El espacio de funciones continuas

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1 Capítulo 4 El espacio de funciones continuas 1. Funciones continuas En este capítulo estudiaremos las funciones continuas en un espacio métrico, además de espacios métricos formados por funciones continuas. También estudiaremos la convergencia de sucesiones de funciones continuas en un espacio métrico. Primero definimos el concepto de continuidad. Definición 4.1. Sean (X,d) y (Y,d ) dos espacios métricos y f : X Y. Decimos que la función f es continua en x X si, para todo ε >, existe δ > tal que si d(x,x ) < δ entonces d (f(x),f(x )) < ε. Esta definición es equivalente a decir que, para todo ε >, existe δ > tal que f(b δ (x )) B ε (f(x )), donde f(b δ (x )) es la imagen de B δ (x ) bajo f, es decir f(b δ (x )) = { y Y : existe x B δ (x ) tal que f(x) = y } y B ε (f(x )) es la bola en Y de radio ε alrededor de f(x ). También podemos caracterizar la continuidad de f en un punto a través de sucesiones. 61

2 62 4. El espacio de funciones continuas Proposición 4.2. Sean (X,d) y (Y,d ) dos espacios métricos, f : X Y y x X. f es continua en x si, y solo si, para cada sucesión (x n ) en X tal que x n x, tenemos que f(x n ) f(x ) en Y. Demostración. Sea f continua en x, y sea x n x. Para mostrar que f(x n ) f(x ), sea ε > dado. Como f es continua en x, existe δ > tal que d(x,x ) < δ implica d (f(x),f(x )) < ε. Además, x n x, por lo que existe N tal que, para n N, d(x n,x ) < δ. Entonces, para n N, d (f(x n ),f(x )) < ε y, por lo tanto, f(x n ) f(x ). Inversamente, suponemos que f(x n ) f(x ) para toda sucesión (x n ) en X tal que x n x. Para encontrar una contradicción, suponemos que f no es continua en x. Entonces existe ε > tal que, para todo δ >, existe x X tal que d(x,x ) < δ y d (f(x),f(x )) ε. En particular, para cada n 1 existe x n X tal que d(x n,x) < 1 n y d (f(x n ),f(x )) ε. Pero entonces x n x y f(x n ) f(x ), lo que contradice nuestra hipótesis. Por lo tanto, f es continua en x. Observemos que la definición de continuidad es local; es decir, está definida sobre cada punto de X. Sin embargo, globalmente decimos que la función f : X Y es continua si es continua en x para todo x X. Tenemos la siguiente caracterización de continuidad. Proposición 4.3. f : X Y es continua si, y solo si, para todo conjunto abierto V en Y, la preimagen de V en X, es un conjunto abierto en X. f 1 (V ) = {x X : f(x) V }, Observemos que f 1 (V ) es abierto en X si, y solo si, para cada x f 1 (V ) existe un δ > tal que B δ (x) f 1 (V ), esto es, f(b δ (x)) V. Demostración. Sea f : X Y continua y V un conjunto abierto en Y. Para demostrar que f 1 (V ) es abierto, sea x f 1 (V ). Entonces f(x) V. Como V es abierto, existe ε > tal que B e (f(x)) V. Como f es continua, es continua en x, así que existe δ > tal que f(b δ (x)) B e (f(x)) V, lo cual muestra que f 1 (V ) es abierto, por la observación anterior. (Véase la figura 1.)

3 1. Funciones continuas 63 X f Y x δ f(x) V 1 f (V) Figura 1. Si f es continua, V es abierto en Y y f(x) V, entonces existe δ > tal que B δ (x) f 1 (V ). De manera inversa, supongamos que f 1 (V ) es abierto en X para todo conjunto V abierto en Y, y sea x X. Para demostrar que f es continua en x, sea ε >. Como B e (f(x)) es abierto en Y, f 1 (B ε (f(x))) es abierto en X y x f 1 (B ε (f(x))). Entonces, existe δ > tal que lo cual significa que como queríamos demostrar. B δ (x) f 1 (B ε (f(x))), f(b δ (x)) B ε (f(x)), Ejemplo 4.4. Las funciones continuas más simples son la funciones constantes. Si y Y, definimos la función f : X Y como f(x) = y para todo x X. Entonces, si V es un conjunto abierto en Y, { f 1 X si y V, (V ) = si y V. Como X y son abiertos en X, f es continua. Ejemplo 4.5. La función identidad es otro ejemplo sencillo de una función continua. Definimos f : X X como f(x) = x para cada x X. Entonces f 1 (V ) = V para cada abierto V en X, por lo que concluímos que f es continua. Proposición 4.6. Sean (X,d), (Y,d ) y (Z,d ) espacios métricos, y sean f : X Y y g : X Z funciones continuas. Si le asignamos a Y Z la métrica producto, entonces la función F : X Y Z dada por es continua. F(x) = (f(x),g(x)) Recordemos que la métrica producto d d en Y Z está definida como d d ((y,z),(u,v)) = d (y,u) + d (z,v).

4 64 4. El espacio de funciones continuas Demostración. Sea x X y ε >. Entonces existen δ 1,δ 2 > tales que si d(x,x ) < δ 1 entonces d (f(x),f(x )) < ε 2 y si d(x,x ) < δ 2 entonces d (g(x),g(x )) < ε 2. Entonces, si δ = mín{δ 1,δ 2 } y d(x,x ) < δ, d d (F(x),F(x )) = d d ((f(x),g(x)),(f(x),g(x))) = d (f(x),f(x )) + d (g(x),g(x )) < ε 2 + ε 2 = ε. Es fácil ver que la proposición 4.6 se puede generalizar a un cualquier número finito de funciones f i : X X i, si al producto X 1 X l se le asigna la métrica n d P ((x 1,...,x n ),(y 1,...,y l )) = d i (x i,y i ), donde cada d i es la métrica de X i. La siguiente proposición es conocida como la regla de la cadena para funciones continuas. Proposición 4.7. Si (X,d),(Y,d ) y (Z,d ) son espacios métricos, y las funciones f : X Y y g : Y Z son continuas, entonces la composición g f : X Z es continua. Demostración. Si V es abierto en Z, entonces i=1 (g f) 1 (V ) = f 1 (g 1 (V )) es abierto en X, porque, como g es continua, g 1 (V ) es abierto en Y y, como f es continua, f 1 (g 1 (V )) es abierto en X Compacidad y continuidad uniforme. El siguiente teorema establece la compacidad de la imagen de un espacio compacto bajo una función continua. Teorema 4.8. Sean (X,d) y (Y,d ) dos espacios métricos, y f : X Y continua. Si X es compacto, entonces f(x) es compacto. En la demostración de este teorema utilizaremos el siguiente lema, sobre las propiedades básicas de conjuntos imagen y preimagen de una función. Lema 4.9. Sea f : X Y un función. Entonces

5 1. Funciones continuas f(a B) f(a) f(b) para todos A,B X. 2. f(f 1 (A)) A para todo A Y. La demostración de esta lema se sigue directamente de las definiciones de conjuntos imagen y preimagen bajo cualquier función, y se deja como ejercicio (ejercicio 2). Demostración del Teorema 4.8: Tomamos una cubierta {V α } del conjunto f(x) en Y. Como f es continua, los conjuntos f 1 (V α ) son abiertos, y además cubren a X: si x X, entonces f(x) X, por lo que, para algún α, f(x) V α. Entonces x f 1 (V α ). Por lo tanto {f 1 (V α )} es una cubierta de X, y como X es compacto tiene una subcubierta finita, digamos Entonces, por el lema 4.9 X f 1 (V α1 ) f 1 (V α2 )... f 1 (V αk ). f(x) f(f 1 (V α1 )) f(f 1 (V α2 ))... f(f 1 (V αk )) V α1 V α2... V αk. Por lo tanto f(x) es compacto. Es posible demostrar el teorema 4.8 utilizando el teorema de Bolzano- Weierstrass, mostrando que f(x) es secuencialmente compacto si X lo es (ejercicio 4). Si X es compacto y f es una función continua en X, entonces no sólo podemos concluír que f(x) es compacto, sino que f también es uniformente continua. Esto lo veremos a continuación. Definición 4.1. Sean (X,d) y (Y,d ) dos espacios métricos, y f : X Y. Decimos que f es uniformemente continua si, para cada ε >, existe δ > tal que f(b δ (x)) B ε (f(x)) para todo x X. A diferencia de la definición de continuidad en x X, el número δ de la definición de continuidad uniforme depende sólo de ε > y f, no de x. Ejemplo Considere la función f : (,1) R dada por f(x) = 1/x. Entonces f es continua, ya que si (a,b) R, (a > ) entonces f((1/b,1/a)) = (a,b), por lo que podemos concluír que f 1 (V ) es abierto si V es abierto en R. Pero f no es uniformemente continua. Considere, por ejemplo, ε = 1. Para

6 66 4. El espacio de funciones continuas cualquier δ >, tal que δ < 1/3, si x = 2δ, entonces ( 1 f(b δ (x)) = f((δ,3δ)) = 3δ, 1 ( 1 ) B 1. δ) 2δ Véase la figura δ { x δ 3δ Figura 2. Gráfica de la función f(x) = 1/x. Si < δ < 1/3, entonces la diferencia entre f(δ) y f(3δ) es 2 3δ > 1. Teorema Sean (X,d) y (Y,d ) dos espacios métricos. Si f : X Y es continua y X es compacto, entonces f es uniformemente continua. Demostración. Sea ε >. Como f es continua, para cada x X, existe δ x > tal que f(b δx (x)) B ε/2 (f(x)). Claramente {B δx (x)} x X es una cubierta de X, y como X es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass implica que es secuencialmente compacto, y podemos utilizar el Lema de Lebesgue, lema 3.21, para encontrar un δ > tal que, para todo x X, B δ (x) B δx (x ) para algún x X. Tal número δ no depende de x, solo de la cubierta. Ahora bien, si z B δ (x), entonces z B δx (x ) y, más aún, d (f(z),f(x)) d (f(z),f(x )) + d (f(x ),f(x)) < ε 2 + ε 2 = ε, ya que f(b δx (x )) B ε/2 (f(x )). Por lo tanto como queríamos demostrar. f(b δ (x)) B ε (f(x)), La compacidad de X es necesaria y, por ejemplo, no basta con asumir que Y es compacto.

7 1. Funciones continuas 67 Ejemplo Sea f : (,1) [ 1,1] dada por f(x) = sen 1. f no es x uniformemente continua: para cada n, si entonces x n = 2 (4n + 1)π x n y n = pero f(x n ) f(y n ) = 2. y y n = 2 (4n + 3)π, 4 π(4n + 1)(4n + 3) < 1 n 2, 1.2. Funciones continuas en espacios normados. Si (X, ) es un espacio normado y a X X se le asigna la métrica producto d X X ((x,y),(x,y )) = x x + y y, entonces la función (+) : X X X, dada por la suma de dos vectores, es decir, (+)(x,y) = x + y, es una función continua. Para verificar ésto, sea (x,y ) X X y ε >. Si δ = ε y x x + y y < δ, entonces (+)(x,y) (+)(x,y ) = (x + y) (x + y ) lo cual demuestra que (+) es continua en (x,y ). x x + y y < δ = ε, De la misma forma podemos demostrar que la multiplicación escalar ( ) : K X X dada por ( )(α,x) = αx es una función continua, si se le asigna a K X la métrica producto d K X ((α,x),(β,y)) = α β + x y. Ejemplo Las proposiciones 4.6 y 4.7 y el hecho de que la suma de vectores es continua implican que, si f,g : X Y son dos funciones continuas del espacio métrico (X, d) al espacio normado (Y, ), entonces la suma f + g : X Y, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) es una función continua, porque x f(x) + g(x) es la composición de las funciones x (f(x),g(x)) y (+). Desde luego, podemos generalizar este resultado a cualquier número de funciones f i : X Y, i = 1,...,l. El ejemplo anterior, junto con el teorema 2.32, implica la continuidad de funciones lineales sobre espacios de dimensión finita. Teorema Si (X, X ) y (Y, Y ) son dos espacios normados, X es de dimensión finita y φ : X Y es una transformación lineal, entonces φ es una función continua.

8 68 4. El espacio de funciones continuas La demostración de este teorema se sigue del siguiente lema. Sea (X, ) un espacio normado de dimensión finita y sea {u 1,...,u l } una base. Definimos las funciones π i : X K de la forma x = π 1 (x)u π l (x)u l. Es decir, las π i son las proyecciones de X sobre cada uno de los términos de la base. Lema Cada proyección π i es una función continua. Demostración. Sea ψ : X K l el isomorphismo ψ(x) = (π 1 (x),...,π l (x)). Por el teorema 2.32, existe C > tal que, para todo x X, ψ(x) M C x. Como π i (x) ψ(x) M, tenemos que, dado ε >, si tomamos δ = ε/c entonces x y < δ implica que π i (x) π i (y) C x y < Cδ = ε. Por lo tanto, cada π i es continua. Demostración del Teorema 4.15: El teorema se sigue entonces por las observaciones hechas en el ejemplo 4.14 y el hecho de que φ es la suma de las funciones dadas por x π i (x)φ(u i ). La demostración del lema 4.16 utilizó el hecho que la existencia de una constante C > tal que π i (x) C x implica la continuidad de π i. Esta observación resulta ser equivalente a continuidad en el caso de funciones lineales, como mostraremos a continuación. Teorema Sean (X, X ) y (Y, Y ) dos espacios normados y φ : X Y una transformación lineal. Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. φ es continua; 2. φ es continua en ; 3. Existe M > tal que, para todo x X, φ(x) Y M x X. Demostración. 1 2: φ es continua en todo x X; en particular, es continua en.

9 1. Funciones continuas : Como φ es continua en, existe δ > tal que si x X < δ entonces φ(x) Y < 1. Entonces, para x X, si x, δ x = δ 2 x X X 2 < δ, por lo que Entonces, como φ es lineal, ( δ ) Y φ x < 1. 2 x X φ(x) Y < 2 δ x X. Podemos tomar M = 2 δ. 3 1: Sea x X y ε >. Si tomamos δ = ε M, entonces y x X < δ implica φ(y) φ(x) Y = φ(y x) Y M y x X < Mδ = e. Es importante notar, por el hecho que la métrica inducida por una norma es invariante bajo traslaciones, que la continuidad de una función lineal en es equivalente a la continuidad en cualquier otro punto de X. El teorema 4.17 resulta muy útil para verificar si una función lineal es o no continua. En los siguientes ejemplos mostramos cómo usar este teorema en casos particulares. Ejemplo Consideremos C([, 1]), y la función I : C([, 1]) R dada por Entonces I(f) = Entonces I es continua. I(f) = f(x)dx f(x)dx. f(x) dx f u dx = f u. En particular, el ejemplo 4.18 implica el siguiente resultado: Si f n es una sucesión de funciones continuas en [,1] que converge uniformemente a f, entonces la sucesión de integrales f n converge a f. Este resultado es cierto incluso en el caso de integrales impropias (ejercicio 9).

10 7 4. El espacio de funciones continuas Ejemplo Sea K : [,1] [,1] R una función continua, y, para f C([,1]), definimos la función Lf : [,1] R por Lf(x) = K(x, y)f(y)dy. Mostraremos que Lf es continua: Para esto, sea ε > y x [,1]. Entonces, existe δ > tal que si x x < δ entonces ε K(x,y) K(x,y) < 2 f u + 1, ya que K es uniformemente continua porque [,1] [,1] es compacto. Entonces, para x x < δ, Lf(x) Lf(x ) = K(x,y)f(y)dy K(x,y)f(y)dy K(x,y) K(x,y) f(y) dy ε 2 f u + 1 f udy = ε 2 < ε. Esto significa que L define una función lineal L : C([,1]) C([,1]). Para ver que L es de hecho continua, observamos que, si entonces Lf(x) M = máx{ K(x,y) : x,y [,1]}, K(x, y) f(y) dy M f u dy = M f u para x [,1]. Entonces L es continua por el teorema Ejemplo 4.2. Consideremos ahora el espacio C 1 ([,1]) de funciones diferenciables f en [,1] tal que f C([,1]), es decir, funciones diferenciables con derivada continua. Es claro que C 1 ([,1]) C([,1]), así que podemos ver a C 1 ([,1]) como subespacio de C([,1]). Definimos la función D : C 1 ([,1]) C([,1]) como D(f) = f. D es llamada el operador diferencial. Es claro que D es lineal; sin embargo, no es continua. Consideremos las funciones f n (x) = 1 n sen(n2 πx). Como f n u = 1 n, f n en C([,1]) (y en C 1 ([,1]), desde luego). Sin embargo, D(f n ) = nπ cos(n 2 πx),

11 2. El espacio C(X,Y ) 71 por lo que D(f n ) u = nπ. Entonces D no es continua en. El ejemplo 4.2 implica que una función lineal en un espacio normado no es necesariamente continua. En particular, también explica por qué las derivadas de una sucesión de funciones diferenciables que converge no necesariamente converge, aun cuando su límite es una función diferenciable. Sin embargo, en referencia al ejemplo 4.18, si sabemos que la sucesión de derivadas converge, entonces sí podemos garantizar que la sucesión de derivadas converge a la derivada del límite. El ejercicio 1 enuncia de manera precisa este resultado. 2. El espacio C(X, Y ) En esta sección estudiaremos las funciones continuas como elementos de un espacio métrico de funciones. Definición Definimos C(X, Y ) como el conjunto de las funciones continuas f : X Y. Por ejemplo, C([,1]) denota a C(X,Y ) con X = [,1] y Y = R. Recordemos que C([,1]) es un espacio métrico, de hecho, un espacio de Banach, con la norma uniforme. Aunque, en general, podemos darle una topología a C(X, Y ) compatible con convergencia uniforme (definida extendiendo la definición en C([,1])), no siempre podemos asignarle una métrica. Sin embargo, sí podemos hacerlo si consideremos al subconjunto de C(X,Y ) de funciones acotadas. Definición Sea f : X Y una función de (X,d) a (Y,d ). Decimos que f es acotada si existen y Y y M > tales que para todo x X. d (f(x),y ) < M Esto es equivalente a decir que la imagen de f, f(x), es un conjunto acotado en Y. Ejemplo Considere la función f : R R dada por f(x) = x 1 + x 2. f es acotada porque f(x) 1/2 para todo x R. (Figura 3.) Ejemplo Considere una función continua f : X Y, donde X es compacto. Entonces f(x) es compacto, y por lo tanto es acotado en Y. Tenemos que f es acotada.

12 72 4. El espacio de funciones continuas Figura 3. Gráfica de la función f(x) = 1/2, la función f es acotada. x 1+x 2. Como 1/2 f(x) Definición Sean (X,d) y (Y,d ) dos espacios métricos. Definimos el conjunto C A (X,Y ) como el conjunto de funciones continuas y acotadas de X a Y. Si X es compacto, entonces C A (X,Y ) = C(X,Y ), es decir, C A (X,Y ) incluye a todas las funciones continuas de X a Y. En tal caso, escribiremos simplemente C(X, Y ). El conjunto C A (X,Y ) se puede metrizar a través de la función (4.1) d u (f,g) = sup d (f(x),g(x)). x X Esta función está bien definida, ya que si f y g son dos funciones acotadas, entonces existen y y y en Y, M,M >, tales que para todo x X. Entonces d (f(x),y ) < M y d (g(x),y ) < M d (f(x),g(x)) d (f(x),y ) + d (y,y ) + d (g(x),y ) por lo que sup x X d (f(x),g(x)) M. < M + d (y,y ) + M = M <, Ahora verificamos que d u es una métrica: 1. Como d es una métrica, entonces d (f(x),g(x)) para todo x X, por lo que entonces, sif,g C A (X,Y ), d u (f,g). Además, si f g, existe un x X tal que f(x ) g(x ), y por lo tanto d u (f,g) d (f(x ),g(x )) >.

13 2. El espacio C(X,Y ) d u (f,g) = d u (g,f) es fácil de verificar ya que para todo x X. d (f(x),g(x)) = d (g(x),f(x)) 3. Si f,g,h C A (X,Y ), entonces, para cada x X, d (f(x ),g(x )) d (f(x ),h(x )) + d (h(x ),g(x )), y por lo tanto d (f(x ),g(x )) sup d (f(x),h(x)) + sup d (h(x),g(x)) ) x X x X = d u (f,h) + d u (h,g). Como x X es arbitrario, d u (f,g) d u (f,h) + d u (h,g). La métrica d u es llamada la métrica uniforme. Teorema El espacio métrico (C A (X,Y ),d u ) es completo si el espacio Y es completo. La demostración de este teorema es muy similar a la demostración de la completitud de C([,1]) (teorema 2.19). Demostración. Sea (f n ) una sucesión de Cauchy en C A (X,Y ). Mostraremos que esta sucesión converge. Primero, para cada x X, (f n (x)) es una sucesión de Cauchy en Y y, como Y es completo, converge. Definimos entonces la función F : X Y por F(x) = lím n f n(x). Al igual que en la demostración del teorema 2.19, es necesario demostrar dos cosas: 1. (f n ) converge a F uniformemente, es decir, para todo ε > existe N tal que si n N, d (f n (x),f(x)) < ε para todo x X. 2. F C A (X,Y ), es decir, F es continua y acotada en X. Dado ε >, escogemos N > tal que, si n,m N, entonces es decir, para todo x X. Mostraremos que d u (f n,f m ) < ε 2, d (f n (x),f m (x)) < ε 2 (4.2) d (f n (x),f(x)) < ε para todo x X, si n N.

14 74 4. El espacio de funciones continuas Sea x X. Como la sucesión (f n (x )) converge a F(x ), existe un N > tal que d (f n (x ),F(x )) < ε 2 para todo n N (N depende de x, pero ésto no será ningún problema ya que N es independiente de x ). Ahora bien, escogemos un entero n tal que n > máx{n,n }. Tenemos que, si n N, d (f n (x ),F(x )) d (f n (x ),f n (x )) + d (f n (x ),F(x )) < ε 2 + ε 2 = ε. Como x es arbitrario, hemos demostrado la desigualdad (4.2). Como N no depende de x, podemos concluír que (f n ) converge uniformemente a F. Para demostrar que F C A (X,Y ), tenemos que mostrar que F es continua y acotada. La demostración que F es continua es muy similar a la demostración que L es continua en el teorema 2.19, por lo que dejamos esta parte como ejercicio (ejercicio 11). Para verificar que es acotada, notemos que la sucesión (f n ) es de Cauchy y, por lo tanto, acotada en C A (X,Y ). Es decir, existen f C(X,Y ) y M > tales que d u (f n,f) < M para todo n. Como (f n ) converge uniformemente a F, podemos encontrar un entero N tal que d (f N (x),f(x)) < 1 para todo x X. Entonces, para x X, d (F(x),f(x)) d (F(x),f N (x)) + d (f N (x),f(x)) < 1 + M. Ahora bien, f es acotada, por lo que existen M > y y Y tales que para todo x X. Entonces d (f(x),y ) < M d (F(x),y ) d (F(x),f(x)) + d (f(x),y ) < 1 + M + M, para todo x X, por lo que podemos concluír que F es acotada. Entonces f n F en C A (X,Y ). Si (Y, Y ) es un espacio normado, entonces podemos definir las operaciones suma y multiplicación escalar en C(X,Y ) como (f + g)(x) = f(x) + g(x), f,g C(X,Y ), x X (λf)(x) = λf(x), f C(X,Y ), x X. Con estas operaciones, C(X, Y ) es un espacio vectorial, y el subconjunto C A (X,Y ) se puede normar con (4.3) f u = sup f(x) Y, f C A (X,Y ). x X

15 Ejercicios 75 Dejamos como ejercicio verificar que (4.3) define una norma (ejercicio 14). Además, d u (f,g) = f g u. Por el teorema 4.26 concluímos que, si (Y, Y ) es un espacio de Banach, entonces (C A (X,Y ), u ) es también un espacio de Banach. Podemos entonces extender el criterio M de Weierstrass a funciones que toman valores en espacios de Banach. Corolario 4.27 (Criterio M de Weierstrass). Sea (f n ) una sucesión de funciones continuas de X a Y, donde (Y, Y ) es un espacio de Banach. Si existe una sucesión (M n ) de números nonegativos tales que f n (x) Y M n para todo x X, y la serie M n converge, entonces la serie f n (x) n=1 converge absoluta y uniformemente en C A (X,Y ). Demostración. La demostración es similar a la demostración del corolario 2.25 y la dejamos como ejercicio (ejercicio 15). Ejercicios 1. f : X Y es continua si, y solo si, para todo conjunto F cerrado en Y, f 1 (F) es cerrado en X. 2. Sean X y Y dos conjuntos no vacíos y f : X Y. Si A X y B Y, los conjuntos imagen de A y preimagen de B se definen como f(a) = {f(x) Y : x A} f 1 (B) = {x X : f(x) B}. f(a B) = f(a) f(b) para A,B X. f(a B) f(a) f(b) para A,B X, y dé un ejemplo donde f(a B) f(a) f(b). f(f 1 (A)) A para A Y, y dé un ejemplo donde f(f 1 (A)) A. f 1 (f(a)) A para A X, y dé un ejemplo donde f 1 (f(a)) A.

16 76 4. El espacio de funciones continuas 3. Sean X y Y espacios métricos, A y B subconjuntos abiertos de X, y f : A Y y g : B Y funciones continuas tales f(x) = g(x) para todo x A B. Entonces la función h : A B Y dada por { f(x) si x A h(x) = g(x) si x B es continua. 4. Si X es secuencialmente compacto y f es continua en X, entonces f(x) es secuencialmente compacto. Si para este ejercicio se utiliza la proposición 4.2, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, este resultado ofrece una demostración alternativa para el teorema Sean (X,d) y (Y,d ) espacios métricos, E X y Y un espacio completo. Si f : E Y es uniformemente continua en E y x es un punto de acumulación de E, entonces f tiene límite en x; es decir, existe L Y tal que, para todo ε >, existe δ > tal que, si x E y d(x,x ) < δ, entonces d (f(x),l) < ε. (Sugerencia: Si (x n ) es una sucesión en E tal que x n x, entonces (f(x n )) es de Cauchy en Y.) 6. Sea X un espacio totalmente acotado y f : X Y una función uniformememente continua en X. Entonces f(x) es acotado. Es f(x) totalmente acotado? 7. En referencia al problema anterior, de un ejemplo de un espacio acotado X y una función uniformemente continua en X tal que su imagen no es acotada. 8. Suponga que I es un intervalo cerrado en R, y f : I R es una función continua. Entonces f tiene un máximo y un mínimo, es decir, existen x M,x m I tales que f(x M ) = máxf(i), f(x m ) = mínf(i). 9. Sea I : C([, 1]) C([, 1]) el operador dado por If(x) = x f(t)dt. a) I es continuo en la norma uniforme. b) Sean f n C([,1]) tal que f n f. Si F n (x) = x f y F(x) = x f, entonces F n F. 1. Utilice el ejercicio anterior para mostrar el siguiente teorema: Sean f n C 1 ([,1]) tales que a) (f n (x )) converge para algún x [,1]; b) f n g.

17 Ejercicios 77 Entonces f n converge uniformemente y, si f n f, f es continuamente diferenciable y f = g. 11. La función F construida en la demostración del teorema 4.26 es continua. 12. Sea C (X, R) el conjunto de las funciones continuas f : X R que convergen a cero en infinito, es decir, para todo ε > existe un compacto E X tales que f(x) < e para todo x / E. Entonces C (X, R) es un subespacio cerrado de C A (X, R). 13. Sea C c (X, R) el conjunto de las funciones continuas f : X R de soporte compacto, es decir, la cerradura del conjunto {x X : f(x) } es un subespacio compacto de X. Entonces C c (X, R) es un subespacio de C A (X, R), pero no necesariamente cerrado. 14. Demuestre las observaciones hechas después de la demostración del Teorema Es decir, si (Y, Y ) es una espacio normado, entonces C A (X,Y ) se puede dotar con una estructura de espacio normado a través de las operaciones y la norma (f + g)(x) = f(x) + g(x), f,g C A (X,Y ), x X (λf)(x) = λf(x), f C A (X,Y ), x X. f u = sup x X f(x) Y, f C A (X,Y ). 15. Demuestre el corolario 4.27.