3. Órbitas de sistemas autónomos. Los Teoremas de LaSalle y de Poincaré-Bendixson. 3. Órbitas. Teoremas de LaSalle y Poincaré-Bendixson

Transcripción

1 3. Órbitas de sistemas autónomos. Los Teoremas de LaSalle y de Poincaré-Bendixson

2 3.1. El concepto de órbita de un sistema autónomo. Órbitas de s.d.o. lineales homogéneos en el plano

3 3.1. Órbita. Órbitas de s.d.o. lineales planos Consideremos el sistema no lineal autónomo (3.1) y = f (y) donde f : D R N R N, con f Lip loc (D) y D abierto conexo no vacío. Observación Podemos tomar Ω = R D como abierto maximal de existencia y unicidad asociado al sistema. Definición Sea y 0 D y denotemos I(y 0 ) = I(0, y 0 ). Se llama órbita del sistema autónomo (3.1) asociada (o, que pasa por) y 0 al conjunto γ(y 0 ) dado por γ(y 0 ) = {ϕ(t; 0, y 0 ) : t I(y 0 )} D.

4 3.1. Órbita. Órbitas de s.d.o. lineales planos Definición Sea y 0 D. Se dice que y 0 es un punto crítico o punto estacionario para el sistema (3.1) si se tiene f (y 0 ) = 0. En este caso, se tiene que Ejemplo Estudiemos las órbitas del sistema γ(y 0 ) = {y 0 }. (1) { y 1 = y 2 + y 1 (1 y 2 1 y 2 2 ) y 2 = y 1 + y 2 (1 y 2 1 y 2 2 ) Configuración de órbitas en el caso de un s.d.o. lineal homogéneo plano

5 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades

6 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Proposición (Sistemas autónomos) Consideremos el sistema autónomo (3.1) con f Lip loc (D). Para t 0 R e y 0 D, sea ϕ( ; t 0, y 0 ) la solución maximal del problema de Cauchy asociado a (3.1). Entonces, 1 I(t 0, y 0 ) = t 0 + I(0, y 0 ) t 0 + I(y 0 ). 2 ϕ(t; t 0, y 0 ) = ϕ(t t 0 ; 0, y 0 ), para cualquier t I(t 0, y 0 ). Proposición (Propiedad general) Consideremos el sistema (3.1) con f Lip loc (D). Sean t 0 R e y 0 D. Entonces, si t 1 I(t 0, y 0 ) e y 1 = ϕ(t 1 ; t 0, y 0 ), se tiene I(t 0, y 0 ) = I(t 1, y 1 ) y ϕ(t; t 0, y 0 ) = ϕ(t; t 1, y 1 ), t I(t 0, y 0 ). Prueba: Consecuencia de la unicidad de la solución maximal.

7 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Corolario En las condiciones de la Proposición 3, sean t 0 R, y 0 D, t 1 I(y 0 ) e y 1 = ϕ(t 1 ; 0, y 0 ). Entonces, I(y 0 ) = t 1 + I(y 1 ) y Prueba: Proposición Sean y 0, y 1 D. Entonces: ϕ(t; 0, y 1 ) = ϕ(t + t 1 ; 0, y 0 ), t I(y 1 ). 1 y 1 γ(y 0 ) si y sólo si γ(y 1 ) = γ(y 0 ). 2 γ(y 0 ) γ(y 1 ) si y sólo si γ(y 1 ) = γ(y 0 ). Prueba: Ejercicio Compruébese el apartado 2 de la anterior Proposición.

8 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Definición Dado y 0 D, definimos la semiórbita positiva (resp., semiórbita negativa) del sistema (3.1) asociada a y 0 al conjunto γ + (y 0 ) (resp., al conjunto γ (y 0 )) dado por: γ + (y 0 ) = {ϕ(t; 0, y 0 ) : t I(y 0 ), t 0}, (resp., γ (y 0 ) = {ϕ(t; 0, y 0 ) : t I(y 0 ), t 0}. Proposición Sea y 0 D y consideremos y 1 = ϕ(t 1 ; 0, y 0 ) γ(y 0 ), con t 1 I(y 0 ). Entonces, 1 Si t 1 0, entonces γ + (y 0 ) = γ + (y 1 ) {ϕ(t; 0, y 0 ) : t [0, t 1 ]}. 2 Si t 1 0, entonces γ + (y 1 ) = γ + (y 0 ) {ϕ(t; 0, y 0 ) : t [t 1, 0]}. Prueba: Consecuencia directa del corolario anterior.

9 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Ejercicio Pruébese la Proposición anterior. Definición Sea y 0 D. Se dice que la órbita γ(y 0 ) de (3.1) es cíclica o cerrada si I(y 0 ) = R y existe T > 0 tal que se tiene ϕ(t + T ; 0, y 0 ) = ϕ(t; 0, y 0 ), t R. En este caso se dice que T es un periodo de la órbita.

10 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Observación 1 Las órbitas cíclicas corresponden a las soluciones periódicas de (3.1). Ejemplo trivial: puntos críticos del sistema: Si y 0 D es un punto crítico, entonces, I(y 0 ) = R y ϕ(t; 0, y 0 ) = y 0, t R. Así, γ(y 0 ) = {y 0 } y γ(y 0 ) es cíclica con periodo T > 0 arbitrario. Otro ejemplo: Ejemplo 1 cuando y 0 C = {y R 2 : y = 1}: γ(y 0 ) = C (cíclica de periodo T = 2π). 2 Si la órbita γ(y 0 ) es cíclica (y 0 D), entonces se tiene γ(y 0 ) = γ + (y 0 ) = γ (y 0 ). Además, si y 1 γ(y 0 ) se tiene γ + (y 0 ) = γ + (y 1 ). Veremos un poco más adelante que las implicaciones contrarias también son ciertas. Ejercicio Compruébese el apartado 2 de la Observación.

11 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Proposición Sea y 0 D y consideremos el s.d.o. (3.1). Supongamos que la órbita γ(y 0 ) se corta a sí misma, es decir, existen t 1, t 2 I(y 0 ), con t 1 t 2, tales que ϕ(t 1 ; 0, y 0 ) = ϕ(t 2 ; 0, y 0 ). Entonces, γ(y 0 ) es cíclica y T = t 2 t 1 es un periodo asociado. Prueba: Ejercicio Pruébese la propiedad: Sea y 0 D. La órbita γ(y 0 ) de (3.1) es cíclica si y sólo si γ + (y 0 ) = γ(y 0 ) (resp., γ (y 0 ) = γ(y 0 )).

12 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Definición Sea Γ D. (a) Se dice que Γ es un conjunto invariante para (3.1) si satisface γ(y 0 ) Γ, y 0 Γ. (b) Se dice que Γ es un conjunto positivamente invariante (resp., negativamente invariante) para (3.1) si γ + (y 0 ) Γ (resp., γ (y 0 ) Γ), y 0 Γ. Ejemplo Observación Sea Γ D. Entonces, Γ es invariante para el sistema (3.1) si y sólo si Γ = y 0 Γ γ(y 0). (Idem para positiva y negativamente invariante).

13 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Definición 1 Se dice que p R N es un punto límite positivo (resp., punto límite negativo) asociado a (3.1) y a y 0 D si existe una sucesión {t n } n 1 I(t 0 ) tal que (a) lim t n = sup I(y 0 ) (resp., lim t n = inf I(y 0 )) y (b) lim ϕ(t n ; 0, y 0 ) = p. 2 Dado y 0 D, se denomina conjunto límite positivo (resp., conjunto límite negativo) asociado a (3.1) y a y 0 D al conjunto Λ + (y 0 ) = {p R N : p es punto límite positivo asociado a y 0 }, (resp., Λ (y 0 ) = {p R N : p es punto límite negativo asociado a y 0 }). Finalmente, si A D, definimos Λ ± (A) = Λ ± (y 0 ). y 0 A

14 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Observación 1 De la propia Definición anterior deducimos que Λ + (y 0 ) γ(y 0 ) D (aunque Λ + (y 0 ) podría ser vacío). Una propiedad análoga se tiene para Λ (y 0 ). 2 Si la órbita γ(y 0 ) es cíclica, entonces, Λ + (y 0 ) Λ (y 0 ) γ(y 0 ). Efectivamente,... 3 Volvamos al Ejemplo 1... Proposición (y 0 D) 1 Si y 1 γ(y 0 ), entonces, Λ + (y 1 ) = Λ + (y 0 ). 2 Λ + (y 0 ) = Λ + (γ(y 0 )) = Λ + (γ + (y 0 )) = Λ + (γ (y 0 )). 3 γ + (y 0 ) = γ + (y 0 ) Λ + (y 0 ). 4 Λ + (y 0 ) = γ + (y 1 ). y 1 γ(y 0 )

15 3.2. Órbitas cíclicas y conjuntos límite. Propiedades Prueba: Utilizaremos de manera fundamental el Corolario 5. Proposición Sea y 0 D tal que γ + (y 0 ) D está acotada. Entonces: 1 Λ + (y 0 ) D es un compacto no vacío. 2 lim t sup I(y 0 ) dist ( ϕ(t; 0, y 0 ), Λ + (y 0 ) ) = 0. Prueba:... Proposición Sea y 0 D y K D un compacto tal que γ + (y 0 ) K. Entonces, 1 sup I(y 0 ) =. 2 Λ + (y 0 ) es un compacto no vacío invariante para (3.1). En particular, si Λ + (y 0 ) = {y 1 }, entonces y 1 es un punto crítico del sistema.

16 3.3. Principio de Invarianza: El Teorema de LaSalle. Consecuencias

17 3.3. Invarianza: Teorema de LaSalle. Consecuencias Teorema (Teorema de LaSalle) Sean K D un compacto no vacío y V C 1 (D) tal que V (y) 0 y K (derivada de V respecto del sistema (3.1)). Sea y 0 K tal que γ + (y 0 ) K. Denotemos por E = {y K : V (y) = 0}, y sea M el mayor subconjunto invariante para el sistema (3.1) de E (i.e., M es la unión de todos los subconjuntos invariantes para (3.1) contenidos en E). Entonces: 1 I(y 0 ) [0, ). 2 Λ + (y 0 ) M (y por tanto, M ). 3 lim t dist (ϕ(t; 0, y 0 ), M) = 0. Prueba:...

18 3.4. El caso particular de sistemas planos. El Teorema de Poincaré-Bendixson

19 3.4. Sistemas planos. Teorema Poincaré-Bendixson Teorema (Teorema de Poincaré-Bendixson) Consideremos el sistema (3.1) con f C 1 (D) y D R 2 un abierto no vacío. Sea y 0 K D con K un compacto tal que γ + (y 0 ) K (resp., γ (y 0 ) K ). Supongamos que Λ + (y 0 ) (resp., Λ (y 0 )) no contiene puntos críticos de (3.1). Entonces, (i) Λ + (y 0 ) (resp., Λ (y 0 )) es una órbita cíclica no degenerada. (ii) O bien γ(y 0 ) es una órbita cíclica (y en ese caso γ(y 0 ) = Λ + (y 0 )) (resp., γ(y 0 ) = Λ (y 0 )), o bien γ + (y 0 ) (resp., γ (y 0 )) se acerca en espiral hacia Λ + (y 0 ) (resp., Λ (y 0 )), en cuyo caso se dice que Λ + (y 0 ) (resp., Λ (y 0 )) es un ciclo-límite.

20 3.4. Sistemas planos. Teorema Poincaré-Bendixson Observación Obsérvese que si consideramos un sistema autónomo en R N, en las condiciones del Teorema de Poincaré-Bendixson, si la órbita γ + (y 0 ) está contenida en un compacto, entonces Λ + (y 0 ) es un conjunto compacto no vacío invariante para el sistema (3.1) (es decir, Λ + (y 0 ) es la unión de puntos críticos y órbitas completas del sistema). Si el sistema es plano, entonces podemos dar más información sobre Λ + (y 0 ): Si el conjunto límite no contiene puntos críticos, entonces este conjunto límite es una órbita cíclica no degenerada del sistema.