Por definición la cardinalidad de un conjunto es el conteo de elementos de tal conjunto, por lo tanto son positivas. # 0, # Ω 0 P(A) 0 ii.

Transcripción

1 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES: 1) Sea Ω = {,,, } A = {,,, } ; r n Se define: P (A) = # # Demostrar que P(A) es función probabilidad. SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) 0 Por definición la cardinalidad de un conjunto es el conteo de elementos de tal conjunto, por lo tanto son positivas. # 0, #Ω 0 P(A) 0 ii. P(Ω) = 1 Basta con solo reemplazar en la función P(A) P (Ω) = # # = 1 P (Ω) = 1 iii. P ( ) = P ( ) = # # P ( ) = # # + # P ( ) = = # # Por lo tanto P (A) es función probabilidad. = # # # # + = P ( ) + P ( ) +

2 2) Sea: Ω = {0, 1, 2,.} Se define: P(A) =! Demostrar que P(A) es función probabilidad. SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) 0 El, es una constante positiva. 3 Siempre es mayor que cero para todo valor de x. La factorial de un número está definida como positivo. Por lo tanto: P(A) 0 ii. P (Ω) = 1 P (Ω) = = = = = 1 P (Ω) = 1!!! iii. P ( ) =! = =! + + =! =! Por lo tanto P (A) es función probabilidad.!

3 3) Sea: Ω = {1, 2, 3,.} Se define: P (A) = Demostrar que P(A) es función probabilidad. SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) / 0 Al aplicar sumatoria se conserva la igualdad. Por lo tanto: P(A) 0 ii. P (Ω) = 1 P (Ω) = P (Ω) = = = P (Ω) = 1 iii. P ( ) = = = + + = = Por lo tanto P (A) es función probabilidad. 1 1

4 4) Sea: Ω = {x/x R}; (-, ) Se define: P (A) = Demostrar que P(A) es función probabilidad. SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) 0 El, es una constante positiva. Siempre es mayor que cero para todo valor de x. Por lo tanto: P(A) 0 ii. P (Ω) = 1 P (Ω) = = (Hacemos u = ) P (Ω) = = (z 1 = - z = ) P (Ω) = 1 2 = = 1 P (Ω) = 1 iii. P ( ) = = = = Por lo tanto P (A) es función probabilidad.

5 5) Demostrar que: P ( ) = 1 P (A) A :Ω SOLUCION: Sabemos que: P (Ø) = 0 y P (Ω) = 1 Del diagrama se puede ver que: A U = Ω Si aplicamos función probabilidad en la igualdad, tendríamos: P (A U ) = P (Ω) P (A) + P ( )-P(A ) = P (Ω) P (A) + P ( )- P (Ø) = P (Ω) P (A) + P ( ) 0 = 1 P (A) + P ( ) = 1 P ( ) = 1 P (A) 6) Demostrar que: P (Ø) = 0 SOLUCION: Solo basta analizar y darse cuenta de que: Ω = Ω U Ø Si aplicamos función probabilidad en la igualdad, tendríamos: P (Ω) = P (Ω U Ø) / Como Ω y Ø son eventos excluyentes: P (Ω U Ø) = P (Ω) + P (Ø) P (Ω) = P (Ω) + P (Ø) 1 = 1 + P (Ø) P (Ø) = 0

6 7) Demostrar que: i. P ( ) = P (B) P (A ii. P ( ) = P (A) P (A A B A SOLUCION: Solo basta ver el diagrama para darse cuenta que, A B y B son eventos mutuamente excluyentes, es decir, que su intersección es vacío. i. Para la primera parte tenemos que: B = B U (A B, luego, aplicamos función probabilidad en la igualdad. P (B) = P B U (A B P (B) =P B + P (A B) P ( B) = P (B) P (A B ii. Para la segunda parte tenemos que: A = ( U (A B, luego, aplicamos función probabilidad en la igualdad. P (A) = P (( U (A B P (A) = P ( + P (A B) P ( ) = P (A) P (A B 8) Demostrar que: P (A U ) = P (A) + P ()- P (A ) SOLUCION: Ocupando el mismo diagrama, unimos A y B y tenemos que: A U B = ( ) (A B) B, luego, aplicamos función probabilidad en la igualdad. P (A U B) = P + P (A B + P ( B) / Ocupamos las dos demostraciones ya hechas. P (A U B) = P (A) P (A B + P (A B + P (B) P (A B P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A B)

7 9) Si y son funciones de probabilidades, entonces pruebe que: P (A) = +, también es una función probabilidad, donde y son números positivos tal que: + = 1 SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) 0 Como y son funciones de probabilidades, y son funciones positivas. Los y son números positivos también. Por lo tanto: P(A) 0 ii. P (Ω) = 1 P (Ω) = Ω + Ω / Como y son funciones de probabilidades, Ω 1 Ω 1 P (Ω) = + = 1 P (Ω) = 1 10) Demostrar que: 1 P ( ) P ( ) P (A SOLUCION: Se sabe que: P (A B 1 P (A U B 1 P (A) + P (B) - P (A B) 1 P (A) + P (B) 1 P (A B) P (A) + P (B) 1 P (A B) 1 (1 P (A)) (1 P (B)) P (A B) 1 P ( ) P ( ) P (A B 11) Demostrar que: P ((A U B)/C) = P (A/C) + P (B/C) P ((A )/C) SOLUCION: Sabemos que: P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A B) P ((A U B)/C) = P ((A U B)/C) = + = - P ((A U B)/C) = P (A/C) + P (B/C) P ((A B)/C) =

8 EJERCICIOS DE PROBABILIDADES: 1) Sea: Ω = {0,1, 2, 3,., n} Ocupando: Demuestre que: P (A) = es función probabilidad. 2) Sea: Ω = {0, 1, 2 } Demuestre que: P (A) = ; 0 p 1 es función probabilidad. 3) Si P ( ) =, P (A U ) = y P ( ) = Calcular: a) P (A ) b) P ( c) P ( )

9 4) Pruebe que: P { } = 1 (P (A) - P (A )) (P (B) - P (A )) 5) Sean A, B, C eventos. Pruebe que: P /C) = P (B/C) P ((A )/C) 6) La probabilidad de que Carlos apruebe Probabilidad es 0.55 y de que apruebe Calculo III Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de Cuál es la probabilidad de que Carlos: a) Apruebe por lo menos uno de los dos cursos? b) Apruebe solo uno de los dos cursos? c) No apruebe ninguno de los dos cursos? d) Apruebe solo Probabilidades? 7) Demuestre que si A es un evento cualquiera: 0 P (A) 1 8) Es bien conocida la función de PROBABILIDAD CONDICIONAL definida por: P (A/B) = Demuestre que P (A/B) si es una función de probabilidad.

10 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES: 12) Hacer todas las demostraciones del teorema de la urna (CON Y SIN REEMPLAZO) SOLUCION: 1 Algunas definiciones: M = Total de elementos = Elementos del tipo I = Elementos del tipo II n = cantidad de seleccionados Ahora defino los siguientes eventos: = Los k primeros elementos seleccionados son del tipo I y los (n-k) restantes del tipo II. = Hay exactamente k elementos del tipo I en la muestra seleccionada. Un esquema básico de la situación: M -

11 La situación la dividiremos en dos casos: 1) La selección efectuada es SIN REEMPLAZO: Primero calcularemos la cardinalidad de Ω: Ω = (,,,, )/ = M posibilidades = M 1 posibilidades... = [M (n- 1)] posibilidades Usando el principio multiplicativo hallamos #(Ω): #(Ω) = M (M- 1).. [M (n- 1)] Haciendo un pequeño arreglo: #(Ω) = # (Ω) =!! Ahora lo mismo pero para el evento : = (,,,,,, )/ = posibilidades = 1 posibilidades = 1 posibilidades = posibilidades = 1 posibilidades = [ 1 posibilidades Usando el principio multiplicativo hallamos # ( ): # ( ) = ( 1 1( )( 1) [ 1

12 Haciendo un pequeño arreglo: # ( ) = ( 1 1 * # ( ) = ( )( 1) [ 1! *!!! Luego: P ( ) = # # =!!!!!! Haciendo un análisis del segundo evento, nos damos cuenta que la cantidad de elementos del tipo I son los mismos, lo que cambia es la forma de combinarlos, por lo tanto se concluye que: P ( ) = ( ) P ( ) Factorizando y jugando con los términos, llegamos a la siguiente expresión: P ( ) = /

13 2) La selección efectuada es CON REEMPLAZO: Ω = (,,,, )/ = M posibilidades = M posibilidades... = M posibilidades Usando el principio multiplicativo hallamos # (Ω): # (Ω) = = (,,,,,, )/ = posibilidades = posibilidades = posibilidades = posibilidades = posibilidades = posibilidades # ( ) = P ( ) = # = # Hacemos un pequeño arreglo: P ( ) = = 1 Donde: P ( ) = ( ) P ( ) P ( ) = ( ) 1

14 13) La producción de un cierto artefacto esta dado por 3 máquinas: La maquina I produce el 20% del total, pero su 5% sale defectuoso. La maquina II produce el 40% del total, pero su 6% sale defectuoso. La maquina III produce el 40% del total, pero su 8% sale defectuoso. Se selecciona un artículo del total producido por las tres máquinas: i) Determinar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso. ii) Determinar la probabilidad de que el artículo seleccionado provenga de la máquina II sabiendo que el artículo es defectuoso. SOLUCION: i. Definimos los siguientes eventos: = El artículo seleccionado proviene de la i ésima máquina, i = 1, 2, 3. = El artículo seleccionado es defectuoso. Del enunciado podemos concluir lo siguiente: P (B/ ) = 0.05 P ( ) = 0.2 P (B/ ) = 0.06 P ( ) = 0.4 P (B/ ) = 0.08 P ( ) = 0.4 Deseamos calcular P (B), para eso, ocupamos el TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL P (B) = P B / P = 0.2* * *0.08 = ii. Ocuparemos el TEOREMA DE BAYES: P ( / B) = / =... = 0.36

15 14) Se posee una urna con 7 fichas, de las cuales 3 son blancas y el resto son verdes. Se seleccionan 3 fichas al azar de la urna, de una en una y sin reemplazo: i) Calcular la probabilidad de que las dos primeras fichas seleccionadas sean blancas y la última sea verde. ii) Calcular la probabilidad de que hayan exactamente dos fichas blancas y dos verdes. SOLUCION: i. Analizando el enunciado, nos damos cuenta que lo pedido no es nada mas que P ( ) Defino: = Las primeras dos fichas seleccionadas son blancas y el resto son verdes. Ocupamos la formula del teorema de la urna SIN REEMPLAZO:!!! P ( ) = = 0.114!!! Otra forma es ocupando la cardinalidad de cada evento: = (,, ) / = 3 posibilidades # ( ) = 3*2*4 = 24 # (Ω) = 7*6*5 = 210 P ( ) = # # = = = 2 posibilidades = 4 posibilidades ii. En este caso, el enunciado se refiere a : P ( ) = / = 0.342

16 15) En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es de 0.1. La probabilidad de que la alarma funcione sabiendo que se produce peligro es de La probabilidad de que funcione la alarma dado que no hay peligro es de Hallar la probabilidad de que: SOLUCION: i) No haya habido peligro sabiendo que la alarma funciono. ii) Haya un peligro o que la alarma no funcione. iii) No funcione la alarma. Primero defino los siguientes eventos: A = Alarma funciona B = Se produce peligro Ya sabemos que: P (B) = 0.1 P (A/B) = 0.95 P (/ ) = 0.03 i. En este caso nos piden calcular P ( / P (/ ) = P (A/B) = 0.03 = =. P = P A B) = P (A) = P (/ ) + P A B) P (B) P (A) = P + P A B) P (A) = P (A) = P ( / = =. = ii. Ahora nos piden calcular P ( U B) P ( U B) = P ( ) P ( U B) = 1 P ( ) P ( U B) = P ( U B) = iii. P ( ) = 1 P (A) = = 0.878

17 16) 4 personas se reúnen. Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos estudiantes hayan nacido en el mismo mes? SOLUCION: Primero trabajaremos con la cardinalidad del espacio muestral Ω = (,,, ) / = 12 posibilidades = 12 posibilidades = 12 posibilidades = 12 posibilidades Ocupando el principio multiplicativo obtenemos que: #Ω = 12*12*12*12 = 12 = Ahora defino: A = Al menos 2 estudiantes nacieron el mismo mes. Pero para no complicarnos trabajaremos con el complemento del evento, es decir: = Ningún estudiante nació el mismo mes. = (,,, ) / = 12 posibilidades = 11 posibilidades = 10 posibilidades = 9 posibilidades NOTA: Las posibilidades se van reduciendo en relación a los meses. Usando el principio multiplicativo obtenemos que: # = 12*11*10*9 = Luego: P ( ) = # # = = Pero queremos P (A), entonces: P (A) = 1 - P ( ) P (A) = = 0.428

18 17) Una prueba de sangre de laboratorio es 99% efectiva para detectar una cierta enfermedad cuando ocurre realmente. Sin embargo, la prueba también da un resultado positivo falso en 1% de las personas sanas a las que se les aplica. (Es decir, si se le hace la prueba a una persona sana, con probabilidad 0.01 el resultado de la prueba implicará que la persona padece la enfermedad). Si 0.5% de la población tiene realmente la enfermedad, Cuál es la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad si la prueba dio resultado positivo? SOLUCION: Lo primero es definir los eventos: A = Gente tiene la enfermedad = Gente no tiene la enfermedad B = Prueba de sangre da positivo Del enunciado podemos concluir que: P (A) =. = P ( ) = = P (B/A) = 0.99 P (B/ ) = 0.01 En el enunciado nos piden calcular P (A/B) / P (A/B) = = / /

19 18) 8 estudiantes del curso de Calculo III se fueron de vacaciones a Europa. Ellos tomaron vuelos distintos y se pusieron de acuerdo para encontrarse en el Grand Hotel, París. Resulta que en esa ciudad hay ocho hoteles con ese nombre. Cuál es la probabilidad de que todos ellos escojan hoteles diferentes? SOLUCION: Primero veamos la cardinalidad del espacio muestral: Ω = (,,, )/ = 8 posibilidades = 8 posibilidades... = 8 posibilidades Ocupando el principio multiplicativo obtenemos que: #(Ω) = 8 Ahora defino: A = Los alumnos eligen distintos hoteles A = (,,, )/ = 8 posibilidades = 7 posibilidades... = 1 posibilidades #(A) = 8! P (A) = # =! # =

20 19) En cada una de 10 urnas,,, hay 10 fichas. La n-ésima urna (1 n 10) contiene n fichas blancas y (10 - n) fichas negras. Se selecciona una urna al azar y de esta se saca una ficha. Si se conoce que la ficha seleccionada es blanca, Cuál es la probabilidad de que la ficha provenga de la urna 4? SOLUCION: Si vamos haciendo un análisis del enunciado podemos concluir que: tiene 1 ficha blanca y 9 negras tiene 2 ficha blanca y 8 negras tiene 10 ficha blanca y 0 negras Defino: = Seleccionar la urna n P ( ) = = Seleccionar una bolita blanca de la urna n P ( ) = Si ocupamos el TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: P (B) = P ( / ) P ( ) + P ( / ) P ( ) + + P ( / ) P ( ) P (B) = P (B) = ( ) P (B) = 0.55 El enunciado nos pide calcular P ( /B) P ( /B) = / = =

21 20) En sus ratos libres, el maestro de maestros y director de la carrera de Pedagogía en Matemática de la UFRO, el querido profesor PH (COLOCOLINO!!!), se dedica a la pesca. En un día de esos PH ha pescado diez peces, pero dos de esos son más pequeños que el tamaño mínimo legal. Ese día no fue del todo bueno para PH, ya que un inspector de pesca le inspeccionó su canasta. El inspector seleccionó al azar (SIN REEMPLAZO) dos peces del total de diez. Cuál es la probabilidad de que no seleccione ninguno de los pescados de tamaño ilegal? SOLUCION: Nuestro problema tiene bastante similitud con el problema de la urna, solo que en vez de fichas, tenemos peces. Lo cuál no es ningún problema, solo cabe recordar que hay que definir los eventos de forma correcta: A = Ningún pescado es de tamaño ilegal = Todos los pescados son tamaño ilegal Ω = (, )/ = 10 posibilidades # (Ω) = 90 = 9 posibilidades A = (, )/ = 8 posibilidades # (A) = 56 P(A) = 0.62 Otra forma: = 7 posibilidades = 1 pescado es legal = 2 pescado es legal = )/ = 8 posibilidades # (Ω ) = 10 # ( ) = 8 = )/ = 7 posibilidades # (Ω ) =9 # ( ) = 7 P ( ) = P ( ) P ( / ) P ( ) = = 0.62 Esta de más enunciar que: A =, para la segunda forma de resolver el problema.

22 21) La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es de 0.83, la que lleguen a tiempo es de 0.82 y la que despegue y llegue a tiempo es de Encuentre la probabilidad de que: a) Llegue a tiempo dado que despegó a tiempo b) Despegue a tiempo dado que llegó a tiempo SOLUCION: Basta con definir de buena forma los eventos y ocupar los datos dados por el enunciado. Defino: D = Vuelo despega a tiempo L = Vuelo llega a tiempo Se concluye que: P (D) = 0.83 P (L) = 0.82 P (D L) = 0.78 a) Nos piden calcular P (L/D) P (L/D) = =. = b) Nos piden calcular P (D/L) P (D/L) = =. = 0.95.

23 22) La probabilidad de que Alicia estudie para su examen final de ESTADISTICA es 0.2. Si estudia la probabilidad de que apruebe el examen es 0.8, en tanto que si no estudia la probabilidad es 0.5. a) Cuál es probabilidad de que Alicia apruebe ESTADISTICA? b) Dado que Alicia aprobó su examen. Cuál es la probabilidad de que haya estudiado? SOLUCION: Defino los siguientes eventos: E = Alicia estudia para su examen de ESTADISTICA A = Alicia aprueba ESTADISTICA Del enunciado obtenemos que: P (E) = 0.2 P ( ) = 0.8 P (A/E) = 0.8 P (A/ ) = 0.5 a) Nos piden calcular la probabilidad del evento A, es decir: P (A) P (A) = P (A E) + P (A ) Luego ocupamos el TEOREMA DE BAYES para descomponer. P (A) = P (A/E) P (E) + P (A/ ) P ( ) P (A) = 0.8* *0.8 P (A) = 0.56 b) La segunda parte corresponde a una PROBABILIDAD CONDICIONAL en la cual nos piden calcular P (E/A) P (E/A) = = / = =... P (E/A) = 0.29

24 EJERCICIOS DE PROBABILIDADES: 1) En una sala hay M estudiantes, de las cuales dicen que le encantan las matemáticas y que no le gustan. Se extrae una muestra de 2 estudiantes (De uno en uno y SIN REEMPLAZO). Determinar la probabilidad de que: i. El primer estudiante seleccionado le guste las matemáticas ii. El segundo estudiante seleccionado le gusten las matemáticas iii. Ambas estudiantes seleccionadas les gusten las matemáticas. 2) Al contestar una pregunta en un examen de opción múltiple, una estudiante o sabe la respuesta o la adivina. Sea p la probabilidad de que sepa la respuesta y (1 - p) la probabilidad de que adivine. Suponga que una estudiante que adivina la respuesta acierte con una probabilidad, donde m es el número de alternativas en la opción múltiple. Cuál es la probabilidad condicional de que una estudiante hay sabido la respuesta a la pregunta puesto que su respuesta fue correcta? 3) Se ha lanzado un dado legal cuatro veces. Cuál es la probabilidad de que se obtenga el número 3 en dos de las cuatro tiradas? 4) Una familia tiene dos hijos. Suponga que cada hijo tiene la misma probabilidad de ser niño o niña. Cuál es la probabilidad condicional de que ambos hijos sean niños, dado que: i. El hijo mayor es niño ii. Por lo menos un de los hijos es niño 5) De una total de 60 números distintos vendidos en una mini-lotería, 20 de estos tendrán premios. Si se compran 6 números distintos, Cuál es la probabilidad de que 2 de estos números comprados sean premiados?

25 6) Una caja C1 contiene 12 fichas negras y 8 fichas rojas. Otra caja idéntica C2 contiene 10 fichas negras y 20 fichas rojas. a) Se toma una caja al azar y se saca una ficha. Encuentre la probabilidad de que la ficha seleccionada sea negra. b) Se toma una caja al azar y se saca una ficha que resulta ser negra. Encuentre la probabilidad de que ella provenga de la caja C1 7) Se dice que los eventos A y B son independientes si P (A/B) = P (A) o equivalentemente P (A B) = P (A) P (B). Pruebe que los eventos: i. A y ii. y B iii. y Son eventos independientes. 8) Tres eventos A, B y C son independientes. Pruebe que los eventos: i. A, y C ii. A, y iii., y C Son eventos independientes. 9) Una compañía de seguros divide a las personas en dos clases, quienes son propensos a accidentes y quienes no lo son. Sus estadísticas muestran que una persona propensa tendrá, en no más de un año, un accidente con probabilidad 0.4; mientras que esta probabilidad decrece a 0.2 para personas no propensas a accidentes. Si pensamos que 30% de la población es propensa a accidentes. Cuál es la probabilidad de que una persona que compra una nueva póliza tenga un accidente en no más de un año? 10) Del ejercicio anterior, suponga que un nuevo asegurado ha tenido un accidente a no más de un año de haber comprado su póliza. Cuál es la probabilidad de que sea propenso a accidentes? 11) Una rifa consta de 100 boletos entre los cuales hay dos premiados. Determinar el número menor de boletos que es necesario comprar para que la probabilidad de ganar a lo menos un premio, sea no inferior a.