Existencia del atractor pullback para la ecuación de reacción-difusión sin unicidad de solución

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1 Existencia del atractor pullback para la ecuación de reacción-difusión sin unicidad de solución M. Anguiano, T. Caraballo, J. Real Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla, Sevilla anguiano@us.es, caraball@us.es, jreal@us.es J. Valero Dpto. Estadística y Matemática Aplicada, Universidad Miguel Hernández, Elche jvalero@umh.es Resumen Sea Ω R N un conjunto abierto no necesariamente acotado en el que se satisface la desigualdad de Poincaré i.e, tal que existe una constante λ 1 > 0 satisfaciendo u(x) 2 dx λ 1 1 u(x) 2 dx u H0 1 (Ω). (1) Ω Ω Consideremos el siguiente problema para la ecuación de reacción-difusión no autónoma con condición de Dirichlet homogénea, u u = f(x, u) + h(t) in Ω (τ, + ), t u = 0 on Ω (τ, + ), (2) u(x, τ) = u τ (x), x Ω, donde τ R, u τ L 2 (Ω), h L 2 loc (R; H 1 (Ω)) y f : Ω R R es una función Carathéodory, es decir, f(, u) es una función medible para cualquier u R y f(x, ) C(R) para casi todo x Ω, y satisface que existen constantes α 1 > 0, α 2 > 0, y p 2 y funciones positivas C 1 (x), C 2 (x) L 1 (Ω) tal que p p 1 f(x, s) α 1 s p + C 1 (x) s R, x Ω, (3) f(x, s)s α 2 s p + C 2 (x) s R, x Ω. (4) Varios aspectos de las ecuaciones de reacción-difusión han sido analizados en los últimos años, particularmente, su comportamiento asintótico. La motivación para el estudio de este tipo de ecuaciones de evolución no tienen ninguna duda (ver las referencias citadas, así como las referencias de éstas). Sin embargo, mencionaremos algunos artículos los cuales son contribuciones significantes en el caso que la unicidad de solución no puede ser asegurada o no se tiene (ver

2 [1] y sus referencias para el caso de unicidad de solución). Por tanto, el sistema dinámico generado por nuestro problema será multivaluado. El estudio de la ecuación de reacción-difusión sin unicidad de solución en un dominio acotado en el caso autónomo (i.e. h no depende del tiempo t), o en el caso no autónomo pero con fuertes propiedades uniformes en el término que depende del tiempo, pueden ser encontradas en [3], [10], [16], entre otros, donde la teoría clásica de atractor global es adaptada al caso multivaluado. En el caso autónomo, cuando el dominio no es acotado y no hay unicidad de solución, algunos resultados sobre la existencia de atractores han sido obtenidos en [14], [15]. Sin embargo, debido al carácter no autónomo de nuestro problema, tenemos que usar un marco adecuado. Siendo posible elegir entre varias teorías (atractores uniformes, atractores trayectoria, atractores pullback), usaremos la teoría de atractores pullback ya que nos permite más generalidad en los términos no autónomos (ver [1], [5], [6], [7], [11], [12] para algunos resultados sobre atractores pullback y varias razones justificando el interés de usar esta teoría). Ahora, nuestro objetivo es considerar un problema mucho más general: una ecuación de reacción-difusión en un dominio no acotado, con una no linearidad continua y un término no autónomo con valores en el espacio H 1, el cual no tiene unicidad de solución, y usaremos la teoría de sistemas dinámicos no autónomos multivaluados (pullback) para probar la existencia de atractores pullback para nuestro problema. 1. Existencia de solución Probaremos en esta sección un resultado sobre la existencia de soluciones del problema (2). Por denotamos la norma en L 2 (Ω), por = la norma en H0 1 (Ω) y por la norma en H 1 (Ω). Usaremos (, ) para denotar el producto escalar en L 2 (Ω) o [L 2 (Ω)] N, y, para denotar el producto de dualidad entre H 1 (Ω) y H0 1 (Ω) o entre L p (Ω) y L p (Ω), donde p = conjugado de p. p p 1 es el exponente Definición 1. Una solución débil de (2) es cualquier función u : (τ, + ) L p (Ω) H 1 0 (Ω), tal que u L p (τ, T ; L p (Ω)) L 2 ( τ, T ; H 1 0 (Ω) ) para todo T > τ, y (u(t), w)+ τ ( u(s), w) ds=(u τ, w)+ para todo w L p (Ω) H 1 0 (Ω). τ f(x, u(s)) + h(s), w ds t τ, (5) Es bien conocido [8, p.285] que bajo las hipótesis precedentes de u τ, f y h, si u es una solución débil de (2), entonces u C([τ, + ); L 2 (Ω)), la función t u(t) 2 es absolutamente continua sobre cada intervalo [τ, T ] y d dt u(t) 2 =

3 du 2 dt, u energía para casi todo t (τ, T ). De aquí, se satisface la igualdad de la u(t) τ u(s) 2 ds = u τ Desde ahora, para todo m 1, denotamos τ Ω m = Ω { x R N : x R N < m }, f(x, u(s)) + h(s), u(s) ds t τ. donde R N denota la norma Euclídea en R N. Denotaremos por la convergencia débil en el correspondiente espacio indicado, mientras denotará la convergencia fuerte, como es usual. Teorema 2. Supongamos que Ω satisface (1), h L 2 loc (R; H 1 (Ω)) y f es una función Carathéodory tal que satisface (3) y (4). Entonces, para todo τ R, u τ L 2 (Ω), existe al menos una solución débil u de (2). 2. Preliminares de la teoría de atractores pullback Como no hay unicidad en el problema de Cauchy para nuestra ecuación, tenemos que trabajar con sistemas dinámicos no autónomos multivaluados. Primero recordaremos algunas definiciones básicas para sistemas dinámicos no autónomos multivaluados y estableceremos una condición suficiente para la existencia de atractores pullback para estos sistemas (ver [2], [4], [5], [6], [7], [12] y [13] para más detalles). Sea X = (X, d X ) un espacio métrico, y denotemos por P (X) la familia de todos los subconjuntos no vacíos de X, y R 2 d := { (t, s) R 2 : t s }. Definición 3. Una función multivaluada U : R 2 d X P (X) se llama un sistema dinámico no autónomo multivaluado (MNDS) en X si U(s, s, ) = id X ( ) para todo s R, U(t, τ, x) U(t, s, U(s, τ, x)) para todo τ s t, x X, donde U(t, τ, V ) := U(t, τ, x 0 ) para cualquier conjunto no vacío V X. x 0 V Un MNDS se dice estricto si U(t, τ, x) = U(t, s, U(s, τ, x)) para todo τ s t, x X. Definición 4. Un MNDS U en X se dice semi-continuo superiormente si para todo t τ la función U(t, τ, ) es semi-continua superiormente de X en P(X), i.e., para cualquier x 0 X y cualquier entorno N en X del conjunto U(t, τ, x 0 ), existe δ > 0 tal que U(t, τ, y) N donde d X (x 0, y) < δ.

4 Sea D una clase de conjuntos parametrizados en tiempo, D = {D(t) : t R} P(X). La clase D la llamaremos un universo en P(X). Diremos que el universo D es inclusión cerrada, si D D y D (t) D(t) para todo t R, implica que D = {D (t) : t R} pertenece a D. Definición 5. Decimos que una familia B = {B(t) : t R} P(X) es pullback D-absorbente si para cualquier D D y cada t R, existe τ(t, D) t tal que U(t, τ, D(τ)) B(t) para todo τ τ(t, D). Definición 6. El MNDS U es pullback asintóticamente compacto con respecto a una familia B = {B(t) : t R} P(X) (o B-asintóticamente compacto pullback) si para todo t R y cualquier sucesión τ n t tendiendo a, cualquier sucesión y n U(t, τ n, B(τ n )) es relativamente compacta en X. Denotemos dist X (, ) la semidistancia de Hausdorff, definida por dist X (C 1, C 2 ) := sup ínf d X (x, y) para C 1, C 2 X. y C 2 x C 1 Definición 7. Una familia A = {A(t) : t R} P(X) se dice que es un D- atractor global pullback para el MNDS U si satisface 1) A(t) es compacto para cualquier t R, 2) A es D-atrayente pullback, i.e. para todo D D, lím dist X(U(t, τ, D(τ)), A(t)) = 0 t R, τ 3) A es negativamente invariante, i.e., A(t) U(t, τ, A(τ)), para cualquier (t, τ) R 2 d. A se dice que es un D-atractor global pullback estricto si la propiedad de invarianza es estricta, i.e., A(t) = U(t, τ, A(τ)), para (t, τ) R 2 d. Teorema 8. Supongamos que D 0 = {D 0 (t) : t R} P(X) es D absorbente pullback para un MNDS U, el cual es también D 0 asintóticamente compacto pullback. Entonces, la familia A D = {A D (t) : t R} dada por A D (t) = D D Λ( D, X t) t R, (6) satisface las siguientes propiedades:

5 1) Para cada t R el conjunto A D (t) es un subconjunto compacto no vacío de X, y A D (t) Λ( D 0, t). 2) A D es D-atrayente pullback, y en efecto es la mínima familia de conjuntos cerrados que atraen pullback a todos los elementos de D. 3) Si D 0 D, entonces A D (t) = Λ( D 0, t) D 0 (t) X, para todo t R. 4) Si U es semi-continuo superiormente y con valores cerrados, A D es un D-atractor global pullback para U. 5) Si U es semi-continuo superiormente, con valores cerrados y conexos, y para cada t R A D (t) C(t), donde Ĉ D y C(t) es un subconjunto conexo de X, entonces A D es conexo, i.e. A D (t) es conexo para cualquier t R. 6) Si D0 D, cada D 0 (t) es cerrado y el universo D es inclusión cerrada, entonces A D D. Si además U es semi-continuo superiormente y con valores cerrados, A D es el único D-atractor global pullback perteneciendo a D. En este caso, si además U es estricto, entonces A D es un D-atractor global pullback estricto para U. Demostración. Ver [4], [7] y [12]. Nota 9. Para algunas discusiones sobre la relación entre el concepto de D- atractor y la noción de atractor para subconjuntos acotados fijos de X, ver [11] y [12]. 3. Existencia de atractores pullback En esta sección probaremos nuestro resultado principal. Primero, necesitamos unas estimaciones a priori y un resultado de continuidad, los cuales serán establecidos en las siguientes subsecciones Estimaciones a priori Para cada τ R y u τ L 2 (Ω), denotemos por S(τ, u τ ) el conjunto de todas las soluciones débiles de (2) definidas para todo t τ. Definimos una función multivaluada U : R 2 d L2 (Ω) P(L 2 (Ω)) por U(t, τ, u τ ) = {u(t) : u S(τ, u τ )}, τ t, u τ L 2 (Ω). (7) Lema 10. Bajo las hipótesis del Teorema 2, la función multivaluada U definida por (7) es un MNDS estricto en L 2 (Ω).

6 Sea R λ1 el conjunto de todas las funciones r : R (0, + ) tal que lím t eλ1t r 2 (t) = 0, y denotemos por D λ1 la clase de todas las familias D = {D(t) : t R} P(L 2 (Ω)) tal que D(t) B L2 (Ω)(0, r D(t)) para algún r D R λ1, donde B L2 (Ω)(0, r D(t)) denota la bola cerrada en L 2 (Ω) centrada en cero y con radio r D(t). Observemos que el universo D λ1 es inclusión cerrada. Lema 11. Supongamos que Ω satisface (1) y supongamos que f es una función Carathéodory tal que satisface (3) y (4). Sea h = N h i i=1 x i, con h i L 2 loc (R; L2 (Ω)) para todo 1 i N, tal que N i=1 e λ1s h i (s) 2 ds < + t R. (8) Entonces, las bolas B λ1 (t) = B L2 (Ω)(0, R λ1 (t)), donde R λ1 (t) es un número no negativo dado para cada t R por R 2 λ 1 (t) = 2e λ1t N i=1 e λ1s h i (s) 2 ds + 2λ 1 1 C 2 L1 (Ω) + 1, (9) forman una familia B λ1 D λ1 la cual es D λ1 -absorbente pullback para el MNDS U definido por (7). Los siguientes resultados serán necearios para demostrar la existencia de atractores pullback para nuestro problema. Lema 12. Bajo las hipótesis del Lema 11, para cualesquiera números reales t 1 t 2 y cualquier ε > 0, existe T = T (t 1, t 2, ε, B λ1 ) t 1 y M = M(t 1, t 2, ε, B λ1 ) 1 verificando u 2 (x, t) dx ε, τ T, t [t 1, t 2 ], m M, Ω { x R N 2m} para cualquier solución débil u S(τ, u τ ), donde u τ B λ1 (τ). Lema 13. Bajo las hipótesis en Lema 11, sea K un conjunto relativamente compacto en L 2 (Ω). Entonces, para todo τ T y ε > 0 existe M = M(τ, T, ε, K) tal que u 2 (x, t) dx ε, t [τ, T ], m M, Ω { x R N 2m} para cualquier u S(τ, u τ ), donde u τ K es arbitrario.

7 3.2. Un resultado de continuidad Además, obtenemos un resultado de continuidad que conduce a la semicontinuidad superior del MNDS U. Proposición 14. Bajo las hipótesis del Lema 11, sea τ R y {u n τ } L 2 (Ω) una sucesión convergiendo débil en L 2 (Ω) a un elemento u τ L 2 (Ω). Para cada n 1 fijemos u n S(τ, u n τ ). Entonces, existe una subsucesión {u µ } {u n } satisfaciendo que existe u S(τ, u τ ) tal que u µ (t) u(t) en L 2 (Ω) t τ, (10) u µ u en L 2 (τ, T ; H 1 0 (Ω)) T > τ, (11) u µ u en L p (τ, T ; L p (Ω)) T > τ, (12) f(x, u µ ) f(x, u) en L p (τ, T ; L p (Ω)) T > τ, (13) u µ Ωm u Ωm en L 2 (τ, T ; L 2 (Ω m )) T > τ, m 1. (14) Finalmente, si la sucesión {u n τ } converge fuerte en L 2 (Ω) a u τ, entonces u µ u en L 2 ( τ, T ; L 2 (Ω) ) T > τ, (15) y u µ (t) u (t) en L 2 (Ω) t τ. (16) 3.3. Existencia de atractores pullback Ahora, ya podemos obtener el principal resultado de este trabajo, que es la existencia de atractores pullback para nuestro problema. Lema 15. Bajo las hipótesis en Lema 11, el MNDS U definido por (7) es semi-continuo superiormente. Lema 16. Bajo las hipótesis en Lema 11, el MNDS U definido por (7) es asintóticamente compacto pullback con respecto a la familia B λ1 definida en ese Lema. Ahora, como una consecuencia directa de los resultados precedentes, tenemos la existencia de atractores pullback para el MNDS U definido por (7). Teorema 17. Bajo las hipótesis del Lema 11, el MNDS U definido por (7) tiene un único D λ1 -atractor pullback A Dλ1 perteneciendo a D λ1, el cual es estríctamente invariante y está dado por ( ) A Dλ1 (t) = Λ Bλ1, t = U(t, τ, B λ1 (τ)), (17) s tτ s done B λ1 fue definida en Lema 11, y la clausura es tomada en L 2 (Ω). Además tenemos la siguiente relación A Dλ1 (t) B L 2 (Ω) (0, R λ1 (t)) for all t R.

8 Nota 18. Observemos que el universo D λ1 contiene las familias de conjuntos fijos acotados (i.e. para cualquier acotado C L 2 (Ω) se sigue que Ĉ = {C(t) C, t R} D λ1 ). Es fácil concluir, bajo las hipótesis del Teorema 17, la existencia del atractor pullback A D H F en el sentido de Crauel et al. [9] y se tiene la siguiente relación: A D H F (t) A Dλ1 (t) for any t R. Además, se puede probar (ver [11]) que si además suponemos que sup e λ1t t 0 N i=1 e λ1s h i (s) 2 ds <, entonces tenemos que t T B L2 (Ω) (0, R λ1 (t)) es un subconjunto acotado de L 2 (Ω) y podemos deducir que A D H F (t) = A Dλ1 (t) for all t T. Sección en el CEDYA 2011: EDP Bibliografía [1] M. Anguiano, T. Caraballo & J. Real, Existence of pullback attractor for a reactiondiffusion equation in some unbounded domains with non-autonomous forcing term in H 1, Inter. Journal of Bifurcation and Chaos, 20, no. 9, (2010) [2] M. Anguiano, T. Caraballo, J.Real & J. Valero, Pullback attractors for reaction-diffusion equations in some unbounded domains with an H 1 -valued non-autonomous forcing term and without uniqueness of solutions, Discrete Continuous Dynamical Systems, Series B, 14, no. 2, (2010) [3] M. Anguiano, P.E. Kloeden & T. Lorenz, Asymptotic behaviour of nonlocal reactiondiffusion equations, Nonlinear Analysis, 73, no. 9, (2010) [4] M. Anguiano, F. Morillas & J. Valero, On the Kneser property for reaction-diffusion equations in some unbounded domains with an H 1 -valued non-autonomous forcing term, submitted. [5] T. Caraballo, G. Lukaszewicz & J. Real, Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal., 64, (2006) [6] T. Caraballo, G. Lukaszewicz & J. Real, Pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in unbounded domains, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 342, (2006) [7] T. Caraballo & P. E. Kloeden, Non-autonomous attractors for integro-differential evolution equations, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series S., 2, (2009) [8] V. V. Chepyzhov & M. I. Vishik, Attractors for Equations of Mathematical Physics, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, [9] H. Crauel, A. Debussche & F. Flandoli, Random attractors, J. Dyn. Diff. Eq., 9, (1995) [10] A. V. Kapustyan & J. Valero, On the connectedness and asymptotic behaviour of solutions of reaction-diffusion systems, J. Math. Anal. Appl., 323, (2006)

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