Axiomas de recubrimiento

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1 CAPíTULO 8 Axiomas de recubrimiento Dedicaremos este capítulo a un nuevo tipo de propiedades topológicas: aquellas que se refieren a la posibilidad de extraer subrecubrimientos de cardinal finito o numerable de cualquier recubrimiento. Estudiaremos compacidad, espacios de Lindelöf, compacidad local. Para terminar describiremos el método de compactificación de Alexandroff. Tema 1. Compacidad Definición Una familia V de subconjuntos de X se dice un recubrimiento de X si V = X. Si V es recubrimiento de X y existe W V subfamilia de V que es también un recubrimiento de X diremos que V posee un subrecubrimiento W de X. Si el subrecubrimiento W cumple W V diremos que es un subrecubrimiento propio. Si además X es un espacio topológico y todo elemento de V es abierto, entonces diremos que V es un recubrimiento abierto de X. Definición Diremos que un recubrimiento V de X posee un subrecubrimiento finito (resp. numerable o contable) de X si existe un subrecubrimiento finito (numerable o contable) de V. A esta propiedad del recubrimiento V nos referiremos diciendo que V recubre finitamente (resp. numerable o contablemente) a X. Definición Sea K un espacio topológico. Diremos que K es compacto si todo recubrimiento abierto de K posee un subrecubrimiento finito. Si K X con (X, T ) espacio topológico, diremos que K es compacto si (K, T K ) es compacto. Observación Dado que la definición de compacidad sólo hace referencia a propiedades que se conservan por homeomorfismos (recubrimientos abiertos, subrecubrimientos finitos) se deduce que la compacidad es una propiedad topológica. 97

2 98 8. AXIOMAS DE RECUBRIMIENTO Ejercicio 8.1. Demuestra que A X es compacto si y sólo si {U λ } λ Λ, familia de abiertos de X tal que A λ Λ U λ, existe un subconjunto finito F Λ tal que A λ F U λ. Una familia {U λ } λ Λ de abiertos de X que cumpla A λ Λ U λ, diremos que es un recubrimiento abierto de A en X. Ejercicio 8.2. Demuestra que la unión finita de compactos es un compacto. Veamos algunos ejemplos de compacidad: Ejemplo Los espacios topológicos finitos (o con un número finito de abiertos) son compactos. Ejemplo Un espacio topológico discreto es compacto si y sólo si es finito. Ejemplo R no es compacto. Ejemplo [0, 1] es compacto. El siguiente resultado es muy útil a la hora de probar que ciertos subconjuntos de espacios compactos son compactos. Proposición Si X es compacto y K X es cerrado, entonces K es compacto. Proposición Si X es Hausdorff y K X es compacto, entonces K es cerrado. Observación Observa que si (X, T ) es compacto y T 2, entonces el conjunto de cerrados C T de X coincide con el de subconjuntos compactos de X. Ejemplo Obsérvese que la condición de separación T 2 en la Proposición es necesaria. Por ejemplo, consideremos el espacio de Sierpinski (Ejemplo 2.1.2(8)). El subconjunto {0} es compacto por ser finito (Ejemplo 8.1.5), pero no es cerrado ya que {0} c = {1} no es abierto. Corolario Sea X Hausdorff. Sea {K λ } λ Λ una familia no vacía de compactos de X. Entonces λ Λ K λ es compacto. Ejemplo Como ejemplo de esta caracterización observa que Q [0, 1] no es compacto ya que no es cerrado. Proposición Todo subconjunto infinito de un conjunto compacto posee algún punto de acumulación, es decir, si A K es un subconjunto infinito de un conjunto K compacto, entonces A.

3 TEMA 1. COMPACIDAD 99 Teorema (Heine-Borel). En R n las tres afirmaciones siguientes son equivalentes: (1) K R n es cerrado y acotado. (2) K R n es compacto. (3) Todo subconjunto infinito de K posee algún punto de acumulación en K. Empezamos con la demostración para n = 1. Ejemplo Como ejemplo de esta caracterización observa que una parábola {(x, x 2 ) x R} no es compacta ya que, aunque es cerrada (por ser grafo de una aplicación continua), no es acotada. Proposición Sea {K n } n N una familia de conjuntos cerrados encajados (K n K m si n m) no vacíos de un conjunto compacto X, entonces n N K n es un conjunto compacto no vacío. Es importante observar que no todos los compactos infinitos de R son intervalos cerrados y acotados o uniones finitas de ellos. A continuación construiremos un compacto infinito de R que no sólo no es un intervalo, sino que ni siquiera contiene ningún intervalo. Este conjunto se denomina conjunto de Cantor y lo obtendremos del siguiente modo: Ejemplo (Cantor). Consideremos E 0 := [0, 1], ( 1 E 1 := E 0 \ 3, 2, ( 3) (1 E 2 := E 1 \ 9, 2 ) ( 7 9 9, 8 ) ), 9... ( 3 ) n 1 1 ( 3k + 1 E n := E n 1 \, 3k + 2 ). 3 n 3 n k=0 Para simplificar consideremos las siguientes notaciones: y así Obsérvese lo siguiente: ( 3k + 1 I k,n :=, 3k + 2 ) 3 n 1 1, I 3 n 3 n n := I k,n. E n = E n 1 \ I n = [0, 1] \ (1) E n+1 E n (en general, E n E m si m n). ( n m=1 k=0 I m ).

4 AXIOMAS DE RECUBRIMIENTO (2) E n n N ya que 1 E 3 n n. Esto es fácil de comprobar ya que n 3 m si m n y por tanto 1 1 / I 3 n m si m n. Así pues, / n 3 n m=1 I m y por tanto 1 [0, 1] \ ( n 3 m=1i n m ) = E n. (3) E n es cerrado n N por inducción ya que E 0 es cerrado y si E n es cerrado, como I n es abierto (por ser unión de intervalos abiertos), entonces E n \ I n = E n In c es abierto (por ser intersección de dos cerrados). Se define Probemos algunas propiedades de C. Propiedades (Cantor). C := n N E n. 4. C es un conjunto compacto no vacío. 5. C no contiene ningún intervalo (no unipuntual). 6. C no tiene puntos aislados (y por lo tanto es infinito). Observación Si se define la medida de un intervalo [a, b] R como µ([a, b]) = b a, se dice que la medida de un conjunto A R es M si para todo ε > 0 se puede encontrar un recubrimiento de A por intervalos A = n N [a n, b n ] de modo que n N µ([a n, b n ]) converja a s y s M < ε. En particular, si un conjunto tiene medida (de la definición no se deduce que todos los subconjuntos de R tengan que tener medida) y contiene un intervalo, su medida ha de ser positiva. Con esta definición, observa que E n es una unión finita de intervalos cerrados y acotados, que C E n y que µ(e n ) = 2n 3 n. Por lo tanto µ(c) = 0. Es decir, el conjunto de Cantor es un compacto infinito de R de medida cero sin puntos aislados. Probaremos los siguientes resultados, que relacionan compacidad y separación. Proposición Todo espacio topológico T 2 separa compactos. Corolario Sea X un espacio topológico compacto y T 2, entonces X es T 4. A continuación mostraremos que los conjuntos compactos se preservan por aplicaciones continuas, Proposición Sean (X, T X ) e (Y, T Y ) e.t, supongamos que K X es compacto y f : X Y es una aplicación continua, entonces f(k) es compacto. Observación En particular, toda función continua de un cerrado y acotado de R n en R admite máximos y mínimos absolutos.

5 TEMA 1. COMPACIDAD 101 Ejemplo Como aplicación de este resultado probaremos que S es compacto. Ejercicio 8.3. Demuestra que si f : X Y es una aplicación continua entre espacios topológicos, X es compacto e Y es T 2, entonces f es cerrada. Si además f es biyectiva, entonces f es un homeomorfismo. A continuación probaremos algunas interesantes caracterizaciones de compacidad. Para ello definiremos brevemente el siguiente concepto. Diremos que una familia V = {V λ X λ Λ} de subconjuntos de X es disjunta si V = λ Λ V λ = y diremos que es finitamente disjunta si existe una subfamilia finita de V disjunta, es decir, si F Λ tal que λ F V λ =. Proposición Sea (X, T ) e.t, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es compacto 2. Si una familia de abiertos no recubre finitamente a X, no recubre a X. 3. Si una familia de cerrados es disjunta, entonces es finitamente disjunta. 4. Si una familia de cerrados no es finitamente disjunta, entonces no es disjunta. 5. Existe B base de (X, T ) tal que todo recubrimento de abiertos básicos (es decir, U B con U = X) recubre finitamente a X. compacidad en productos y cocientes Proposición Si (X, T ) es un espacio topológico compacto y R relación de equivalencia en X, entonces (X/R, T /R) es compacto. Teorema (Tychonoff). Sean (X, T X ) e (Y, T Y ) e.t. no vacíos, entonces X Y es compacto si y sólo si X e Y lo son. Ahora podemos terminar la demostración del Teorema Corolario Una función continua de un subconjunto cerrado y acotado de R n posee máximo y mínimo absolutos.