PRIMER EXAMEN EJERCICIOS RESUELTOS

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1 MATEMÁTICAS II (G. I. T. I.) PRIMER EXAMEN EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO. Dada la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r θ para 0 θ, se pide: () Deermina la ecuación de la reca angene a la curva en el puno que se obiene para el ángulo θ /. () Esboza la curva dibujando, en paricular, la reca angene obenida en el aparado anerior. (3) Encuenra las coordenadas (x, y) del puno más alo de la curva. Para ello deberás resolver una ecuación usando el méodo de Newon; hazlo probando en primer lugar que la solución se obiene para un ángulo θ en el inervalo [/, 3/4]; luego aplica adecuadamene el Teorema de Convergencia Global rabajando con una precisión de dos cifras decimales. Solución. () Tenemos r(θ) θ para 0 θ, así que las coordenadas caresianas vienen dadas por x(θ) r(θ) cos(θ) θ cos(θ), θ y(θ) r(θ) sen(θ) sen(θ). El puno de la curva para θ / iene abscisa x(/) 0 y ordenada y(/) /4; es decir, es el puno P (0, /4). Sabemos que la pendiene de la reca angene viene dada por que para θ / nos da m(θ) y (θ) x (θ) r (θ) sen(θ) + r(θ) cos(θ) r (θ) cos(θ) r(θ) sen(θ) m(/) / /4 4. θ θ sen(θ) + cos(θ), θ θ cos(θ) sen(θ) Poar ano, la ecuación de la reca angene a la curva en el puno P (0, /4) es y 4 4 (x 0) 4y + 4x. () Para esbozar la curva, como r(θ) θ lo enemos definido para 0 θ, la curva sólo da una vuela. En esa vuela, r(θ) es una función creciene de θ, así que la curva es una espiral que se va abriendo. Para hacer el esbozo basará con hallar los punos de core con los ejes coordenados. Calculamos los valores de los radios r(0) 0, r(/) /4, r(), r(3/) 9/4, r() 4 y obenemos los punos (0, 0), (0, /4), (, 0), (0, 9/4), (4, 0). La curva r(θ) θ (en azul) y la reca angene en P (0, /4) (en rojo).

2 Maemáicas II (G. I. T. I.) (3) En el dibujo de la curva hemos indicado en verde el puno más alo de la curva A (x, y). Si observamos esa pare del dibujo más cerca y razamos las recas que corresponden a θ / y θ 3/4, que son las recas x 0 e y x respecivamene, vemos que, como dice la indicación del enunciado, el ángulo polar de A parece esar en [/, 3/4], cerca de 3/4.36 radianes. El puno más alo A (en verde) y las recas x 0 e y x (en violea) Pueso que el puno A (x, y) es el puno más alo de la curva, su ordenada debe ser el máximo global de y y(θ) en el inervalo [/, ]. Para hallar el máximo global de y y(θ) igualamos la derivada a cero y (θ) 0, obeniendo la ecuación θ θ sen(θ) + cos(θ) 0 que, como θ 0 no proporciona el máximo buscado, se reduce a sen(θ) + θ cos(θ) 0. Para hallar el puno más alo debemos, enonces, calcular los ceros de la función g(θ) sen(θ) + θ cos(θ) en el inervalo [/, ]. Evaluando en los exremos enemos que g(/) y g(), luego g iene algún cero en dicho inervalo. Por oro lado, pueso que g (θ) cos(θ) + cos(θ) θ sen(θ) 3 cos(θ) θ sen(θ) < 0 para θ [/, ], la función g(θ) es esricamene decreciene en el inervalo [/, ] y sólo endrá un cero. Ese cero único es el ángulo polar del puno más alo A que buscamos. Como dice la indicación, resolveremos esa ecuación usando el méodo de Newon rabajando con una precisión de dos cifras decimales en el inervalo [/, 3/4]. Veamos si se cumplen las condiciones del Teorema de Convergencia Global: (i) g(/) > 0 y, por oro lado, g(3/4) 3 4 ( 3/8) 0.8 < 0, luego el signo de g cambia en los exremos del inervalo. (ii) Como hemos viso, g (θ) 3 cos(θ) θ sen(θ) < 0 para θ [/, ]. (iii) Ahora enemos que analizar el signo de g (θ) 3 sen(θ) sen(θ) θ cos(θ) 4 sen(θ) θ cos(θ). Evaluando en los exremos, g (/) 4 y g (3/4) ( + 3/8) < 0. Eso no garaniza que g sea negaiva en odo el subinervalo; ahora bien, si observamos que la derivada de g cumple g (θ) 4 cos(θ) cos(θ) + θ sin(θ) > 0 para θ [/, 3/4], obenemos que g es esricamene creciene y, por ano, no cambia de signo en [/, 3/4]; siempre es negaiva. En consecuencia, g cumple las condiciones del Teorema de Convergencia Global del Méodo de Newon y ese resulado nos dice que si empezamos la ieración en el exremo en el que g y g ienen el mismo signo, negaivo en ese caso, la sucesión será convergene al único cero de g en [/, 3/4]. Por ano, consruimos la sucesión ierada θ 0 3/4.36 θ n+ θ n g(θ n) g (θ n ) θ n sen(θ n) + θ n cos(θ n ) 3 cos(θ n ) θ n sen(θ n ).

3 y obenemos, rabajando con dos cifras decimales, Ejercicios resuelos del primer examen del curso θ.36, θ.9, θ 3.9, así que deenemos las ieraciones y obenemos que el valor más alo de y(θ) se obiene, con una precisión de dos cifras decimales, para θ.9. Las coordenadas del puno A son, enonces, x (.9) cos(.9)/ 0.35 e y (.9) sen(.9)/ 0.40; es decir, A ( 0.35, 0.40). Ora opción hubiera sido ransformar la ecuación en sen(θ) + θ cos(θ) 0 an(θ) + θ 0. Enonces, para hallar el puno más alo debemos calcular los ceros de la función g(θ) an(θ) + θ en el inervalo [/, ]. Evaluando en los exremos enemos que g(θ) y g(), luego g iene θ (/) algún cero en dicho inervalo. Por oro lado, pueso que g (θ) ( + an (θ) ) an (θ) > 0 para θ (/, ], la función g(θ) es esricamene creciene en el inervalo (/, ] y sólo endrá un cero. Ese cero único es el ángulo polar del puno más alo A que esamos buscando. De hecho, si usamos la indicación, obenemos g(3/4) an(3/4) + 3/4 + 3/ > 0 así que, efecivamene, el cero esá en el inervalo [/, 3/4]. Para obviar la asínoa verical en /, rabajamos en un inervalo algo más pequeño. Como /.57, omamos como exremo inferior, por ejemplo, el valor.8, y rabajamos en el inervalo [.8, 3/4]. Veamos si se cumplen las condiciones del Teorema de Convergencia Global: (i) g(.8) 6.77 < 0 y g(3/4) 0.36 > 0, luego el signo de g cambia en los exremos del inervalo. (ii) Como hemos viso, g (θ) 3 + an (θ) > 0 para θ [.8, 3/4]. (iii) g (θ) 4 an(θ) ( + an (θ) ) 0 para θ [.8, 3/4]. En consecuencia, g cumple las condiciones del Teorema de Convergencia Global del Méodo de Newon y ese resulado nos dice que si empezamos la ieración en el exremo en el que g y g ienen el mismo signo, negaivo en ese caso, la sucesión será convergene al único cero de g en [.8, 3/4]. Por ano, consruimos la sucesión ierada θ 0.8 θ n+ θ n g(θ n) g (θ n ) θ n an(θ n) + θ n 3 + an (θ n ). y obenemos, rabajando con dos cifras decimales, θ.97, θ.6, θ 3.7, θ 4.9, θ 5.9 así que deenemos las ieraciones y obenemos que el valor más alo de y(θ) se obiene, con una precisión de dos cifras decimales, para θ.9. Las coordenadas del puno A son, enonces, x (.9) cos(.9)/ 0.35 e y (.9) sen(.9)/ 0.40; es decir, A ( 0.35, 0.40).

4 4 Maemáicas II (G. I. T. I.) EJERCICIO. Dada la serie de poencias (n + )3 n (x + ) n, se pide: () Deermina su radio y su inervalo de convergencia. () Deermina la función suma de la serie. Solución. () En la serie de poencias dada (n + )3 n (x + ) n (n + )3 n( x ( ) ) n el cenro es el puno c y los coeficienes son a n (n + )3 n para n,,... Para hallar el radio de convergencia calculamos a n/a n+ ; como se ha viso en los conenidos de la asignaura, si ese límie n exise, enonces su valor es el radio de convergencia: n a n a n+ n (n + )3 n n + (n + + )3n+ n (n + )3 3. Por ano, el radio de convergencia es r /3. El Teorema de Cauchy-Hadamard nos dice que la serie converge absoluamene en el inervalo (c r, c + r) ( /3, + /3) ( 4/3, /3) y diverge absoluamene en (, 4/3) y ( /3, ). Nos fala ver qué pasa en los exremos del inervalo. Para x 4/3, la serie queda (n+)3 n ( /3) n (n+)( ) n. Como el érmino general de esa serie (n+)( ) n no iende a cero, el Crierio de Divergencia de Series nos dice que la serie diverge. Análogamene, en el oro exremo x /3, la serie queda (n + )3 n (/3) n (n + ). De nuevo, como el érmino general n + no iende a cero, la serie diverge. En resumen, el inervalo de convergencia es ( 4/3, /3). () Para calcular la suma (n + )3 n (x + ) n es conveniene omar 3(x + ) y hallar s() Una vez hallada esa suma, desharemos el cambio de variable para hallar la suma como función de x. El cálculo de s() (n + ) n (n + ) n + puede hacerse de varias formas. Veamos algunas de ellas. (n + ) n. (a) Podemos fijarnos en que es una serie de ipo ariméico-geomérico y aplicar la écnica para ese ipo de series: muliplicamos por s() n n + y resamos s() s() ( (n + ) n + ) ( n n + ) n + + ( ) +, donde hemos usado que la suma de la serie geomérica n + es depejando s() obenemos s() ( ).. En consecuencia, (b) Ora manera de hacerlo es usar el resulado viso en clase que nos da la suma de la serie ariméicogeomérica n n ( ). Enonces s() (n + ) n n n + n ( ) + + ( ) ( ) ( ).

5 Ejercicios resuelos del primer examen del curso (c) Podemos manipular adecuadamene la serie para ponerla, inegrando o derivando, en érminos de la serie geomérica. Por ejemplo, si inegramos nos queda s() d k + (n + ) n d k + n+ k n + k +, donde k es una consane de inegración. Enonces, derivando con respeco a obenemos ( s() s() d) ) (k + ( ) ( ) ( ) ( ). (d) También podemos parir de n +, y derivar, obeniendo n n + Del primer érmino de esa cadena sacamos la serie que buscamos: s() n n + De cualquiera de las formas, obenemos s() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Para hallar la suma de la serie de parida, susiuimos 3(x + ) y resula ( ). (n + )3 n (x + ) n s ( 3(x + ) ) 6(x + ) 9(x + ) ( 3(x + )) 9x x 3 ( + 3x) 9x + x + 3 9x + x + 4.

6 6 Maemáicas II (G. I. T. I.) EJERCICIO 3. Calcula el siguiene límie según los valores de los parámeros a y b x sen(x) bx ( cos(x))(e a sen(x) ). Solución. Observemos en primer lugar que si a 0, enonces el denominador es idénicamene cero y no iene senido planearse la exisencia del límie, así que supondremos a 0. Para calcular el límie, que es una indeerminación del ipo 0/0, usaremos infiniésimos equivalenes y, en paricular, que si f(x) es una función analíica en 0 que cumple f(0) 0, enonces f(x) es un infiniésimo equivalene al érmino principal de su desarrollo en serie de Maclaurin. Para el numerador, usamos el desarrollo en serie de Maclaurin de la función sen(x): ) x sen(x) bx x (x x3 3! + bx ( b)x x4 6 + Por ano, x sen(x) bx es un infiniésimo equivalene a ( b)x si b, mienras que si b enonces es un infiniésimo equivalene a x 4 /6. Para el denominador, usamos en primer lugar el desarrollo en serie de Maclaurin de la función cos(x): cos(x) ) ( x! + x4 4! x! x4 4! +, luego cos(x) es un infiniésimo equivalene a x /. Para el oro facor, hemos esudiado en los conenidos de la asignaura que e a sen(x) es un infiniésimo equivalene a a sen(x) que, a su vez, es equivalene a ax. Si no uilizamos el resulado que afirma que e a sen(x) es un infiniésimo equivalene a a sen(x), ambién podemos rabajar usando las series de Maclaurin. Como e x + x + x! + a sen(x) ax ax3 3! +, usando la propiedad de composición enemos e a sen(x) + (ax ax3 3! ) (ax ax3 3! + +! ) + + ax + a x +, luego e a sen(x) es un infiniésimo equivalene a ax. En resumen, el denominador ( cos(x))(e a sen(x) ) es un infiniésimo equivalene a x (ax) a x 4. En consecuencia, si b enemos mienras que si b, enonces x sen(x) bx ( cos(x))(e a sen(x) ) ( b)x a x 4 / x sen(x) bx ( cos(x))(e a sen(x) ) ( b) a x / ; x 4 /6 a x 4 / 3a.

7 Ejercicios resuelos del primer examen del curso EJERCICIO 4. Halla la solución del siguiene problema de valor inicial y comprueba el resulado final obenido y y cos() sen() con y(). Indicación: La primiiva que debe calcularse es inmediaa y ambién puede obenerse mediane inegración por pares. Solución. Escribimos la ecuación diferencial como y y cos() sen() y vemos que se raa de una ecuación diferencial lineal de primer orden y + p()y q() con p() / y q() cos() sen(). Para hallar la solución general, en primer lugar enconraremos la solución general de la ecuación homogénea asociada y (/)y 0 y después una solución paricular de la ecuación complea por el méodo de variación de los parámeros. Pueso que p() /, calculamos su primiiva P () p() d ( ) d log( ) log ( ), con lo que, según lo viso en clase, la solución general de la ecuación homogénea (en un inervalo que no conenga al cero) es ( ) y (h) () ce P () ce log( ) ce log() c siendo c una consane real arbiraria. Si no recordamos esa fórmula, podemos separar variables en la ecuación homogénea asociada y /y / e inegrar, obeniendo log( y() ) log( ) + k log ( ) + k luego y() e k y por ano, en un inervalo que no conenga al cero, se iene y (h) () c, siendo c una consane real arbiraria. Ahora buscamos una solución paricular de la forma y (p) () c(). Imponiendo que y (p) verifique la ecuación complea, nos queda c () + c() c() cos() sen() c () cos() sen() c () cos() sen(). Para hallar c() debemos calcular la siguiene primiiva cos() sen() c() d, para lo cual podemos proceder de cualquiera de las cuaro formas siguienes. (a) Podemos observar, como dice la indicación, que el inegrando es la derivada de sen(), es decir cos() sen() c() d sen(). (b) Podemos inegrar por pares, como dice la indicación. Con u cos() sen() y v /, de manera que u cos() sen() cos() sen() y v /, enemos cos() sen() c() d cos() + sen() cos() sen() ( cos()) sen(). sen() d (c) Podemos escribir c() cos() sen() cos() sen() d d d

8 8 Maemáicas II (G. I. T. I.) y aplicar inegración por pares sólo a la segunda inegral omando u sen() y v /, de manera que u cos() y v /. Enonces ( cos() sen() cos() sen() cos() c() d d d d sen() ) cos() d sen(). (d) También podemos escribir c() cos() sen() cos() sen() d d d y aplicar inegración por pares sólo a la primera inegral omando u / y v cos(), de manera que u / y v sen(). Enonces cos() sen() cos() sen() c() d d d sen() sen() sen() d d sen(). Una vez hallada la primiiva, enemos c() sen() y, por ano, y (p) () c() sen() sen(). En consecuencia, la solución general viene dada, en cualquier inervalo que no conenga al cero, por donde c es una consane real arbiraria. y() y (h) () + y (p) () c + sen() Ora opción para resolver la ecuación diferencial es usar direcamene la fórmula que nos da la solución general y() ( ) c + q()µ() d µ() donde c es una consane arbiraria y la función µ, el facor inegrane de la ecuación, es la función definida por µ() e p() d En nuesro caso, como vimos anes, en cualquier inervalo que no conenga al cero queda ( p() d ) d log( ) log ( ), con lo que µ() e p() d e log( ). Ahora, susiuyendo en la fórmula y empleando la primiiva calculada anes, cos() sen() q()µ() d d sen() con lo que la solución general viene dada por y() ( ) ( c + q()µ() d c + sen() ) c + sen(). µ() Para resolver el problema de valor inicial, imponemos y(), con lo que y() c + sen() c con lo que c / y la solución del problema de valor inicial es y() + sen(). Para comprobar que, efecivamene, es la solución del problema de valor inicial, derivamos y susiuimos en la ecuación y y y () ( + sen() + cos() ) ( ) + sen() + cos() + sen() + sen() + cos() sen() cos() sen(). Luego y cumple la ecuación. Finalmene, comprobamos la condición inicial: y() + sen().

9 Ejercicios resuelos del primer examen del curso EJERCICIO 5. (Sólo para la Convocaoria Exraordinaria). () Considera la siguiene inegral impropia en la que α R es un parámero, 0 e x x α dx. Para qué valores de α converge? () Aproxima la siguiene inegral usando la regla del rapecio con cuaro rapecios, e x x dx. Solución. () Tenemos una inegral impropia porque esá exendida hasa y ambién porque, dependiendo del valor de α, el inegrando puede no esar acoado cerca de 0. En consecuencia, esudiamos por separado las inegrales 0 e x x α dx, e x x α dx, La inegral dada converge si, y sólo si, lo hace cada una de esas inegrales. Para la inegral impropia de segunda especie 0 e x x α dx emplearemos el crierio de comparación por paso al límie. La función con la que comparar la buscamos usando infiniésimos equivalenes en x 0 a las funciones que aparecen. Para el numerador, usamos el érmino principal del desarrollo en serie de Maclaurin: x ) (x x3 3! + x5 5! x3 3! x5 5! + luego x sen(x) es un infiniésimo equivalene a x 3 /3! x 3 /6 en x 0. Para el denominador, e x podemos usar que, como se recoge en los conenidos de la asignaura, e x es un infiniésimo equivalene a x, o bien hallar el desarrollo en serie de Maclaurin ) e x ( + x + x! + x x + x! + de donde ambién obenemos que e x es un infiniésimo equivalene a x en x 0. Por ano, la función con la que comparamos el inegrando e x x α es En efeco, con esa función se iene x 3 /6 x xα xα+ 6. e x x α+ 6 x α x 3 /6 x x 6. Por ano, de acuerdo con el crierio de comparación por paso al límie, la inegral x α+ 0 e x x α dx converge si, y sólo si, la inegral dx converge. Esa inegral, de acuerdo con lo esudiado en la 0 6 asignaura, converge si, y sólo si, α + >, es decir, α > 3. Para la inegral impropia de primera especie e x x α dx,

10 0 Maemáicas II (G. I. T. I.) como enemos una exponencial en el denominador del inegrando, podemos compararla mayorándola con cualquier poencia; por ejemplo, con x : x e x x x α x e x x α+ 0 para cualquier valor de α. Por el crierio de comparación por paso al límie, como inegral e x x α dx converge para cualquier valor de α. Agrupando los resulados, nos queda que la inegral de parida dx converge, la x e x x α dx. converge si, y sólo si, α > 3. () Para aproximar la inegral e x x dx usando la regla del rapecio con cuaro rapecios, debemos omar h 4 subinervalo, así que los nodos son 0.5 como amaño de cada x 0, x.5, x.5, x 3.75, x 4. Llamando f(x) e x x, la regla del rapecio nos dice, en ese caso, que e x x dx h ( f(x 0 ) + ( f(x ) + f(x ) + f(x 3 ) ) ) + f(x 4 ) ( ( ) )