Probabilidad Condicional

Transcripción

1 Otro ejemplo: Suponga que se lanzan dos dados (distinguibles) y se observa que la suma X es un número impar Cuál es la probabilidad de que X sea menor que 8?

2 Regla de multiplicación para probabilidades condicionales. Sean A y B dos eventos. Si Pr(B) > 0 entonces Similarmente, si Pr(A)>0,

3 Ejemplo: Se tiene que dos bolas son seleccionadas aleatoriamente (sin reemplazo) de un caja que contiene r bolas rojas y b bolas azules. Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda azul?

4 Generalización a más eventos: Para 3 eventos: Para n eventos:

5 Ejemplo: Supongamos ahora que tenemos 4 bolas que serán seleccionadas una a una (sin reemplazamiento) de una caja que contiene r bolas rojas, b bolas azules ( ) Cuál es la probabilidad de obtener la serie: roja, azul, roja, azul?

6 Comentario: las probabilidades condicionales siguen las mismas reglas que las probabilidades standard (no condicionales). Por ejemplo:

7 Ley de la probabilidad total Partición: Sea S el espacio muestral de un experimento y considere k eventos en S, tal que son eventos disjuntos y. Se dice entonces que los eventos B forman un partición.

8 Ley de la probabilidad total Teorema: Suponga que los eventos forman una partición de S y para j=1,2,...k. Entonces para cada evento A en S:

9 Ejemplo Se tienen dos cajas que contienen tornillos largos y cortos. Una de ellas tiene 60 tornillos largos y 40 cortos. La segunda caja contiene 10 tornillos largos y 20 cortos. Suponga que una caja se selecciona al azar y se saca aleatoriamente un tornillo. Cuál es la probabilidad de que el tornillo seleccionado sea un tornillo largo?

10 Eventos independientes: Si el conocimiento de que el evento B ha ocurrido no cambia la probabilidad de que el evento A ocurra, se dice que A y B son eventos independientes. Definición: dos eventos A y B son independientes si

11 De aquí se sigue que A y B son eventos independientes si y solo si: y

12 Probabilidad condicional Ejemplo: Se tienen 2 máquinas (1 y 2) en una fábrica que funcionan independientemente una de otra. Sea A el evento de que la máquina 1 se estropee durante 8 hrs y sea B el evento de que la máquina 2 se estropee durante 8 hrs. Suponga que Pr(A)=1/3 y Pr(B)=1/4 Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas se estropee durante el mismo período de tiempo?

13 Eventos independientes (generalización): Los k eventos son independientes (o mutuamente independientes) si para cada subconjunto de j de los eventos se tiene que

14 Ejemplo: Para que A, B y C sean independientes se deben satisfacer las siguientes relaciones:

15 Ejemplo: Suponga que una moneda se lanza dos veces de modo que se tiene el siguiente espacio muestral: S={HH, HT, TH, TT}. Sean los siguientes eventos: -H en el 1er lanzamiento: A={HH, HT} -H en el 2do lanzamiento: B={HH, TH} -ambos resultados iguales: C={HH, TT}

16 Independencia condicional Como hemos dicho, las probabilidades condicionales tienen las mismas propiedades que las probabilidades no condicionales. Un ejemplo más es el siguiente: Se dice que los eventos son condicionalmente independientes dado B, si para cada subcolección de esos eventos se tiene que

17 Teorema de Bayes Si se conoce Pr(A B i ) para cada i, el teorema de Bayes proporciona una fórmula útil para calcular las probabilidades condicionales de los B i eventos dado A.

18 Teorema de Bayes Sea B i,...,b k los eventos que forman una partición del espacio S tal que Pr(B i )>0 para j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k, tenemos que

19 Teorema de Bayes Suponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad del 90%. Por otro lado, una colección de datos indican que la posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre Como el test es gratis, no duele y es rápido, decidimos hacer el test. Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad después de saber que el resultado del test fue positivo?