Probabilidad condicional (Regla de Bayes) Universidad de Puerto Rico ESTA Prof. Héctor D. Torres Aponte

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1 Probabilidad condicional (Regla de Bayes) Universidad de Puerto Rico ESTA 3041 Prof. Héctor D. Torres Aponte 1. Regla de Bayes Utilizando el ejemplo 1.5 (semana #6), sabemos los valores de P (A) y P (A c ) lo cual representa la probabilidad de que atletas que compiten en escuela superior compitan o no compitan a nivel universitario. Ademas, sabemos los valores para P (B A) y P (B A c ). Ya calculamos P (B) lo cual se puede generalizar como: Ademas, calculamos P (A B) definido como: P (B) P (A) P (B A) + P (A c ) P (B A c ) P (A B) P (A B) P (B) P (A B) P (B) P (A) P (B A) + P (A c ) P (B A c ) así que de forma mas general podemos obtener: P (A i B) P (A i ) P (B A i ) P (A 1 ) P (B A 1 ) + P (A 2 ) P (B A 2 ) + + P (A n ) P (B A n ) P (A i ) P (B A i ) n i1 P (A i) P (B A i ) Ejemplo 1.1. Considere una fábrica de botellas que cuenta con dos máquinas para producir botellas. En esta fábrica se producen 10,000 botellas al día. La máquina A produce 6,500 botellas diarias de las cuales un 2 % son defectuosas. La máquina B produce 3,500 botellas cada día las cuales 1 % son defectuosas. Si se selecciona una botella aleatoriamente y esta es defectuosa, Cuál es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la máquina A? Para esto considere los siguientes eventos: A {botella producida por máquina A} B {botella producida por máquina B} D {botella defectuosa} Haciendo un diagrama de arbol con la información del ejercicio, obtenemos: 1

2 D A D c Botella D B.99 D c Queremos calcular P (A D) pero una botella defectuosa puede ser producida por la máquina A o por la máquina B. Utilizando un diagrama de Venn para organizar nuestra información obtenemos lo siguiente: A y D c B y D c A y D B y D Máquina A Máquina B Para encontrar P (D) tenemos que P (D) P (B D) + P (A D) como y entonces P (B D) P (B) P (D B) P (A D) P (A) P (D A) P (D) P (B) P (D B) + P (A) P (D A) 2

3 Ahora podemos calcular P (A D) de la siguiente manera: P (A D) P (A D) P (D) P (A) P (D A) P (A) P (D A) + P (B) P (D B) 6, ,000 ( ) ( ) 6, , ,000 10, % Ejemplo 1.2. El gobierno de Puerto Rico abrobó una ley para hacer obligatorio que los cerca de 200,000 empleados públicos se sometan a una prueba para detectar si son usuarios de droga. Se estima que el 1 % de los empleados públicos del país son usuario de drogas. La prueba que se ofrece muestra un resultado positivo en 98 % de los casos en que se le adminstra a una persona que usa drogas, es decir, detecta el 98 % de los usuarios de drogas. De manera similar, si la persona no usa droga alguna, la prueba arroja un resultado negativo en el 99 % de los casos. Si se selecciona un empleado al azar, se le administra la prueba y se obtiene un resultado positivo. Cual es la probabilidad de que la persona sea un usuario de drogas? Para este ejemplo considere los siguientes eventos: tenemos que, A {usuario de drogas} P os {prueba positiva} N eg {prueba negativa} P (U).01 P (P os U).98 P (Neg U c ).99 estos datos los podemos resumir en el siguiente diagrama de árbol: 3

4 Pos U Neg Empleado Pos U c.99 Neg Ahora, la pregunta es Cuanto es P (U P os)?, para esto tenemos: P (U P os) P (P P os). P (P os) Si trabajamos con el numerador obtenemos que: P (P P os) P (U) P (P os U) Para el denominador, tenemos que el evento P os (U P os) (U c P os) si aplicamos la probabilidad entonces tenemos que P (P os) P (U P os) + P (U c P os) como ya tenemos el valor para P (U P os) solo tenemos que entontrar P (U c P os), esto es, P (U c P os) P (U c ) P (P os U c ) (.99) (.01).0099 entonces sustituyendo todos los valores obtenemos P (U P os) P (U) P (P os U) P (U) P (P os U) + P (U c ) P (P os U c ) Así que la probabilidad de que el empleado sea usuario dado que de positivo es

5 Ejemplo 1.3. Suponga que tenemos una caja con 5 canicas, dos de ellas son rojas y tres son azules. Se selecciona una canica al azar, sin mirarla la guardamos en el bolsillo. Luego seleccionamos otra canica al azar. Esta segunda canica la observamos y vemos que es de color rojo. Cual es la probabilidad de que la primera canica haya sido roja? Sean los siguientes eventos: R 1 {Primera canica roja} R 2 {Segunda canica roja} A 1 {Primera canica azul} A 2 {Segunda canica azul} Lo que nos interesa calcular es P (R 1 R 2 ). Describiendo este experimento con un diagrama de arbol, obtenemos lo siguiente 1/4 2/5 3/4 3/5 2/4 2/4 Ahora, lo que queremos calcular es P (R 1 R 2 ), Por definición tenemos que trabajando en el numerador tenemos que: P (R 1 R 2 ) P (R 2 R 2 ) P (R 2 ) P (R 1 R 2 ) P (R 2 R 1 ) P (R 1 ) Para el denominador, el evento R 2 se define como, R 2 (A 1 R 2 ) (R 1 R 2 ) 5

6 entonces P (R 2 ) P (A 1 R 2 ) + P (R 1 R 2 ) P (R 2 A 1 ) P (A 1 ) + P (R 2 R 1 ) P (R 1 ) entonces podemos escribir el resultado de la siguiente manera P (R 1 R 2 ) P (R 2 R 1 ) P (R 1 ) P (R 2 A 1 ) P (A 1 ) + P (R 2 R1) P (R 1 ) 1 ( ) + ( ) 1 4 Así que la probabilidad de que la primera canica fuese roja dado que la segunda fuese roja es