ahora probaremos que la unión de todos ellos es Ω. Sea ω Ω. Para cada i = 1,..., n, definimos el número 1 si ω B i, t i = 0 si ω / B i. 25 Sea τ = (t 1, t 2,..., t n ). Es claro entonces que Esto prueba que ω B t1 B t2 B tn = E τ. α 0,1} n E α = Ω, y por tanto E es partición de Ω. Por otro lado, es claro que el número máximo de conjuntos E α que pueden formarse es justamente la cardinalidad del conjunto 0, 1} n, es decir, el número total de n-adas de ceros y unos, que es justamente igual a 2 n. Con lo anterior, podemos entonces probar el teorema más importante de esta sección. Teorema 3. Sea Ω un conjunto no vacío y sea B i Ω un subconjunto de Ω, para todo i = 1,..., n. Consideremos la familia E = E α Ω : α 0, 1} n }. Entonces el álgebra generado por los conjuntos B i, i = 1,..., n coincide con el álgebra generado por la partición E, dada por F = E α : D 0, 1} n}. α D Además, F 2 2n y la igualdad es válida solo si ningún conjunto E α es vacío. Por otra parte, para definir un modelo de probabilidad sobre el álgebra F, es suficiente elegir 2 n números, p α [0, 1], para cada α 0, 1} n, adecuadamente, tal que p α = 1 α 0,1} n y definir P(E α ) = p α, para todo α 0, 1} n (si E α = obliga la elección p α = 0) asumiendo además la propiedad de la aditividad finita. Demostración. La clase E es un partición de Ω, que contiene un máximo de 2 n elementos (Proposición 4), por lo tanto, el álgebra generado por esta partición es justamente la clase F y F 2 2n (Teorema 2). Resta probar que este álgebra coincide con el álgebra generado por la familia de conjuntos B i, i = 1,..., n. Sea C dicho álgebra. Debemos mostrar que F = C. Por un lado, es claro que E C, de donde F C, debido a las propiedades de álgebra de 26

14 C y dado que B i C, para todo i = 1, 2,..., n. Ahora bien, para cada índice j 1, 2,..., n}, consideremos el subconjunto de 0, 1} n definido por D j = α = (a 1, a 2,..., a n ) 0, 1} n : a j = 1}, esto es, todas las n-adas de ceros y unos cuya coordenada j-ésima es fija y es igual a 1. Mostraremos que B j = E α Dj α. Si B j =, no hay nada que hacer, la igualdad anterior es inmediata. Supongamos que B j y sea ω B j. De nueva cuenta, definimos los números t i 0, 1}, para i = 1,..., n, dados por 1 si ω B i, t i = 0 si ω / B i. y sea τ = (t 1, t 2,..., t n ). Entonces τ D j y obviamente ω E τ α Dj lo que prueba que B j α Dj E α. La contensión contraria es inmediata, sólo hay que observar que E α B j, cuando α D j. De este modo, B j = α Dj E α, para cada índice j = 1,..., n. Por lo tanto, F es un álgebra que contiene a la familia de conjuntos B j, j = 1,..., n, entonces C F. E α, 27