Definición axiomática de probabilidad

Transcripción

1 Definición axiomática de probabilidad Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas) E espacio muestral P(E)=1 (E es el evento seguro) 100% 0 P(A) 1 E espacio muestral P(AUB)=P(A)+P(B) si A B=Ø Ø es el conjunto vacío. A B Puedes imaginar la probabilidad de un subconjunto como su tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro)

2 ALGUNAS OPERACIONES CON CONJUNTOS: 1.A U (B C) = (A U B) (A U C) 2.A (B U C) = (A B) U (A C) 3.(A U B)' = A' B' 4.(A B)' = A' U B'

3 ALGUNAS OPERACIONES CON CONJUNTOS: 1.A U (B C) = (A U B) (A U C) 2.A (B U C) = (A B) U (A C) 3.(A U B)' = A' B' 4.(A B)' = A' U B' ALGUNAS PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD: 1. P(A') = 1 P(A) 2.P(Ø) = 0 3.Si A B (A es un subconjunto de B) entonces P( A) P (B) y, en ese caso, P(B) = P(A) + P(B n A') 4. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B) 5. Generaliza la propiedad 4 al caso de tres sucesos cualesquiera A, B y C

4 Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente. Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente: P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.7

5 Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente. Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente: P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.7 P(A U (B C)) = P(A)+P(B C) P(A B C)=P(A) + P(B)*P(C) - P(A)*P(B)*P(C) = * * 0.8 * 0.7 = 0.956

6 Probabilidad condicionada (sección del libro) Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B: E espacio muestral P( A B )= P( A B ) P( B ) tamaño de uno otro respecto al A B Concepción clásica: casos favorables? casos posibles?

7 Error frecuentíííííííísimo: No confundas probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero En P(A B) con respecto a P(E)=1 En P(A B) con respecto a P(B) Ejemplo: en una baraja francesa (corazones, picas, rombos, tréboles, 52 cartas) se saca una carta al azar: 1. Cuál es la probabilidad de que sea el rey de tréboles? 2. Cuál es la probabilidad de que sea el rey de tréboles, sabiendo que la carta es negra?

8 Intuir la probabilidad condicionada A A B B P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A B) = 0.10 P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A B) = 0.08 Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A B) = 0.1/0.1 = 1 P(A B) = 0.8 = 0.08/0.1

9 Intuir la probabilidad condicionada A A B B P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A B) = Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A B) = 0 P(A B) = 0.005/0.1 = 0.05 P(A B) = 0/0.1 = 0

10 Un par de reglas de cálculo más: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) P(A B C)= P(A) P(B A) P(C A B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)

11 Un par de reglas de cálculo más: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) P(A B C)= P(A) P(B A) P(C A B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada) Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A y 10 de tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar cuál es la probabilidad de los tres sean de tipo A? Llamamos A i = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A. P(A 1 A 2 A 3 )= P(A 1 )*P(A 2 A 1 )*P(A 3 A 1 A 2 ) = (20/30)*(19/29)*(18/28) =

12 Independencia de sucesos (sección del libro) Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro. A es independiente de B P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B)

13 Ejemplo (I) Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS MENOPAUSIA NO SI Total Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis? P(Osteoporosis)=64/1000=0.064 Coincide con la noción frecuentista de probabilidad P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+p(osteoporosis y No menopausia) Es la probabilidad marginal (de la osteoporosis respecto de la menopausia) ó probabilidad total.

14 Ejemplo (II) Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? MENOPAUSIA P(OsteopeniaUOsteoporosis)=467/ /1000=0.531 Son sucesos disjuntos Osteopenia Osteoporosis=Ø Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? NO SI Total P(OsteoporosisUMenopausia)=64/ / /1000=0.703 No son sucesos disjuntos Probabilidad de una mujer sin osteopenia o osteoporosis? P(Normal)=469/1000=0.469 P(Normal)=1-P(Normal )=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) = =0.469

15 Ejemplo (III) Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS MENOPAUSIA NO SI Total Si es menopáusica probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis Menopausia)=58/697=0.098 Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop Osteoporosis) = 58/1000=0.058 Otra forma: P( Menop Osteoporosis )=P( Menop) P (Osteoporosis Menop)= =58 /1000=

16 Ejemplo (IV) Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS MENOPAUSIA NO SI Total Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo P(Osteoporosis)=64/1000=0.064 P(Osteoporosis Menopausia)=58/697=0.098 Otra forma? La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. No son independientes! P(Menop Osteoporosis) = 58/1000 = P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) * (64/1000) = La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.