Sistemas de Comunicaciones

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1 Sistemas de Comunicaciones Tema 2: Señales aleatorias Grado en Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación Departamento de Ingeniería de Comunicaciones Universidad de Málaga Curso 202/203

2 Tema 2: Señales aleatorias 2. Probabilidad 2.2 Variable aleatoria 2.3 Variable aleatoria bidimensional 2.4 Análisis de señales deterministas 2.5 Señales aleatorias Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 2/ 03

3 Tema 2: Señales aleatorias 2. Probabilidad Experimento aleatorio Álgebra de sucesos Definición de probabilidad Axiomas Probabilidad condicionada Equiprobabilidad Teorema de la probabilidad total Teorema de Bayes Canal binario Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 3/ 03

4 2. Probabilidad Experimento aleatorio Experimento cuyos posibles resultados son conocidos pero el resultado concreto de cada realización es impredecible. Ejemplos: ˆ Lanzar un dado ˆ Sacar una bola de un bombo ˆ Medir el nº de llamadas que recibe una central telefónica por minuto ˆ Transmitir un bit en un canal ruidoso Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 4/ 03

5 2. Probabilidad Álgebra de sucesos ˆ Suceso elemental (S n ) Cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio ˆ Espacio muestral (E) Conjunto de todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio ˆ Suceso (A ó B) Conjunto de posibles sucesos elementales, subconjunto del espacio muestral E A S S 2 S 3 S 4 B S 5 S 6 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 5/ 03

6 2. Probabilidad Definición de probabilidad ˆ Frecuencia relativa ƒ r (A) = R A R T, R A Nº realizaciones en que sucede A R T Nº total de realizaciones del experimento ˆ Probabilidad Frecuencia relativa a la que converge la aparición de un suceso en un experimento aleatorio cuando crece el número de realizaciones del experimento Ejemplos: P( 3 al lanzar un dado) = 6 ƒ r (A) = P(A) R T P( cara al lanzar la moneda) = 2 P(nº par al sacar bola de un bombo) = 2 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 6/ 03

7 2. Probabilidad Axiomas. P(A) 0 2. P(E) = 3. N N P( A ) = P(A ), si A A j =, = j = = De estos axiomas se deduce. 0 P(A) 2. P( ) = 0 3. P(A) = P(A) 4. P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) E A S S 2 S 3 S 4 B S 5 S 6 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 7/ 03

8 2. Probabilidad Probabilidad condicionada Probabilidad de A condicionado a B, P(A/ B), es la probabilidad del suceso A sabiendo que se ha producido el suceso B P(A B) P(A/B) = P(A B) = P(A/B)P(B) = P(B/A)P(A) P(B) Dos sucesos A y B son independientes si P(A/B) = P(A) ó P(B/A) = P(B) es decir, si la ocurrencia de uno no influye en la probabilidad del otro. Por tanto, si dos sucesos A y B son independientes P(A B) = P(A)P(B) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 8/ 03

9 2. Probabilidad Equiprobabilidad Cuando los sucesos elementales son equiprobables: Nº de sucesos elementales de A P(A) = Nº de sucesos elementales del espacio muestral P(A B) P(A/B) = = P(B) Nº de sucesos elementales de A B Nº de sucesos elementales del espacio muestral Nº de sucesos elementales de B Nº de sucesos elementales del espacio muestral Nº de sucesos elementales de A B Nº de sucesos elementales de B E A S S 2 S 3 S 4 B S 5 S 6 = Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 9/ 03

10 2. Probabilidad Teorema de la probabilidad total Sea C uno de los N sucesos de una partición del espacio muestral E C C j =, = j N C = C C 2... C N = E = E C C 2 C 3 A A C 2 A C A C 4 A C 3 C 4 Cualquier suceso A del espacio muestral E puede expresarse como N A = (A C ) = (A C ) (A C 2 )... (A C n ) = Por tanto, la probabilidad del suceso A se puede obtener como N N P(A) = P(A C ) = P(A/C )P(C ) = Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 0/ 03 =

11 2. Probabilidad Teorema de Bayes Sea A un suceso y C j un suceso de una partición del espacio muestral E, la probabilidad de C j condicionada a A se puede obtener como P(C j /A) = P(A C j) = P(A/C j)p(c j ) P(A) P(A) Usando el teorema de la probabilidad total se obtiene P(C j /A) = P(A/C j)p(c j ) N P(A C ) = P(A/C j )P(C j ) N P(A/C )P(C ) = E C C 2 C 3 A A C 2 A C A C 4 A C 3 C 4 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) / 03

12 2. Probabilidad Canal binario Modelo de canal caracterizado por las probabilidades del bit recibido (0 ó ) condicionadas al bit transmitido (0 ó ) T 0 Transmisor P(R 0 /T 0 ) P(R 0 /T ) P(R /T 0 ) R 0 Receptor T P(R /T ) R P(error) =P((R T 0 ) P(R 0 T )) = P(R T 0 ) + P(R 0 T ) = P(R /T 0 )P(T 0 ) + P(R 0 /T )P(T ) P(T 0 /R ) = P(T 0 R ) P(R ) = P(R /T 0 )P(T 0 ) P(R /T 0 )P(T 0 ) + P(R /T )P(T ) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 2/ 03

13 Tema 2: Señales aleatorias 2.2 Variable aleatoria Definición Histograma Función densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad Clasificación Momentos Distribuciones más usadas Transformación de variable aleatoria Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 3/ 03

14 2.2 Variable aleatoria Definición Función que asigna un número real a cada posible suceso elemental E S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 X(S ) X(S 2 ) X(S 3 ) X(S 4 ) X(S 5 ) X(S 6 ) R Esquema de sistema Activación Experimento aleatorio S Variable aleatoria X X(S) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 4/ 03

15 2.2 Variable aleatoria Histograma ˆ Frecuencia relativa ƒ r (, Δ) = R,Δ R T R,Δ Nº realizaciones en el intervalo ( Δ/2, + Δ/2] R T Nº total de realizaciones del experimento ˆ Histograma ƒ r (, Δ) R T = P( Δ/2 < X + Δ/2) ƒ r (, Δ) Δ Δ El área de cada barra centrada en k representa la frecuencia relativa ƒ r ( k, Δ), y el área total es Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 5/ 03

16 2.2 Variable aleatoria Función densidad de probabilidad El histograma, cuando Δ 0 y R T, tiende a la función densidad de probabilidad ƒ r (, Δ) Δ Δ 0, R T ƒ r (, Δ) Δ = ƒ X () Δ ƒ r (, Δ) Δ Δ 0, R T = ƒ X () Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 6/ 03

17 2.2 Variable aleatoria Función densidad de probabilidad Si el espacio muestral tiene un conjunto finito (o infinito numerable) de sucesos elementales la función densidad está formada por deltas Ejemplo: X Lanzar moneda X(cruz) = X(cara) = ƒ r (,Δ ) Δ Δ R T... 2Δ... Δ 2 R T ƒ r (,Δ 2 ) Δ 2 Δ 2Δ 2 ƒ X () = (δ( + ) + δ( )) En general N ƒ X () = P(X = k )δ( k ) k= Δ 2 ƒ X () 2 2 Δ 0 R T Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 7/ 03

18 2.2 Variable aleatoria Función densidad de probabilidad Propiedades:. 0 ƒ X ()d = P( 0 < X ) 2. ƒ X ()d = P( < X ) = 3. ƒ X () 0, ƒ X () Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 8/ 03

19 2.2 Variable aleatoria Función de distribución de probabilidad ˆ Función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X ˆ Propiedades: F X () = P(X ) = ƒ X ()d. 0 F X (), 2. ƒ () = df X() d ƒ X () 3. lim F X() = 0, lim F X () = 4. P( 0 < X ) = F X ( ) F X ( 0 ) F X () Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 9/ 03

20 2.2 Variable aleatoria Clasificación. Continuas: F X () continua con tramos estrictamente crecientes 2. Discretas: F X () escalonada 3. Mixtas: F X () discontinua con tramos estrictamente crecientes F X () 0 ƒ X () F X () ƒ X () ( 0) F X () 0 ƒ X () Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 20/ 03

21 2.2 Variable aleatoria Momentos ˆ Promedio de R T realizaciones X Lanzar moneda, X(cruz) = =, X(cara) = 2 = n (n) X RT = R T R T n= (n) = 0 ( ) = 5 X RT = ( ) X RT = X = X RT = R T = 5 N k ƒ r ( k ) k= N k P(X = k ) k= Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 2/ 03

22 2.2 Variable aleatoria Momentos ˆ Promedio de R T realizaciones ƒ r (, Δ) Δ Δ <X.25 {}}{ X RT = X RT k ƒ r ( k, Δ) = k ƒr( k, Δ) Δ Δ k= X = X RT = R T Δ 0 k= ƒ X ()d Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 22/ 03

23 2.2 Variable aleatoria Momentos ˆ Media X = E[X] =.d. = ƒ X ()d N P( = k )δ( k )d = k= N k P(X = k ) k= ˆ Valor esperado o promedio de una función de una variable aleatoria E[g(X)] =.d. = g()ƒ X ()d N g() k= P(X = k )δ( k )d = N g( k )P(X = k ) k= Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 23/ 03

24 2.2 Variable aleatoria Momentos ˆ Momento de orden n Media: E[X n ] = n ƒ X ()d.d. = N n k P(X = k) k= Valor cuadrático medio: X = E[X] X 2 = E[X 2 ] ˆ Momento central de orden n E[(X X) n ] = Varianza: σ 2 X = E[(X X)2 ] = X 2 X 2 ( X) n ƒ X ()d.d. = N ( k X) n P(X = k ) k= Desviación típica media: σ X = E[(X X) 2 ] Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 24/ 03

25 2.2 Variable aleatoria Momentos Ejemplo: X valor de la cara superior al lanzar un dado ƒ X () = 6 6 δ( k) N 6 X = E[X] = k P(X = k ) = k 6 = 7 2 = 3.5 k= X 2 = E[X 2 ] = σ 2 X = E[( X)2 ] = k= ƒ X () 6 N 2 k P(X = k) = k= 6 k= k 2 6 = 9 k= N ( k X) 2 P(X = k ) = k= 6 6 = (k 3.5) 2 6 = 2.92 k= Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 25/ 03

26 2.2 Variable aleatoria Distribuciones más usadas ˆ Uniforme ƒ X () = X = 2 2, < < 2 0, resto d 2 = 2 2( 2 ) σ 2 X = ( 2 ) = 2 ƒ X () F X () X 2 = σ 2 X + X2 = Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 26/ 03

27 2.2 Variable aleatoria Distribuciones más usadas ˆ Bernoulli ƒ X () = ( p)δ() + pδ( ) X = p X 2 = p σ 2 X = p p2 = p( p) ƒ X () F X () p = Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 27/ 03

28 2.2 Variable aleatoria Distribuciones más usadas ˆ Binomial N N ƒ X () = k p k ( p) N k δ( k) k=0 σ 2 X X = Np = ( p)np X 2 = σ 2 X + X2 = ((N )p + )Np ƒ X () F X () N = 3, p = Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 28/ 03

29 2.2 Variable aleatoria Distribuciones más usadas ˆ Gaussiana o normal ( X)2 ƒ X () = exp 2πσ 2 2σ 2 X N (X, σ 2 X ) X ƒ X () F X () X F X () = P(X ) = σ X = 4 σ X = 2 ƒ X ()d = X + erf X = Q σ X 2 X σ X Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 29/ 03

30 2.2 Variable aleatoria Transformación de variable aleatoria Transformación de variable: Y = g(x) X = g (Y), aunque no siempre existe Cálculo de la función densidad de probabilidad:. Método directo 2. Método indirecto dg (y) ƒ Y (y) = dy ƒ X(g (y)) a) F Y (y) = P(Y y) = P(g(X) y) b) ƒ Y (y) = df Y(y) dy Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 30/ 03

31 2.2 Variable aleatoria Transformación de variable aleatoria Ejemplo: Y = X + b X = g (Y) = Y b dg (y) ƒ Y (y) = dy ƒ X(g (y)) = y b ƒ X 2 ƒ X () ƒ Y (y) ( 2 ) b b 2 + b y Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 3/ 03

32 Tema 2: Señales aleatorias 2.3 Variable aleatoria bidimensional Definición Nube de puntos y frecuencia relativa Histograma bidimensional Función densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad Marginales Función densidad de probabilidad condicionada Teorema de la probabilidad total Momentos y relaciones entre variables Distribuciones más usadas Combinación lineal de variables aleatorias Teorema Central del Límite Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 32/ 03

33 2.3 Variable aleatoria bidimensional Definición Función que asigna un par de números reales a cada posible suceso elemental E S 2 S S 3 S 4 (X(S 2), Y(S 2)) (X(S ), Y(S )) (X(S 4), Y(S 4)) (-,.5) y (X(S 3), Y(S 3)) (6,2) (-4.5,-) (3.9,-2.2) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 33/ 03

34 2.3 Variable aleatoria bidimensional Definición Esquema de sistema Activación Experimento aleatorio S Variable aleatoria X, Y X(S) Y(S) Ejemplos:. Lanzar un dardo a una diana X(S) Coordenada X con respecto al centro de la diana Y(S) Coordenada Y con respecto al centro de la diana 2. Lanzar dos dados X(S) Valor del primer dado Y(S) Valor del segundo dado Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 34/ 03

35 2.3 Variable aleatoria bidimensional Nube de puntos y frecuencia relativa ˆ Nube de puntos y y ˆ Frecuencia relativa de una variable bidimensional ƒ r (, y, Δ) = N,y,Δ N T N,y,Δ Nº realizaciones X ( Δ 2, + Δ 2 ], Y (y Δ 2, y + Δ 2 ] N T Nº total de realizaciones del experimento Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 35/ 03

36 2.3 Variable aleatoria bidimensional Histograma bidimensional ˆ Histograma bidimensional Las amplitudes de las barras son ƒ r (, y, Δ)/Δ 2, por lo que el volumen de cada barra es ƒ r (, y, Δ), y el volumen total es. ƒ r (,y,δ) Δ 2 y Δ Δ y Δ Δ Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 36/ 03

37 2.3 Variable aleatoria bidimensional Función densidad de probabilidad ƒ r (, y, Δ) Δ 2 Δ 0 N T = ƒ X,Y (, y) ƒ r (,y,δ ) Δ 2 ƒ r (,y,δ 2 ) Δ 2 2 ƒ X,Y (, y) y y y Δ Δ 2 Δ Δ 2 y P( 0 < X, y 0 < Y y ) = ƒ X,Y (, y)ddy 0 y 0 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 37/ 03

38 2.3 Variable aleatoria bidimensional Función densidad de probabilidad Propiedades:. y 0 y 0 ƒ X,Y (, y)ddy = P( 0 < X, y 0 < Y y ) 2. ƒ X,Y (, y)ddy = P( < X, < Y ) = 3. ƒ X,Y (, y) 0,, y ƒ X,Y (, ry) y Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 38/ 03

39 2.3 Variable aleatoria bidimensional Función de distribución de probabilidad Función de distribución de probabilidad F X,Y (, y) = P(X, Y y) = y ƒ X,Y (, )dd ƒ X,Y (, y) F X,Y (, y) y y Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 39/ 03

40 2.3 Variable aleatoria bidimensional Función de distribución de probabilidad Función de distribución de probabilidad Propiedades: F X,Y (, y) = P(X, Y y) =. 0 F X,Y (, y) 2. lim, y lim, y F X,Y (, y) = 0, F X,Y (, y) = y ƒ X,Y (, )dd F X,Y (, y) 3. ƒ X,Y (, y) = 2 F X,Y (, y) y 4. P( 0 < X, y 0 < Y y ) = F X,Y (, y ) F X,Y (, y 0 ) F X,Y ( 0, y ) + F X,Y ( 0, y 0 ) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 40/ 03 y

41 2.3 Variable aleatoria bidimensional Marginales Funciones densidad o distribución de probabilidad de una variable independientemente del valor de la otra variable ˆ Función densidad de probabilidad marginal ƒ X () = ƒ Y (y) = ƒ X,Y (, y)dy ƒ X,Y (, y)d ˆ Función de distribución de probabilidad marginal F X () = lim y F X,Y (, y) = P(X, Y ) F Y (y) = lim F X,Y (, y) = P(X, Y y) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 4/ 03

42 2.3 Variable aleatoria bidimensional Función densidad de probabilidad condicionada Función densidad de probabilidad de X condicionada a Y = y 0 ƒ X,Y (, y 0 ) = ƒ X Y (, y 0 )ƒ Y (y 0 ) ƒ X Y (, y 0 ) = ƒ X,Y(, y 0 ) ƒ Y (y 0 ) Función densidad de probabilidad de Y condicionada a X = 0 ƒ X,Y ( 0, y) = ƒ Y X (y, 0 )ƒ X ( 0 ) ƒ Y X (y, 0 ) = ƒ X,Y( 0, y) ƒ X ( 0 ) ƒ X,Y (, y) ƒ Y X (y, 0 )ƒ X ( 0 ) ƒ Y X (y, )ƒ X ( ) y y y Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 42/ 03

43 2.3 Variable aleatoria bidimensional Teorema de la probabilidad total Supongamos un par de variables aleatorias relacionadas X e Y, y sea C uno de los N sucesos de una partición del espacio muestral de la variable aleatoria Y, de modo que C C j =, = j N C = C C 2... C N = E Y = La función densidad de otra variable X se puede obtener ƒ X () = N ƒ X C ()P(C ) = Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 43/ 03

44 2.3 Variable aleatoria bidimensional Momentos y relaciones entre variables Valor esperado o promedio de una función de una variable aleatoria bidimensional Media X = E[X] = Y = E[Y] = E[g(X, Y)] =.d. = N M k= = ƒ X,Y (, y)ddy.d. = yƒ X,Y (, y)ddy.d. = g(, y)ƒ X,Y (, y)ddy g( k, y )P( = k, y = y ) N k= = N k= = M k P(X = k, Y = y ) M y P(X = k, Y = y ) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 44/ 03

45 2.3 Variable aleatoria bidimensional Momentos y relaciones entre variables ˆ Correlación k= = X,Y = E[XY] =.d. = N M k= = yƒ X,Y (, y)ddy k y P(X = k, Y = y ) X,Y = 0 Variables ortogonales ˆ Covarianza σ X,Y =E[(X X)(Y Y)] = ( X)(y Y)ƒ X,Y (, y)ddy N M.d. = ( k X)(y Y)P(X = k, Y = y ) σ X,Y = 0 Variables incorreladas Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 45/ 03

46 2.3 Variable aleatoria bidimensional Momentos y relaciones entre variables ˆ Propiedades. X,Y = σ X,Y +X Y 3. σ2 X,Y σ2 X σ2 Y 2. 2 X,Y X2 Y 2 4. σ 2 X,Y = σ2 X σ2 Y ˆ Coeficiente de correlación si, y sólo si Y = X + b ρ X,Y = σ X,Y σ X σ Y = E[(X X)(Y Y)] E[(X X) 2 ]E[(Y Y) 2 ] y ρx,y = 0.05 y ρx,y = 0.5 y ρx,y = 0.95 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 46/ 03

47 2.3 Variable aleatoria bidimensional Momentos y relaciones entre variables ˆ Variables Independientes Variables que no tienen ninguna relación, ni determinista ni estadística. ƒ X Y (, y) = ƒ X (), ƒ Y X (, y) = ƒ Y (y) 2. ƒ X,Y (, y) = ƒ X ()ƒ Y (y), F X,Y (, y) = F X ()F Y (y) ˆ Propiedades. E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]E[h(Y)] 2. σ X,Y = E[(X X)(Y Y)] = E[X X]E[Y Y] = 0 Incorreladas 3. X,Y = E[XY] = E[X]E[Y] = X Y X=0 Ortogonales Y=0 ˆ Ejemplos ˆ Independientes - Lanzamiento de dos dados, sacar una bola de dos bombos iguales ˆ No independientes - Relación estadística: estatura y número de pie, temperatura y latitud, sacar dos bolas consecutivas de un bombo - Relación determinista: volumen de una burbuja y su radio, velocidad de salida y distancia de alcance de un proyectil Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 47/ 03

48 2.3 Variable aleatoria bidimensional Momentos y relaciones entre variables Independencia Incorrelación X=0 Ortogonalidad Y=0 Incorreladas σ X,Y = 0 Ortogonales X,Y = 0 Independientes ƒ X,Y (, y) = ƒ X ()ƒ Y (y) X = 0 ó Y = 0 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 48/ 03

49 2.3 Variable aleatoria bidimensional Distribuciones más usadas ˆ Gaussiana bidimensional (variables independientes) ƒ X,Y = ( X) 2 exp 2πσ X σ Y 2σ 2 + X ƒ X,Y (, y) y (y Y)2 = ƒ X () ƒ Y (y) 2σ 2 Y σ 2 X = 0.2, σ2 Y = 0.6 X = Y = 0. Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 49/ 03

50 2.3 Variable aleatoria bidimensional Combinación lineal de variables aleatorias Variable aleatoria suma: Z = X + Y ˆ Función densidad de probabilidad Método indirecto F Z (z) = P(Z z) = P(X + Y z) = P( X, Y z X, ) Si X e Y no son independientes el cálculo es complicado, pero si son independientes, se puede demostrar que F Z (z) = ƒ ()F Y (z )d ƒ Z (z) = ƒ X (z) ƒ Y (z) ˆ Media ˆ Varianza Z = E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] = X + Y σ 2 Z = E[(Z Z)2 ] = E[((X X) + (Y Y)) 2 ] = σ 2 X + σ2 Y + 2σ X,Y Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 50/ 03

51 2.3 Variable aleatoria bidimensional Combinación lineal de variables aleatorias Ejemplo: Z = X + Y X, Y Lanzamiento de una moneda (cruz, cara ) 2 ƒ X () 2 2 ƒ Y (y) y 4 ƒ Z (z) z Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 5/ 03

52 2.3 Variable aleatoria bidimensional Combinación lineal de variables aleatorias Variable aleatoria combinación lineal Z = N k X k k= ˆ Función densidad de probabilidad (X k independientes) ƒ Z (z) = z ƒ X z 2 ƒ X 2... z 2 N ƒ X N N ˆ Media ˆ Varianza σ 2 Z = E[(Z Z)2 ] = Z = E[Z] = N k X k k= N 2 k σ2 + X k k= N n= N m=, m =n n m σ Xn,X m Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 52/ 03

53 2.3 Variable aleatoria bidimensional Combinación lineal de variables aleatorias Ejemplo: Z N = N X k N k= X k variables independientes y uniformes en el intervalo [ A 2, A 2 ] ƒ Xk () 2 A ƒ Z2 (z)... A... A 2 9 4A A 2 ƒ Z3 (z) 8 3A ƒ Z4 (z) A 2 A 2 z A 2 A 2 z A 2 A 2 z Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 53/ 03

54 2.3 Variable aleatoria bidimensional Teorema Central del Límite ˆ Definición formal Sea la variable aleatoria Z N = N N X k k= donde X k son variables independientes e idénticamente distribuidas (iid), de media cero (X k = 0) y varianza σ 2 X El Teorema Central del Límite afirma que Z N (0, σ 2 X ) ˆ Definición general La suma de un número elevado de variables aleatorias independientes, si ninguna tiene una varianza mucho mayor que las demás, tiende a distribuirse aproximadamente como una variable gaussiana Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 54/ 03

55 2.3 Variable aleatoria bidimensional Teorema Central del Límite Ejemplo de suma de variables aleatorias ƒ Xk () Z N = N N X k k= ƒ Z4 (z) 2 σ 2 X = 3 2 N (0, σ 2 X ) N (0, σ 2 X ) ƒ Z9 (z) ƒ Z6 (z) z N (0, σ 2 X ) N (0, σ 2 X ) z Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 55/ 03 z

56 Tema 2: Señales aleatorias 2.4 Análisis de señales deterministas Caracterización de señales deterministas Promedios temporales Correlación Autocorrelación Potencia de la suma Transformada de Fourier Densidad espectral de potencia o energía Sistemas lineales Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 56/ 03

57 2.4 Análisis de señales deterministas Caracterización de señales deterministas ˆ Funciones para caracterizar señales deterministas Caracterización Total Tiempo Frecuencia (t), [n] T F X(ƒ ), X(ƒ ) Caracterización Parcial T F R (τ), R [n] S (ƒ ), S (ƒ ) ˆ ˆ ˆ ˆ (t), [n] Expresiones analíticas de señales en el tiempo X(ƒ ), X(ƒ ) Expresiones analíticas de señales en frecuencia R (τ), R [n] Autocorrelación determinista S (ƒ ), S (ƒ ) Densidad espectral de potencia o energía Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 57/ 03

58 2.4 Análisis de señales deterministas Promedios temporales Definición: ˆ Para señales de energía: < (t) >= ˆ Para señales de potencia: (t)dt, < [n] >= [n] n= T/2 < (t) >= lim (t)dt, T T T/2 < [n] >= lim N 2N + N [n] n= N ˆ Para señales de potencia periódicas: < (t) >= T0 (t)dt, T 0 0 < [n] >= N 0 N 0 n=0 [n] Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 58/ 03

59 2.4 Análisis de señales deterministas Promedios temporales Propiedades: ˆ Para señales de energía: ˆ < (t) >= X(ƒ ) ƒ =0, < [n] >= X(ƒ ) ƒ =0 ˆ Energía: < 2 (t) >= 2 (t)dt, < 2 [n] >= 2 [n] n= ˆ Para señales de potencia: ˆ Potencia: < 2 T/2 (t) >= lim 2 (t)dt, < 2 N [n] >= lim 2 [n] T T T/2 N 2N + n= N ˆ Para señales de potencia periódicas: ˆ < (t) >= X 0, < [n] >= X 0 (coeficiente espectral) ˆ Potencia: < 2 (t) >= T0 2 (t)dt, T 0 0 < 2 [n] >= N 0 N 0 n=0 2 [n] Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 59/ 03

60 2.4 Análisis de señales deterministas Promedios temporales Ejemplo: Señal de potencia periódica Ejemplo: (t) = A cos(ω 0 t + ϕ) < (t) >= T0 /2 (t)dt = T0 /2 A cos(ω 0 t + ϕ)dt = 0 T 0 T 0 T 0 /2 Señal de energía (α > 0) < y(t) >= T 0 /2 < 2 (t) >= P = A2 y(t) = e αt (t) y(t)dt = 0 2 e αt dt = e αt α < y 2 (t) >= E y = (2α) 0 = α Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 60/ 03

61 2.4 Análisis de señales deterministas Correlación Medida de la diferencia de dos señales (t) (t) 2 (t) t t e (t) t t e 2 (t) t < e 2 (t) >= < ((t) (t)) 2 >= < 2 (t) > + < 2 (t) > 2 < (t) (t) >= 2 (t)dt + }{{} E X 2 (t)dt 2 }{{} E X (t) (t)dt }{{} Correlación Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 6/ 03

62 2.4 Análisis de señales deterministas Correlación Correlación R,y (τ) =< (t)y(t τ) >= (t)y(t τ)dt = (τ) y( τ) (t) y(t) 2t... 0 t t 0 t t R,y (τ) t 0 τ Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 62/ 03

63 2.4 Análisis de señales deterministas Autocorrelación ˆ Definición R (τ) =< (t)(t τ) >, R [m] =< [n][n m] > ˆ Descripción Medida de la similitud de una señal consigo misma desplazada. Conserva información sobre del ritmo de variación de la señal con el tiempo, pero se pierde la información de fase ˆ Propiedades. R (τ) = R ( τ) función par 2. R (0) =< 2 (t) >= Energía o Potencia de (t) 3. R (τ) R (0) 4. d (t) = (t T) R d (τ) = R (τ) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 63/ 03

64 2.4 Análisis de señales deterministas Autocorrelación ˆ Ejemplo: (t) = A cos(2πƒ 0 t + ϕ) R (τ) = T0 /2 A 2 cos(2πƒ 0 t + ϕ) cos(2πƒ 0 (t τ) + ϕ)dt = T 0 T 0 /2 T0 /2 A 2 T 0 T 0 /2 A 2 2 (cos(4πƒ 0t 2πƒ 0 τ + 2ϕ) + cos(2πƒ 0 τ)) dt = 2 cos(2πƒ 0τ) y(t) = cos(4πƒ 0 t 2πƒ 0 τ + 2ϕ) cos( 2πƒ 0 τ + 2ϕ) T0 2 T 0 2 t Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 64/ 03

65 2.4 Análisis de señales deterministas Potencia de la suma Sea z(t) una señal determinista de potencia tal que z(t) = (t) + y(t) La potencia de la señal z(t) es P Z =R z (0) =< z 2 (t) >=< ((t) + y(t)) 2 >= < 2 (t) > + < y 2 (t) > +2 < (t)y(t) >= P + P y + 2R,y (0) Si correlación cruzada de las señales es cero (señales ortogonales) entonces R,y (0) = 0 P z = P + P y Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 65/ 03

66 2.4 Análisis de señales deterministas Transformada de Fourier ˆ Tiempo continuo X(ω) = X(ƒ ) = (t)e jωt dt, (t) = 2π (t)e j2πƒ t dt, (t) = ˆ Tiempo discreto X(Ω) = [n]e jωn, [n] = 2π X(ƒ ) = n= n= ˆ Teorema de muestreo [n]e j2πƒ n, [n] = [n] = c (nt m ) X(ƒ ) = k= X(ω)e jωt dω X(ƒ )e j2πƒ t dƒ, π/2 X(Ω)e jωn dω π/2 /2 ƒ = ω 2π X(ƒ )e j2πƒ n dƒ, /2 ƒ m X c (ƒ m (ƒ k)), ƒ = ƒ ƒ m ƒ = Ω 2π Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 66/ 03

67 2.4 Análisis de señales deterministas Densidad espectral de potencia o energía ˆ Definición S (ƒ ) = T F{R (τ)} = R (τ)e j2πƒ τ dτ S (ƒ ) = T F{R [m]} = R [m]e j2πƒ m n= ˆ Propiedades:. S (ƒ ) es real, par y positiva ƒ S (ƒ )dƒ = Potencia o energía de (t) en la banda [ƒ, ƒ 2 ] ƒ 3. S (ƒ )dƒ = Potencia o energía total de (t) 4. S (ƒ ) = X(ƒ ) 2 para señales de energía 5. S (ƒ ) = k 2 δ(ƒ kƒ 0 ) para señales periódicas k= Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 67/ 03

68 2.4 Análisis de señales deterministas Sistemas lineales Caracterización de la salida de un sistema lineal (t) Sistema LTI h(t) y(t) y(t) = (t) h(t) ˆ Autocorrelación a la salida de un sistema lineal R y (τ) = R (τ) h(τ) h( τ) ˆ Densidad espectral de potencia o energía S y (ƒ ) = T F{R y (τ)} = T F{R (τ) h(τ) h( τ)} = S (ƒ ) H(ƒ ) 2 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 68/ 03

69 Tema 2: Señales aleatorias 2.5 Señales aleatorias Caracterización de señales aleatorias Definición Caracterización estadística Señales estacionarias Señales ergódicas Correlación y covarianza Relaciones entre señales aleatorias Potencia de la suma Densidad Espectral de potencia Sistemas lineales Ruido: modelo AWGN Cuantificación Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 69/ 03

70 2.5 Señales aleatorias Caracterización de señales aleatorias ˆ Funciones para caracterizar señales aleatorias Caracterización Total (deterministas) Caracterización Parcial (deterministas y aleatorias) Tiempo Frecuencia (t), [n] T F X(ƒ ), X(ƒ ) R (τ), R [n] R X (τ), R X [n] T F S (ƒ ), S (ƒ ) S X (ƒ ), S X (ƒ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (t), [n] Expresiones analíticas de señales en el tiempo X(ƒ ), X(ƒ ) Expresiones analíticas de señales en frecuencia R (τ), R [n] Autocorrelación determinista S (ƒ ), S (ƒ ) Densidad espectral de potencia o energía R X (τ), R X [n] Autocorrelación estadística S X (ƒ ), S X (ƒ ) Densidad espectral de potencia estadística Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 70/ 03

71 2.5 Señales aleatorias Definición Conjunto de señales (realizaciones) que resultan de un experimento aleatorio Realizaciones (t) 2 (t) 3 (t) t t t X(S(t)) S(t) Señ Aetor Arranque E.A. Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 7/ 03

72 2.5 Señales aleatorias Definición Conjunto de variables aleatorias asociadas a cada instante de tiempo (t) t t 2 t N 2 (t) 3 (t) t t t X(S(t ))... X(S(t 2 ))... X(S(t N ))... Variables Aleatorias S(t ) S(t 2 ) S(t 3 ) Arranque E.A.(t )... E.A.(t 2 )... E.A.(t N ) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 72/ 03

73 2.5 Señales aleatorias Caracterización estadística ˆ Caracterización total Función densidad de probabilidad conjunta de todas las variables. Es muy difícil de obtener y casi siempre inmanejable. ˆ Caracterización parcial Basada en dos estadísticos: media y autocorrelación ˆ Media Función cuyo valor para cada instante t es la media estadística de la variable correspondiente ˆ X(t) = E[X(t)] = ƒ X(t) ()d, X[n] = E[X[n]] = ƒ X[n] ()d Autocorrelación Función cuyo valor para cada par de instantes t y t 2 es la correlación estadística de las variables correspondientes R X (t, t 2 ) = E[X(t )X(t 2 )] = 2 ƒ X(t ),X(t 2 )(, 2 )d d 2 R X [n, n 2 ] = E[X[n ]X[n 2 ]] = 2 ƒ X[n ],X[n 2 ](, 2 )d d 2 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 73/ 03

74 2.5 Señales aleatorias Caracterización estadística ˆ Media (t) X(t 0 ) = E[X(t 0 )] 2 (t) 3 (t) t t t 0 t ˆ Autocorrelación R X (t, t 2 ) = E[X(t )X(t 2 )] (t) 2 (t) 3 (t) t t t t 2 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 74/ 03 t

75 2.5 Señales aleatorias Caracterización estadística Ejemplo: X(t) = A cos(2πƒ 0 t + ) donde es una variable aleatoria uniforme en el intervalo [ π, π] (t), 2 (t), 3 (t)... t t 2 t N... t A cos(2πƒ 0 t + )... A cos(2πƒ 0 t 2 + )... A cos(2πƒ 0 t N + ) Arranque E.A. Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 75/ 03

76 2.5 Señales aleatorias Caracterización estadística Ejemplo: ˆ Media X(t) = E[X(t)] = E[A cos(2πƒ 0 t+)] = π A cos(2πƒ 0 t+ϕ) π 2π dϕ = 0 s(t) = cos(2πƒ 0 t + ϕ) cos(2πƒ 0t)... π π... ϕ Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 76/ 03

77 2.5 Señales aleatorias Caracterización estadística Ejemplo: ˆ Autocorrelación R X (t, t 2 ) = E[X(t )X(t 2 )] = E[A 2 cos(2πƒ 0 t + ) cos(2πƒ 0 t 2 + )] = = π A 2 cos(2πƒ 0 t + ϕ) cos(2πƒ 0 t 2 + ϕ) π 2π dϕ π A 2 π 4π cos(2πƒ 0(t + t 2 ) + 2ϕ)dϕ + = A2 2 cos(2πƒ 0(t 2 t )) π A 2 π 4π cos(2πƒ 0(t 2 t ))dϕ s(t) = cos(2πƒ 0 (t + t 2 ) + 2ϕ) cos(2πƒ 0(t + t 2)) π π ϕ Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 77/ 03

78 2.5 Señales aleatorias Caracterización estadística Ejemplo: X[n], señal discreta en tiempo cuyas variables aleatorias son independientes y uniformes en el intervalo [ A, A]. [n] 2 [n] 3 [n] 4 [n] 5 [n] X[n 0 ] X[n ] n n n n n A A A A A A A A A A Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 78/ 03

79 2.5 Señales aleatorias Caracterización estadística Ejemplo: X[n], señal discreta en tiempo cuyas variables aleatorias son independientes y uniformes en el intervalo [ A, A]. ˆ Media ˆ Autocorrelación X[n] = E[X[n]] = ƒ X[n] ()d = R X [n, n 2 ] = E[X[n ]X[n 2 ]] = A2 Hay que distinguir dos casos A A 2A d = 0 3 δ[n n 2 ] ˆ n = n 2 R X [n, n 2 ] = E[X[n ]X[n 2 ]] = E[X[n ]]E[X[n 2 ]] = 0 ˆ n = n 2 A R X [n, n ] = E[X 2 [n ]] = 2 ƒ X[n ]()d = 2 3 A d = = A2 A 2A 6A 3 A Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 79/ 03

80 2.5 Señales aleatorias Señales estacionarias ˆ Definición Señal cuyos parámetros estadísticos no cambian ante cualquier desplazamiento temporal. Sus realizaciones son señales de potencia ˆ Ejemplos (realizaciones significativas): (t), 2 (t), 3 (t) y (t), y 2 (t), y 3 (t) t t z (t), z 2 (t), z 3 (t) t Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 80/ 03

81 2.5 Señales aleatorias Señales estacionarias ˆ Estacionariedad en sentido amplio Para ser estacionaria en sentido amplio debe cumplir dos requisitos: ˆ Estacionaria en la media La media es constante ˆ X(t) = E[X(t)] = K, t, X[n] = E[X[n]] = K, n Estacionaria en la autocorrelación La autocorrelación sólo depende de la diferencia de instantes de tiempo ˆ R X (t, t 2 ) = R X (t, t + τ) = E[X(t )X(t + τ)] = R X (τ), t R X [k, k 2 ] = R X [k, k + n] = E[X[k ]X[k + n]] = R X [n], k Ejemplo: X(t) = A cos(2πƒ 0 t + ), donde es uniforme en el intervalo [ π, π] X(t) = 0, R X (t, t 2 ) = R X (t, t + τ) = A2 2 cos(2πƒ 0τ) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 8/ 03

82 2.5 Señales aleatorias Señales ergódicas ˆ Definición de señal ergódica Señal estacionaria para la que el promedio temporal de cualquier realización es igual al promedio estadístico (t) 2 (t) 3 (t) 4 (t) 5 (t) E[X(t 0 )] E[X(t )] < (t) > t < 2 (t) > t < 3 (t) > t < 4 (t) > t < 5 (t) > t Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 82/ 03

83 2.5 Señales aleatorias Señales ergódicas ˆ Definición de señal ergódica Señal estacionaria para la que el promedio temporal de cualquier realización es igual al promedio estadístico ˆ Señales ergódicas en sentido amplio ˆ Ergódica en cuanto a la media < k (t) >= X(t), k ˆ Ergódica en cuanto a la autocorrelación R k (τ) =< k (t) k (t τ) >= R X (τ), k ˆ Concepto de ergodicidad Cualquier realización es representativa de la señal, contiene toda la variabilidad de la señal aleatoria ˆ Propiedad importante R X (0) =< 2 k (t) >= P k, k Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 83/ 03

84 2.5 Señales aleatorias Señales ergódicas Ejemplo: X(t) = A cos(ω 0 t + ) donde es una variable uniforme en el intervalo ( π, π] ˆ Ergódica en cuanto a la media < k (t) >= 0 = X(t) ˆ Ergódica en cuanto a la autocorrelación R (τ) = A2 2 cos(ω 0τ) = R X (τ) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 84/ 03

85 2.5 Señales aleatorias Señales ergódicas Ejemplo: X(t) = A cos(ω 0 t + ), donde A y son variables independientes y uniformes en los intervalo [0, ] y ( π, π] respectivamente (t), 2 (t), 3 (t) t t t 2 t N A cos(2πƒ 0 t + )... A cos(2πƒ 0 t 2 + )... A cos(2πƒ 0 t N + ) Arranque E.A., A Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 85/ 03

86 2.5 Señales aleatorias Señales ergódicas ˆ Ergódica en cuanto a la media X(t) =E[X(t)] = E[A cos(ω 0 t + )] = π π < k (t) >= T 0 T0 /2 0 cos(ω 0 t + ϕ) T 0 /2 2π dϕd = 0 k cos(ω 0 t + ϕ k )dt = 0 < k (t) >= X(t) = 0 es ergódica en cuanto a la media Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 86/ 03

87 2.5 Señales aleatorias Señales ergódicas ˆ Ergódica en cuanto a la autocorrelación R X (τ) = R X (t, t + τ) = E[X(t )X(t + τ)] = π 2 0 π π 2 0 R k (τ) = π cos(ω 0 τ) T 0 /2 T 0 /2 2π cos(ω 0t + ϕ) cos(ω 0 (t + τ) + ϕ)dϕd = 4π (cos(ω 0(2t + τ) + 2ϕ) + cos(ω 0 τ)) dϕd = d = 6 cos(ω 0τ) 2 k cos(ω 0t+ϕ k ) cos(ω 0 (t+τ)+ϕ k )dt = 2 k 2 cos(ω 0τ) R k (τ) = R X (τ) no es ergódica en la autocorrelación Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 87/ 03

88 2.5 Señales aleatorias Correlación y covarianza Para analizar la relación estadística de dos señales se suelen usar dos funciones: la correlación y la covarianza. Su definición para señales estacionarias es ˆ Correlación ˆ Covarianza R X,Y (τ) = E[X(t + τ)y(t)] C X,Y (τ) = E[(X(t + τ) X(t))(Y(t) Y(t))] Ambos parámetros están relacionados R X,Y (τ) = C X,Y (τ) + X(t) Y(t) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 88/ 03

89 2.5 Señales aleatorias Relaciones entre señales aleatorias ˆ Independencia Si las variables aleatorias de X(t) son independientes de las variables aleatorias de Y(t) ˆ Ortogonalidad ˆ En sentido estricto: R X,Y (τ) = 0, τ ˆ En sentido amplio: R X,Y (0) = 0 ˆ Incorrelación ˆ En sentido estricto: C X,Y (τ) = 0, τ ˆ En sentido amplio: C X,Y (0) = 0 Independencia Incorrelación X(t)=0 Ortogonalidad Y(t)=0 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 89/ 03

90 2.5 Señales aleatorias Potencia de la suma Sea Z(t) una señal aleatoria estacionaria tal que Z(t) = X(t) + Y(t) La potencia de la señal Z(t) es P Z =R Z (0) = E[Z 2 (t)] = E[(X(t) + Y(t)) 2 ] = E[X 2 (t)] + E[Y 2 (t)] + 2E[X(t)Y(t)] = R X (0) + R Y (0) + 2R X,Y (0) = P X + P Y + 2R X,Y (0) Si las señales son ortogonales entonces R X,Y (0) = 0 P Z = P X + P Y Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 90/ 03

91 2.5 Señales aleatorias Densidad Espectral de potencia ˆ Definición S X (ƒ ) = T F{R X (τ)} = S X (ƒ ) = T F{R X [n]} = R X (τ)e j2πƒ τ dτ n= ˆ Propiedades. S X (ƒ ) R y S X (ƒ ) 0 2. S X (ƒ ) = S X ( ƒ ) 3. S X (ƒ )dƒ = R X (0) = Potencia promedio ƒ2 R X [n]e j2πƒ n 4. 2 S X (ƒ )dƒ = Potencia promedio en la banda [ƒ, ƒ 2 ] ƒ 5. Señales estacionarias S X (ƒ ) = E[S k (ƒ )] 6. Señales ergódicas S X (ƒ ) = S k (ƒ ) k Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 9/ 03

92 2.5 Señales aleatorias Sistemas lineales Caracterización de la salida de un sistema lineal X(t) Sistema LTI h(t) Y(t) Y(t) = X(t) h(t) En general es complicado, pero para señales estacionarias: ˆ Autocorrelación a la salida de un sistema lineal R Y (τ) = R X (τ) h(τ) h( τ) ˆ Densidad espectral de potencia S Y (ƒ ) = T F{R Y (τ)} = T F{R X (τ) h(τ) h( τ)} = S X (ƒ ) H(ƒ ) 2 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 92/ 03

93 2.5 Señales aleatorias Ruido: modelo AWGN AWGN (Aditive White Gaussian Noise) Señal ergódica, densidad espectral de potencia constante y distribución de sus variables gaussianas ƒr (n,δ) Δ n n (t) t ƒr (,Δ) Δ [n] n Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 93/ 03

94 2.5 Señales aleatorias Ruido: modelo AWGN Densidad espectral de potencia de la señal de ruido N(t) S N (ƒ ) N 0 / Ideal ƒ Real Autocorrelación de la señal de ruido N(t) R N (τ) Ideal Real τ Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 94/ 03

95 2.5 Señales aleatorias Ruido: modelo AWGN Densidad espectral de potencia de la señal de ruido N(t) S N (ƒ ) N 0 / P N = S N (ƒ )dƒ = N 0 /2dƒ = Densidad espectral de potencia de la señal de ruido filtrado W PB (t) S WPB (ƒ ) N 0 / B B B P WPB = S WPB (ƒ )dƒ = N 0 /2dƒ = N 0 B B Ideal ƒ Real ƒ Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 95/ 03

96 2.5 Señales aleatorias Ruido: modelo AWGN Ancho de banda equivalente de ruido B eq S WPB (ƒ ) N 0 / ƒ P WPB = B eq S WPBeq (ƒ ) N 0 /2 S WPB (ƒ )dƒ = P WPBeq = N 0 B eq P WPB = P WPBeq B eq = 2 B eq N 0 /2 H(ƒ ) 2 dƒ H(ƒ ) 2 dƒ Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 96/ 03 ƒ

97 2.5 Señales aleatorias Ruido: modelo AWGN Muestreo de ruido N(t) Filtro W PB (t) Muestreo W[n] Antialiasing ƒ m Potencia W[n] P W = N 0 ƒ M /2 Se puede comprobar que W[n] = W PB (nt m ) R W [n] = R WPB (nt m ) Usando la relación del teorema de muestreo S W (ƒ ) = ƒ m S WPB (ƒ m (ƒ k)) k= Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 97/ 03

98 2.5 Señales aleatorias Ruido: modelo AWGN S WPB (ƒ ) N 0 / P WPB = Usando, S W (ƒ ) = ƒ m /2 ƒ m /2 ƒm /2 S WPB (ƒ )dƒ = N 0 /2dƒ = N 0 ƒ m /2 ƒ m /2 ƒ m S WPB (ƒ m (ƒ k)) k= S W (ƒ ) N 0 ƒ m /2 ƒ /2 /2 ƒ /2 /2 P W = S W (ƒ )dƒ = /2 N 0 ƒ m /2dƒ = N 0 ƒ m /2 /2 Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 98/ 03

99 2.5 Señales aleatorias Ruido: modelo AWGN Densidad espectral de potencia de la señal de ruido W[n] S W (ƒ ) N 0 ƒ m / /2 /2 ƒ Autocorrelación de la señal de ruido W[n] R W [n] N 0 ƒ m / n Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 99/ 03

100 2.5 Señales aleatorias Cuantificación Convertidor A/D (t) Muestreo [n] Cuantificador c [n] (t) t [n] n c [n] n Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 00/ 03

101 2.5 Señales aleatorias Cuantificación Función entrada/salida c MN MAX Δ Δ = MAX MN 2 B [n] c [n] n Δ/ Δ/2 e[n] n n Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 0/ 03

102 2.5 Señales aleatorias Cuantificación Función densidad de probabilidad del error Δ ƒ r (e, Δ) Δ Δ/2 Δ/2 Media y varianza E[n] = ƒ r (e, Δ) lim = ƒ E (e) Δ 0, Δ N T e eƒ E (e)de = Δ/2 σ 2 E[n] = E2 [n] = e 2 e3 Δ/2 de = Δ/2 Δ 3Δ Δ/2 Δ ƒ E (e) Δ/2 Δ/2 Δ/2 e e2 Δ/2 de = = 0 Δ/2 Δ 2Δ Δ/2 e = Δ2 2 = ( MAX MN) B Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 02/ 03

103 2.5 Señales aleatorias Cuantificación Relación señal a error de cuantificación SER = P X = P X P E R E [0] = P X σ 2 = P X Δ 2 E 2 SER (db) = 0 log PX P E = = 6B + 0 log 2 P X MAX ( MAX MN ) 2 = MN X[n] = 0 P X 2 22B ( MAX MN ) 2 P X ( MAX MN ) = 3σ2 X 2 = FC = MAX = 3 σ MAX X FC 2 SER (db) = 6B 20 log(fc) + 0 log(3) = 6B 20 log(fc) Grado Ing. Sist. Telecomunicación Tema 2: Señales aleatorias (Sistemas de Comunicaciones) 03/ 03