Modelo Uniforme discreto de Probabilidad (Modelo Clásico de Probabilidad)

Transcripción

1 Modelo Uniforme discreto de Probabilidad (Modelo Clásico de Probabilidad) 1. Definición y propiedades. Aditividad finita Definición 1. Sea Ω un conjunto finito no vacío. Definimos la medida de probabilidad uniforme discreta P como la función de conjunto dada por P(A) = A, para todo A Ω. Ω El siguiente resultado expone las tres principales propiedades de esta medida de probabilidad tmabién llamada probabilidad clásica. Teorema 1 (Propiedades de P). Si P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, entonces P1) 0 P(A) 1, para todo subconjunto A Ω. P2) P(Ω) = 1. P3) Si A y B son dos subconjuntos de Ω mutuamente excluyentes (esto es A B = ), entonces P(A B) = P(A) + P(B). Demostración. Si A Ω, entonces 0 A Ω, de donde se sigue P1). La propiedad P2) es también inmediata de la definicón, P(Ω) = Ω Ω = 1. Por último, si A y B son dos subconjuntos de Ω mutuamente excluyentes, entonces A B = A + B, de donde se sigue la propiedad P3). 1

2 Notemos que las propiedades del teorema anterior son consecuencia directa de la definición de la medida P. Esencialmente estas son las únicas que dependen directamente de la definición de P, salvo la propiedad P2 que puede sustituirse por la equivalente: P( ) = 0. Los siguientes resultados no son necesariamente consecuencia directa de la definición de P, sino de las propiedades anteriores. Corolario 1. Si P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, y si A y B son subconjuntos de Ω tales que A B, entonces P(B\A) = P(B) P(A) y por tanto P(A) P(B) (monotonía). Demostración. Basta notar que B = (B\A) A, y que los conjuntos B\A y A son ajenos, y en consecuencia, P(B) = P(B\A) + P(A), de donde P(B\A) = P(B) P(A) y también P(A) P(B), dado que P(B\A) 0. Corolario 2. Si P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, entonces para todo A Ω. P(A c ) = 1 P(A), Demostración. Si A Ω, observe que Ω = A A c. Luego, 1 = P(Ω) = P(A) + P(A c ), de donde se sigue la iguladad del coroario. Corolario 3. Si P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, entonces P( ) = 0. Demostración. Del corolario anterior, P( ) = P(Ω c ) = 1 P(Ω) = 1 1 = 0. La propiedad P3) puede extenderse a cualquier número finito de subconjuntos ajenos. La prueba nuevamente, no dependerá de la definición de la medida P (aunque ciertamente esta puede hacerse directamente). 2

3 Teorema 2 (Aditividad finita). Si P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, y A 1,...,A n es una colección finita de subconjuntos de Ω mutuamente excluyentes, entonces ( n ) n P A i = P(A i ). Demostración. Procedemos por inducción. Para n = 1 y n = 2 no hay nada que hacer. Supongamos que la igualdad es cierta para cualquiera n subconjuntos de Ω mutuamente excluyentes, con n 2. Sea A 1,...,A n, A n+1 una colección de n + 1 subconjuntos de Ω mutuamente excluyentes. Tenemos, ( n+1 ) ([ n ] ) P A i = P A i A n+1 ( n ) n = P A i + P(A n+1 ) pues A i y A n+1 son ajenos = n P(A i ) + P(A n+1 ) por hipótesis inductiva n+1 = P(A i ). 2. Regla de la Inclusión-Exclusión Teorema 3. Si P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, y A y B son eventos (no necesariamente excluyentes), entonces P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). En general, si A 1,..., A n es una colección finita de eventos, entonces ( n ) n P A i = P(A i) P(A i A j) 1 i<j n + 1 i<j<k n P(A i A j A k ) 1 i<j<k<l n P(A i A j A k A l ) + + ( 1) n+1 P(A 1 A 2 A n). 3

4 Demostración. Note que (A B)\A = B\A = A\(A B). En consecuencia, P(A B) P(A) = P(B) P(A B), de donde se sigue la primera igualdad. La regla general se prueba por inducción. Supongamos que ésta regla es válida para cualesquiera n eventos. Sea A 1,..., A n+1 una colección de n + 1 eventos. Tenemos, ( n+1 ) ([ n ] ) P A i = P A i A n+1 ( n ) ( n ) = P A i + P(A n+1 ) P A i A n+1 n = P(A i ) + P(A n+1 ) + n P(A i A j ) P(A i A n+1 ) 1 i<j n P(A i A j A k ) + 1 i<j<k n 1 i<j n P(A i A j A k A l ) P(A i A j A n+1 ) 1 i<j<k<l n 1 i<j<k n n + + ( 1) n+1 P(A 1 A 2 A n) ( 1) n P + ( 1) n+2 P(A 1 A 2 A n A n+1 ) n+1 = P(A i ) + P(A i A j ) 1 i<j n+1 P(A i A j A k ) 1 i<j<k n+1 P(A i A j A k A n+1 ) n j=1, j i 1 i<j<k<l n+1 A j P(A i A j A k A l ) + + ( 1) n+2 P(A 1 A 2 A n+1 ). 3. Probabilidad condicional Ejemplo Preliminar Supongamos que en una población de tamaño N, hay N R personas que son ciegas al colo rojo y un número de N F de personas dentro de la población son mujeres. De esta población elegimos una persona al azar. Sea R el evento la persona elegida es ciega al color rojo y sea F el evento la persona elegida es mujer. En tal caso, P(R) = N R N y P(F ) = N F N. 4

5 Podemos restringir nuestra atención únicamente al sector de la problación compuesto por mujeres. La probabilidad de elegir una persona ciega al color rojo dentro de esta subpoblación, es N RF N F, donde N RF es el número de mujeres ciegas al color rojo. Esta es una nueva noción de probabilidad, condicionada al hecho de que la persona elegida es de hecho una mujer. Para denotar esta razón usamos la notación P(R F ), que se lee probabilidad condicional del evento R dado el evento F. En este caso, decimos que N RF N F es la probabilidad de que una persona sea ciega al color rojo, dado que dicha persona es mujer. Ahora bien, note que el número N RF es justamente el número de elementos muestrales que componen el evento R F, de donde, P(R F ) = N RF N F = N RF N N R = P(R F ). P(F ) N F Definición 2 (Probabilidad condicional). Si P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, y A y B son eventos con B no trivial (B ), entonces definimos la probabilidad condicional de A dado B como la razón Observe que P(B) > 0. Regla del Producto P(A B) = P(A B). P(B) Note que de la definición de probabilidad condicional, P(A B) = P(A B)P(B), (1) cuando P(B) > 0. Este hecho es un caso particular de una regla más general. Teorema 4 (Regla del Producto). Sea P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, y sea A 1,...,A n una colección finita de eventos tales que π(a 1,..., A n ) > 0, entonces P(A 1 A n ) = P(A n A 1 A n 1 )P(A n 1 A 1 A n 2 ) P(A 2 A 1 )P(A 1 ). (2) Note que P(A 1 A i ) > 0 para cualquier i = 1,..., n. 5

6 Demostración. Procedemos por inducción. Cuando n = 2 se trata de la ecuación (1). Supongamos que la ecuación (2) es válida para cualquier colección finita de n eventos y sea A 1, A 2,... A n+1 una colección finita de n + 1 eventos. Entonces P(A 1 A n A n+1 ) = P(A n+1 A 1 A 1 A n)p(a 1 A n) = P(A n+1 A 1 A 1 A n) P(A n A 1 A n 1 )P(A n 1 A 1 A n 2 ) P(A 2 A 1 )P(A 1 ). Ley de la Probabilidad Total Proposición 1. Sea P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, y A y B eventos tal que 0 < P(B) < 1. Entonces P(A) = P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ). Demostración. Notamos que A = (A B) (A B c ) y los eventos A B y A B c son mutuamente excluyentes, de donde, por la propiedad de aditividad finita y la regla del producto, P(A) = P(A B) + P(A B c ) = P(A B)P(B) + P(A B c )P(B c ). Esta igualdad es bastante útil en la solución de muchos problemas. Puede generalizarce a particiones de Ω. Recordemos primero qué es una partición. Sea Ω un conjunto no vacío. Una particón de Ω es una colección B 1,...,B n de conjuntos no vacíos tales que 1) B i B j =, para i j (son mutuamente exlcuyentes). 2) n B i = Ω. Teorema 5 (Probabilidad Total). Sea P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, y B 1, B 2,... B n una partición de eventos de Ω tal que P(B i ) > 0 para todo i = 1,..., n. Si A es un evento entonces, n P(A) = P(A B i )P(B i ). 6

7 Regla de Bayes Algunos experimentos están compuestos de dos (o más) experimentos. Algunos preguntas interesantes tienen que ver con probabilidades de sucesos que ocurrieron en la primera parte, cuando se conoce información solo de la segunda parte. La Regla de Bayes proporciona la herramienta para resolver esos problemas. Teorema 6 (Regla de Bayes). Sea P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω, y B 1, B 2,... B n una partición de eventos de Ω tal que P(B i ) > 0 para todo i = 1,..., n. Si A es un evento entonces tal que P(A) > 0, entonces, para cada j = 1,..., n, P(B j A) = P(A B j)p(b j ). n P(A B i )P(B i ) Demostración. De la definición de probabilidad condicional, regla del producto y por la regla de probabilidad total, P(B j A) = P(A B j) P(A) = P(A B j)p(b j ). n P(A B i )P(B i ) 4. Independencia Definición 3. Sea P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre el conjunto finito no vacío Ω. Un par de eventos A y B son independientes si P(A B) = P(A)P(B). Cuando P(A) > 0 y P(B) > 0 entonces la definición anterior es equivalente P(A B) = P(A) o bien P(B A) = P(B). Definición 4. Sea P es una medida de probabilidad uniforme discreta sobre 7

8 el conjunto finito no vacío Ω. Los eventos A 1, A 2,... A n son independientes si P(A i A j ) = P(A i )P(A j ) P(A i A j A k ) = P(A i )P(A j )P(A k )... P(A 1 A n ) = P(A 1 ) P(A n ). i, j = 1,..., n i, j, k = 1,..., n. Esto es, si para cualquier sub-colección de índices i 1, i 2,..., i k {1,..., n}, P(A i1 A i2 A ik ) = P(A i1 )P(A i2 ) P(A ik ). 8